在岩石物理学研究中, 孔隙介质频散现象的弹性波理论一直是重要课题。Gassmann^[1]建立了反映流体饱和岩石体积模量与孔隙度以及孔隙流体模量关系的Gassmann方程。Biot^[2]根据潮湿土壤的电位特性和声波的吸收特性, 发展了Gassmann的流体饱和孔隙介质理论, 导出根据干岩石来预测饱和岩石的频率相关P波和S波速度的理论表达式, 奠定了双相介质波动理论的基础, 被视为孔隙弹性波动力学的经典理论。Bourbié 等^[3]及 Mavko 等^[4-5]探讨用Biot-Gassmann理论预测液体饱和状态岩石的P波和S波速度, 认为可以用 O’Connell 等^[6]提出的“喷射”流或局部流(squirt flow or local flow)来解释King^[7]所注意到的S波速度表现“异常”的原因。进一步地, Mavko 等^[4]导出一种估计喷射流动效应的简单方法。Mukerji 等^[8]将这种方法扩展到各向异性岩石中。利用喷射流理论, King 等^[9]报道了干岩石和盐水饱和砂岩(承受高达60 MPa的围限压力)的超声波试验结果, 显示围限压力小于 40 MPa 时喷射流动理论的重要性。在国内, 众多学者进行了岩性、含油气性和有效覆盖压力对纵、横波速度的影响及其规律的实验研究^[10-16], 以及饱和储层砂岩中流体引起的超声波速度频散和衰减的实验研究^[17-20]。在 Biot理论的基础上, 巴晶等^[21-22]以及聂建新等^[23]讨论了双孔介质的弹性波动效应及黏弹性分析; 唐晓明等^[24-25]探讨了含孔隙、裂隙介质弹性波动的统一理论, 并进行实验验证。

在引起流体饱和岩石速度频散的诸多因素中, 流体黏滞性的影响非常显著。然而, 国内外的相关实验研究一直比较薄弱。针对这种情况, 本研究依托He等^[20]的实验数据, 在前人工作基础上, 通过对不同流体饱和的砂岩样品超声波纵波速度实测值与理论预测值进行比较, 对流体黏度引起的超声波速度频散开展研究, 并开展全频带的定量预测工作, 优选出适合研究区的最佳速度频散预测理论, 将超声波速度校正到测井和地震频段, 从而能够更好地将实验室测量结果应用到测井和勘探地震的地层速度分析中, 为油田储层预测和评估服务, 具有重要的实际应用意义。

1 实验及数据

本研究用于频散分析的 5 块实验样品 W3-1, W3- 7, W3-10, W3-11和W3-13来自涠三段不同的钻井。经过薄片鉴定, 除样品 W3-13 外, 其他样品石英和长石含量的变化范围很窄, 含少量黏土成分, 是相对干净的砂岩。所有样品都属于颗粒支撑类型, 孔隙‒颗粒的接触方式为胶结。样品的基本情况如表 1 所示。根据薄片观察得到的矿物成分比例, 采用Hashin-Shtrikman 平均方法对砂岩样品的固体基质密度ρ_s、体积模量K_s和剪切模量G_s进行估计。

实验过程中采用以下流体对砂岩样品进行饱和: 卤水(26 mg/g 的 NaCl 溶液)、石脑油、白油、液压油以及一种用石脑油和白油配制的混合油。计算时使用的这些流体的密度(ρ_f)、体积模量(K_f)和黏度(η)以及对应的实验温度(T)在表2中列出。

本文实验中采用超声波脉冲透射法进行岩样的波速测量。根据Hornby^[26]的绝对误差估算方法, 得到本次实验中岩样纵波速度测量的绝对误差小于0.9%, 横波速度测量的绝对误差小于0.6%。如果加上人为读数误差(估计纵波速度读数误差小于 0.1%, 横波速度读数误差小于 0.2%), 则岩样纵波速度测量的总实验误差小于1.0%, 横波速度测量的总实验误差小于0.8%。实验所得纵波速度如图1中蓝色曲线所示。

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图1   实测值与理论预测速度比较

Fig. 1   Comparison of theoretical velocity values and measured values

2 纵波频散机制初步分析

将 5 块样品的纵波速度实测数据与 Gassmann理论速度和 Biot 理论速度(极限高频)进行比较, 结果显示实测速度明显偏离理论计算值(图 1)。由于Gassmann理论计算的是没有频散效应的速度, 因此以Gassmann计算值作为频散是否发生的判断基准, 如果实验室超声波实测速度偏离 Gassmann 计算值超过实验误差(约 1%), 则可认为观察到速度频散 现象。定义实际测量的速度频散 MVD (measured velocity dispersion)为标准化的测量值V_m与Gass-mann理论预测值V_G之差:

\[\text{MVD}=\frac{{{V}_{\text{m}}}-{{V}_{\text{G}}}}{{{V}_{\text{G}}}}\times 100\%。\ \ (1) \]

类似地, 定义Biot机制的宏观平均流频散 BVD (Biot velocity dispersion)为

\[\text{BVD}=\frac{{{V}_{\text{B}}}-{{V}_{\text{G}}}}{{{V}_{\text{G}}}}\times 100\%,\ \ (2) \]

则由非 Biot 机制导致的速度频散(主要是喷射流效应)为

\[\text{NVD}=\text{MVD}-\text{BVD}。\ \ (3) \]

用式(1)~(3)对 5 块样品进行频散百分比量化处理, 结果如图2所示, 可以看出以下特点。

1) 以 W3-7 和 W3-10 为代表的低渗透率砂岩, 无论是在实验超声波频率(0.7 MHz)下, 还是在理论极限高频下, Biot速度频散都接近0, 而大部分流体类型的非 Biot 速度频散大于 2%, 超过实验误差(1%), 说明低渗透率砂岩内部的“软孔”(微裂隙)较多, 分布和排列方向不均匀性强, 导致以喷射流为代表的局部流体流动增强了砂岩的整体刚度, 从而测得很强的速度频散(可达3%~8%)。

2) 以W3-1和W3-11为代表的中等渗透率砂岩情况要复杂一些。当孔隙流体黏度较小时(如 Oa 和Ob), 速度频散符合 Biot 宏观流预测值; 当流体黏度增大时, 喷射流的效应逐渐明显, 尤其是当流体黏度超过3 mPa ∙s之后(Od(74)为3.64 mPa ∙ s), 喷射流成为速度频散的统治机制。

3) 对于高孔隙度和高渗透率的样品 W3-13, 由于高达 15%的黏土含量, 其速度频散变化较复杂, 特别是在实验温度较高(50~90ºC)时出现负值。

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图2   纵波速度频散百分比

Fig. 2   P-wave velocity dispersion percentage

这说明可能由于高温下黏土出现膨胀扩容现象, 增强了实验高频超声波的散射, 导致声波旅行的路程增加, 因而在以岩样长度作为直达路程基础上计算得到的视速度降低了, 即出现负频散的现象。尽管如此, 总的来看, W3-13 的速度频散以 Biot 宏观流动效应为主。

一般认为, 孔隙流体的黏度是导致弹性波在储层岩石中发生速度频散的一个重要原因。在这批实验数据中, 特别地, 对于用液压油饱和的同一样品, 非Biot频散(喷射流)随着温度升高而减小。由于温度对液压油的密度和体积模量影响不大, 但对黏度影响巨大(表 2), 因此说明孔隙流体黏度是造成速度频散的重要因素。

总的来看, 实验数据表明的饱和样品随流体黏度的主要频散变化规律与前人已有成果^[17,27-31]基本上相符, 可以用宏观尺度上的Biot流惯性耦合机制和颗粒尺度上的喷射流机制进行解释。由于Biot理论的特征频率为

\[{{f}_{\text{b}}}=\frac{\eta \varphi }{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\rho }_{f}}\kappa }, \ \ (4) \]

而喷射流机制特征频率为

\[{{f}_{\text{s}}}=\frac{{{K}_{0}}}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\eta }{{\gamma }^{3}},\ \ (5)\]

因此黏度对这两种理论的特征频率作用相反。特征频率是区分低频域和高频域的大致界线, 实验数据充分说明这两者的不同。

由于本次实验数据均在固定压力条件下获得, 所以对于同一块样品, 测得的速度与实验流体的变化直接相关。因此, 通过不同样品之间的横向比较, 可以进一步将流体黏度与样品的物性特性(孔隙度和渗透率)结合起来分析速度频散的组分构成。更重要的是, 由于所有压力均是涠三段储层对应的地层压力, 同时这 5 块样品的物性特征具有代表性, 因此上述速度频散规律对涠三段储层的地震岩石物理分析具有重要的现场指导意义。

3 BISQ理论频散预测

3.1 BISQ高压干骨架模量的估计

由于除W3-13外的其余4块样品都表现出很强的非Biot频散特征, 因此下面用BISQ理论来检验其预测的喷射流频散效应是否满足涠三段储层砂岩的分析要求。首先要确定 BISQ 方程的两个关键参数: 高压干骨架模量和特征喷射流长度R。

由于 BISQ 理论的高频极限与 Biot 理论相同, 而Biot理论的宏观平均流动主要发生在岩石内部的硬孔中(孔隙开口的纵横比在 0.1~1 之间), 因此BISQ 方程的一个隐含条件是, 采用的干骨架模量必须是在高压条件下(砂岩为 60~90 MPa)测得的软孔闭合之后的数值。然而, 由于这批样品的速度是在地层压力下测得的, 最高压力仅33.5 MPa (表1),为理论高压值的一半, 因此需要估计样品在高压下的干燥骨架模量, 以满足BISQ方程的要求。

Mavko 等^[4]根据理论分析并通过超声波测试数据验证, 提出喷射流速度频散的一级近似可以采用将 Gassmann 方程中的干骨架模量替换为高压状态下的干骨架模量的方法计算得到。类似地, 对于本次实验中观察到的喷射流频散现象, 当孔隙连通性较差(低渗透率)或者孔隙流体黏度较高时, 高频超声波振动下的孔隙压力无法达到平衡, 即处于非弛豫状态, 此时孔隙流体就像固体一样充填在软孔中, 可以近似地认为软孔被“闭合”了, 从而增强了岩石的整体刚度。据此, 我们利用反向 Gassmann 方程计算喷射流状态下的非弛豫湿骨架模量, 然后将其作为高压干骨架模量的近似估计值代入 BISQ 方程。

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图3   样品W3-1高压下干骨架纵波速度估计

Fig. 3   Estimation of dry skeleton’s P-wave velocity under high pressure for sample W3-1

以 W3-1 为例, 图 3 中五角星表示地层压力条件下实测的干骨架纵波速度, 三角形表示假设流体饱和样品的实测速度也满足零频散的 Gassmann 条件时, 由反向 Gassmann 方程计算得到的理论干骨架纵波速度。可见, 当喷射流统治样品时, 理论干骨架速度围绕一个高速平台波动, 表明高频非弛豫湿骨架对流体类型不敏感, 因此可以用它们的平均值(图 3 中用圆圈表示)作为高压下干骨架速度的合理估计值, 再用式(6)和(7)计算得到对应的体积模量和剪切模量。同理, 其他 4 块样品也表现出类似的特征, 可以做相同处理。

\[{{K}_{\text{dry}}}=\left( V_{\text{pg}}^{\text{2}}-\frac{\text{4}}{\text{3}}V_{\text{sg}}^{\text{2}} \right){{\rho }_{\text{g}}},\ \ (6) \]

\[{{\mu }_{\text{dry}}}=V_{\text{sg}}^{\text{2}}{{\rho }_{\text{g}}}。\ \ (7) \]

3.2 特征喷射流长度R的估计

由于 BISQ 理论中的关键参数特征喷射流长度R 的物理含义不清晰, 因此在取值上有很强的主观性, 需要针对实际储层岩石选取合适的 R 值, 这对于BISQ理论的实用非常重要。虽然BISQ 理论的提出者一再强调R值应该与微观尺度相当, 但很多实例都表明, 相对于孔隙尺寸, R值可能需要适度偏高, 以避免高估局部流影响的情况。

本研究中, 由于对不同流体饱和样品的测试时压力固定为地层压力, 孔隙结构变化不大, 因此从理论上讲, R值对所有产生喷射流效应的流体是相同的。据此, 一个有效地估计R值的方法是, 对不同的孔隙流体, 分别计算BISQ纵波速度随R变化的曲线, 然后与实测纵波速度进行对比, 寻找能使大多数BISQ预测速度符合实测速度的 R值。图4显示用上述方法对样品 W3-1 进行 R 值拟合的结 果。同理, 可以对其他 4 块样品进行相似的R值拟合, 各样品最终确定的 R 值(图 4 中代表实测纵波速度的圆圈等符号对应的横坐标)列在表 1 的最后一列。通过对比各样品R值与矿物颗粒的直径, 得到以下结论。

1) 物性相近的样品具有近似的 R 值。例如, W3-1和W3-11的R均为0.3 mm, W3-7和W3-10的R均为0.09 mm。

2) 对于涠三段的储层砂岩, 拟合出的R值与矿物颗粒的直径尺度相同(例如, W3-1 的颗粒直径在0.13~0.25 mm 之间, W3-7 的颗粒直径在 0.07~0.2 mm 之间), 符合 BISQ 理论对特征喷射流长度的基本定义。

3.3 结果对比

图1对实验室超声波频率(0.7 MHz)下的BISQ理论预测值(蓝绿色曲线)与实测值(蓝色曲线)进行了对比。当流体运动学黏度较大(如常温下白油、液压油等)时, 喷射流作用在频散效应中占据优势, BISQ 理论可以获得较为理想的频散预测值。然而, 在孔隙流体的运动学黏度较小(如卤水或轻质的石脑油、混合油及高温下的液压油)的情况下, BISQ 理论应用效果很差, 预测结果明显偏大, 这主要是由于 BISQ 理论使用了高压干骨架模量, 而实际测试仅在较低的地层压力下完成。

可见, 由于 BISQ 理论在使用高压干骨架模量后偏重于喷射流频散的预测, 导致对Biot宏观流主导的岩样速度预测效果不佳, 这种局限性使得仅靠BISQ理论不能很好地完成全频带速度频散预测。

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图4   样品W3-1的R值拟合结果

Fig. 4   Fitting result of R value for sample W3-1

4 融合Biot和BISQ的全频带纵波速度预测

由于Biot理论和BISQ理论各自的局限性, 使得它们不能独自对由孔隙流体的宏观平均流动和局部流动效应导致的速度频散都进行很好的预测。前面的分析表明: 在孔隙流体黏度较小(如 W(15)和Oa(15))时, Biot理论预测效果较好, 而BISQ理论的预测效果不佳; 在孔隙流体黏度较大(如 Od(50), Oc(17)和 Od(28))时则正好相反。由于 Biot 理论的频散预测值一般与实验误差的量级相当(小于 1%), 因此本研究关注的重点是喷射流机制(速度频散达到3%~8%)。

从式(5)可以看出, 当流体黏度增大时, 喷射流机制的特征频率 f_s减小, 使得实验室超声波频率相对于 f_s往高频段移动, 对应的喷射流效应增强, 速度频散也随之增加。因此, 可以将 f_s作为区分目标频率(例如实验室超声波高频、测井声波中频和勘探地震低频)相对高、低的标准。当目标频率显著高于f_s时, 采用BISQ理论重点预测喷射流效应; 当目标频率显著低于f_s时, 采用Biot理论预测宏观平均流动效应; 当目标频率与f_s相比量级不大(高低频转换段)时, 则可以考虑将两种理论速度值进行整合, 构建经验公式来预测频率转换段的速度。

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图5   样品W3-10整合Biot与BISQ后的纵波速度随f /f_c变化

Fig. 5   Integrated P-wave velocity of Biot and BISQ with f /f_c variation of sample W3-10

计算 5 块样品对不同流体饱和时 BISQ 理论纵波速度V_p随目标频率f的变化情况, 并对f / f_c作图(图5, 以样品W3-10为例)。其中, f_c为喷射流特征频率。对同一样品, f_c随着流体黏度变化, 即不同的流体对应不同的f_c值。图5中各条V_p‒f /f_c曲线的形态可以总结为图6所示的“高低平台夹陡坡”的模式: 1) 当目标频率小于喷射流特征频率的 1/10 时(图 6中f /f_c值小于10^-1的部分), 纵波速度在低平台上几乎不随频率变化, 此时饱和流体样品处于相对低频段; 2) 当目标频率大于喷射流特征频率 100 倍以上(图6中f /f_c值大于10²的部分)时, 纵波速度在高平台上, 趋于不随频率变化, 此时饱和流体样品处于高频段; 3) 当f /f_c值在10^-1~10²的区间时, 对应高低频段的转折陡坡, 纵波速度随着频率升高而迅速增大。

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图6   整合Biot与BISQ后的纵波速度随f /f_c变化示意图

Fig. 6   Sketch map of integrated P-wave velocity of Biot and BISQ with the f /f_c variation

根据图 6 所示的比例关系, 如果令低频段的速度为Biot理论速度, 高频段的速度为BISQ理论速度, 高低频转折段的f /f_c比值宽度为 T (取对数; 对于 W3 储层砂岩, 转折段的左边界为-1, 右边界为2, 故T值为3), 则对于任意目标频率f, 可以构建出计算对应的纵波速度V_f的经验公式如下:

\[\left\{ \begin{align} & {{V}_{f}}={{V}_{Biot}}\ (\lg (f/f\text{c})\le -1), \\ & {{V}_{f}}=W\times {{V}_{Biot}}+(1-W)\times {{V}_{BISQ}} \\ & \ \ \ \ (-1<\lg (f/f\text{c})<2), \\ & {{V}_{f}}={{V}_{BISQ}}\ (\lg (f/f\text{c})\ge 2), \\ & W={{(1-L/T)}^{a\times {{L}^{b}}}}, \\ \end{align} \right.\ \ (8) \]

式中, 当目标频率 f 处于转折段(例如图 6 中圆圈)时, W是Biot理论速度的权重系数; L为圆圈到转折段左边界的距离; a和b为地区经验系数, 与储层砂岩的物性有关, 可以由样品实测的速度频散情况拟合确定。

表3列出根据这5块样品确定的涠三段储层砂岩经验系数a和b的取值条件。需要指出的是, 当砂岩样品的渗透率达到中等及以上时的a和b对于样品W3-1, W3-11和W3-13都是适用的, 这在一定程度上验证了经验公式(8)的有效性。

图7显示式(8)对5块样品的全频带速度预测结果。总体而言, 在实验室超声波频率下, 预测结果 与实测结果符合程度较好。

图1对Gassmann理论、Biot理论、BISQ理论以及本文提出的经验公式预测的纵波速度与实测结果进行对比, 可以看出, 用经验公式(8)获得的速度频散预测结果有了很大程度的优化(粉红色曲线), 在实验所用几种流体黏度范围之内, 不论流体黏度高低, 预测值与实测值(蓝色曲线)的偏离度几乎都小于 1%, 也就是说, 与实验速度测量误差相近, 达到预期目标。

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图7   整合Biot与BISQ理论后的全频带速度频散预测值

Fig. 7   Averaged velocity of Biot and BISQ theoretical values for full waveband dispersion prediction

5 结论

1) 喷射流发生的原因是波传播过程中在半个周期内孔隙压力难以在软孔和硬孔之间达到平衡, 因此砂岩的物性差(尤其是低渗的储层)会导致孔隙之间流体交换困难,这是喷射流发生的关键因素, 流 体黏度上升的影响次之; 中等渗透率的砂岩仅在流体黏度升高时表现出显著的喷射流效应。

2) 流体黏度对于 Biot 流惯性耦合机制和颗粒尺度上的喷射流机制的特征频率作用相反, 而特征频率是区分这两种理论相对低频域与高频域的大致界线。

3) 以喷射流特征频率作为高、低频段和转折段的划分基准, 以BISQ理论预测值作为高频段输入, 以Biot理论预测值作为低频段输入, 以转折段的高低频占比为权重的经验公式能在一定程度上对全频带纵波速度频散做定量预测。

4) 本文通过频散百分比量化、高压干骨架模量估算以及 BISQ 理论特征喷射流长度估算等流程, 建立对涠三段储层砂岩的纵波速度频散进行全频带定量预测的方法, 从而可以将实验室的超声波测试速度校正到不同频率条件下, 对于研究区内测井(中频带)和勘探地震(低频带)的速度标定以及岩石物理分析具有一定的实践意义。

5) 进一步地, 由于图 6 所示的速度频散曲线变化形态是多孔介质物性特征的本质反应, 因此本研究提出的经验公式理论上可以应用于大多数自然界岩石的频散预测, 但需要通过实验方法(例如本文实验) 获得频散曲线特征以确定公式参数(L, T, a, b)合适的取值,从而反映岩石类型以及各向异性强弱等因素的影响。

The authors have declared that no competing interests exist.

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