如果系统$ \mathit{\boldsymbol{q}} = \left( {{q_1}, \;{q_2}, \;..., \;{q_n}} \right) $受到非完整约束

$ f(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;t) = 0 $

(1)

的作用, 并且此约束的虚位移满足下式^[1]:

$ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial f}}{{\partial {{\dot q}_i}}}\delta } {q_i} = 0, $

(2)

则式(2)称为Appell-Chetaev条件。经典分析力学指出, 如果式(1)为完整约束, 则式(2)的几何意义为约束积分曲面时间凝固后的任一无穷小位移。但是, 如果式(1)为非完整的, 则式(2)的几何意义就很不直观。本文从空间物体点接触纯滚动的问题入手, 讨论此时非完整约束虚位移(式(2))的几何意义。

1 球在水平面上的纯滚动

半径为R的球在粗糙水平面上做纯滚动, 在水平面建立惯性直角坐标系Oxyz, 球中心在惯性直角坐标系下的分量表示为$ ({q_1}, \;{q_2}, \;{q_3}) $, 欧拉角为$ ({q_4}, \;{q_5}, \;{q_6}) $, 粗糙水平面的位置z=0, 球在粗糙水平面上做纯滚动的约束方程可写为

$ \left\{ \begin{array}{l} {q_3} = R, \\ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^\tau = 0, \end{array} \right. $

(3)

其中$ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^\tau $为接触点的速度在水平面上的分量。式(3)的第1个等式为完整约束, 而第2个等式一般为两个非完整约束。对于非完整约束, 其虚位移可由Appell-Chetaev条件(式(2))给出。通过拉格朗日乘子把约束嵌入到动力学方程中。

受到完整约束作用的系统只能沿着完整约束规定的几何限制运动, 而受非完整约束作用的系统, 其位形空间似乎并不受这些约束的任何限制。以球-面系统为例, 只要外力允许, 平面上的任何点都是可达的。但是根据Appell-Chetaev条件, 系统在每一位置的位形空间似乎不是完全自由的, 因为广义坐标虚位移并不是完全独立的。

本文从点接触问题入手, 探讨一般情况下空间物体点接触和纯滚动时约束(式(3))的由来。我们认为, 非完整约束的最初定义是一些力学家对某类问题(如雪橇问题以及点接触的纯滚动问题)直观的总结, 他们直接把约束形式定义在速度水平上, 从而掩盖了形成非完整约束所需的几何位形条件。本文认为, 对于点接触的非完整约束由位形空间上两个完整的约束组成, 这两个完整约束在速度水平表达相同, 同时, 这两种完整约束限制的虚位移正好满足Appell-Chetaev条件。

2 保持点接触的几何条件

两个物体形成并保持点接触运动需要满足以下两个条件。

C1:两接触点具有相同的空间位置(或它们的距离一直为零)。

C2:两物体的外表面在接触点相切。

只要两物体保持点接触, 除点与线或者点与面接触时C2不存在外, 上述两个条件都需成立。因此, 对于具有一般外形的两物体的点接触问题, 可从上述两个条件出发, 推导此时系统的约束方程^[2-3]。下面以球在固定水平面上运动为例, 从上述两个条件获得约束(式(3))的第一个方程q₃=R。

设在惯性直角坐标系下, 球的中心位置和姿态欧拉角分别为$ ({q_1}, \;{q_2}, \;{q_3}) $和$ ({q_4}, \;{q_5}, \;{q_6}) $。在球的中心建立随体直角坐标系Cx'y'z', 在随体坐标系下, 球上每一点$ ({\chi _1}, \;{\chi _2}, \;{\chi _3}) $可以用球面坐标的两个参数$ ({\xi _1}, \;{\xi _2}) $来表示。

$ \left\{ \begin{array}{l} {\chi _1} = R\sin {\xi _2}\cos {\xi _1}, \\ {\chi _2} = R\sin {\xi _2}\sin {\xi _1}, \\ {\chi _3} = R\cos {\xi _2}。\; \end{array} \right. $

由于球面和二维欧氏空间的非同胚性, 所以$ {\xi _2} = 0 $或$ {\xi _2} = {\rm{\pi }} $为奇异点^[4], 因此, 接触点应避免在这些奇异点附近出现。利用广义坐标的几何意义, 球面任意一点在惯性直角坐标系下的坐标可表示为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}}\\ {{q_2}}\\ {{q_3}} \end{array}} \right] + \mathit{\boldsymbol{A}}({q_4}, {q_5}, {q_6})\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\chi _1}}\\ {{\chi _2}}\\ {{\chi _3}} \end{array}} \right]\\ \;\;\; = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}}\\ {{q_2}}\\ {{q_3}} \end{array}} \right] + \mathit{\boldsymbol{A}}({q_4}, {q_5}, {q_6})R\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\xi _2}\cos {\xi _1}}\\ {\sin {\xi _2}\sin {\xi _1}}\\ {\cos {\xi _2}} \end{array}} \right], \end{array} $

(4)

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {q_4}}&{-\sin {q_4}}&0\\ {\sin {q_4}}&{\cos {q_4}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {q_5}}&0&{\sin {q_5}}\\ 0&0&0\\ {-\sin {q_5}}&0&{\cos {q_5}} \end{array}} \right] \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {q_6}}&{-\sin {q_6}}&0\\ {\sin {q_6}}&{\cos {q_6}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\;。 \end{array} $

与此类似, 利用两个表面参数$ ({\zeta _1}, \;{\zeta _2}) $可以表示水平面上的任意一点:

$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}\\ {{y_2}}\\ {{y_3}} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _1}}\\ {{\zeta _2}}\\ 0 \end{array}} \right]。 $

(5)

如果x和y表示球和平面上的两个接触点, 根据点接触条件C1, 它们具有相同的空间位置:

$ \mathit{\boldsymbol{x}} = \mathit{\boldsymbol{y}} \Rightarrow \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}}\\ {{q_2}}\\ {{q_3}} \end{array}} \right] + \mathit{\boldsymbol{A}}({q_4}, \;{q_5}, \;{q_6})R\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\xi _2}\cos {\xi _1}}\\ {\sin {\xi _2}\sin {\xi _1}}\\ {\cos {\xi _2}} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\zeta _1}}\\ {{\zeta _2}}\\ 0 \end{array}} \right]。 $

(6)

将式(4)和(5)代入式(6)中, 得到

$ \left\{ \begin{array}{l} {q_1} + R\cos {q_4}(\sin {q_5}\cos {\xi _2} + \cos {q_5}\sin {\xi _2}\cos ({q_6} + {\xi _1})) = {\zeta _1}, \\ {q_2} + R\sin {q_4}(\sin {q_5}\cos {\xi _2} + \cos {q_5}\sin {\xi _2}\cos ({q_6} + {\xi _1})) = {\zeta _2}, \\ {q_3} + R(\cos {q_5}\cos {\xi _2}-\sin {q_5}\sin {\xi _2}\cos ({q_6} + {\xi _1})) = 0\;。 \end{array} \right. $

(7)

根据点接触条件C2, 球与水平面在接触点相切:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _1}}} \cdot \left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _1}}} \times \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _2}}}} \right) = 0, \\ \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _2}}} \cdot \left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _1}}} \times \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _2}}}} \right) = 0, \end{array} \right. $

(8)

由式(4)可得到接触点的切矢量:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _1}}} = \mathit{\boldsymbol{A}}({q_4}, \;{q_5}, \;{q_6})R\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {-\sin {\xi _2}\sin {\xi _1}}\\ {\sin {\xi _2}\cos {\xi _1}}\\ 0 \end{array}} \right], \\ \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _2}}} = \mathit{\boldsymbol{A}}({q_4}, \;{q_5}, \;{q_6})R\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\xi _2}\cos {\xi _1}}\\ {\cos {\xi _2}\sin {\xi _1}}\\ {-\sin {\xi _2}} \end{array}} \right]\;。 \end{array} \right. $

(9)

将式(9)代入式(8), 并考虑球-面系统的特殊情况:$ \left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _1}}} \times \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _2}}}} \right) = \left[{0, \;0, \;1} \right] $, 可以得到

$ \left\{ \begin{array}{l} \sin {q_5}\sin {\xi _2}\sin ({q_6} + {\xi _1}) = 0, \\ -\sin {q_5}\cos {\xi _2}\cos ({q_6} + {\xi _1})-\cos {q_5}\sin {\xi _2} = 0。 \end{array} \right. $

(10)

为了避免奇异性, 我们不研究接触点在$ \sin {q_5} = 0 $或$ \sin {\xi _2} = 0 $附近的接触情况。因此$ \sin {q_5} \ne 0 $, $ \sin {\xi _2} \ne 0 $, 则式(10)的解为

$ \sin ({q_6} + {\xi _1}) = 0, \cos ({q_6} + {\xi _1}) = 1, \sin ({q_5} + {\xi _2}) = 0, $

(11a)

或者

$ \sin ({q_6} + {\xi _1}) = 0, \cos ({q_6} + {\xi _1}) =-1, \sin ({q_5}-{\xi _2}) = 0, $

(11b)

即

$ \left\{ \begin{array}{l} {\xi _1} =-{q_6} + k{\rm{\pi, }}\\ {\xi _2} =-{q_5} + n{\rm{\pi, }}\;\;当{\rm{ }}k{\rm{ 为偶数, }}\;\;n \in Z\;{\rm{, }}\\ {\xi _2} = {q_5}-n{\rm{\pi, }}\;\;\;当{\rm{ }}k{\rm{ 为奇数, }}\;\;n \in Z。\; \end{array} \right.\;\; $

(12)

为了消去式(7)和(11)中的参数, 把最终的约束方程只表示为系统的广义坐标和时间的函数形式, 则将式(11)代入式(7)的第3个方程, 得到

$ {q_3} = \pm R。 $

(13)

式(13)就是球与水平面接触的约束方程, 式中的正负号以及式(12)中k和n的取值由初始时刻的接触点决定。

参数方程(式(6)和(8))由点接触保持的两个条件C1和C2给出。对于具有一般形状物体的接触问题, 得出的参数方程很难像球-面系统一样能够消去接触面的参数, 得到如式(13)所示的只含系统广义坐标和时间的约束方程。这时, 我们可以采用数值的微分方法, 解出式(6)和(8)决定的接触点和接触约束方程。数值方法需要初始接触点的参数位置, 能够唯一确定如方程(12)和(13)中的待定符号^[2]。

3 保持点接触纯滚动的几何条件

如果多体系统$ \mathit{\boldsymbol{q}} = ({q_1}, \;\;{q_2}, \;..., \;{q_n}) $中两物体保持点接触, $ ({\xi _1}, \;{\xi _2}) $和$ ({\zeta _1}, \;{\zeta _2}) $为两物体表面轮廓曲纹坐标表示的接触点对, 根据接触点局部曲纹坐标到整体惯性坐标的关系, 两个接触点在惯性坐标性下的坐标可以表示为$ \mathit{\boldsymbol{x}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t, \;{\xi _1}, \;{\xi _2}) $和$ \mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t, \;{\zeta _1}, \;{\zeta _2}) $两物体保持点接触意味着它们满足C1的几何条件, 即两点在空间重合:

$ \mathit{\boldsymbol{x}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, t, {\xi _1}, {\xi _2})-\mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t, \;{\zeta _1}, \;{\zeta _2}) = {\rm{0}}。 $

(14)

式(14)两边对时间求导数(接触点也随系统位形或时间的变化而变化), 得到

$ \frac{{{\rm{d}}(\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}})}}{{{\rm{d}}t}} = {\mathit{\boldsymbol{v}}_r} + \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _i}}}{{\dot \xi }_i}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _i}}}{{\dot \zeta }_i}} \right)} = {\rm{0}}, $

(15)

其中v_r定义为接触点的相对速度:

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_r}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;t, \;{\xi _1}, \;{\xi _2}, \;{\zeta _1}, \;{\xi _2}) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial (\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}})}}{{\partial {q_i}}}} {{\dot q}_i} + \frac{{\partial (\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}})}}{{\partial t}}。 $

(16)

两物体除保持点接触外, 还要满足接触点切向相对速度为零的纯滚动条件(对应球-面系统的方程(3)中的第2个方程):

$ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^\tau (\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;t, \;{\xi _1}, \;{\xi _2}, \;{\zeta _1}, \;{\xi _2}) = {\rm{0}}, $

(17)

其中$ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^\tau $为接触点切向相对速度, 满足

$ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^\tau = {\mathit{\boldsymbol{v}}_r}-({\mathit{\boldsymbol{v}}_r} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}})\mathit{\boldsymbol{n}}, $

这里定义n为接触点处公法线方向的单位矢量。

因为n被设为接触点处公法线方向的单位矢量, 根据点接触条件C2, 即两物体在接触点相切, 可得$ \partial \mathit{\boldsymbol{v/}}\partial {\xi _i} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}} = 0, \partial \mathit{\boldsymbol{y/}}\partial {\zeta _i} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}} = 0 $。因此, 式(15)两边同时乘以公法线单位矢量n, 可得

$ \mathit{\boldsymbol{v}}_r^n \buildrel \Delta \over = {\mathit{\boldsymbol{v}}_r} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}} = 0。 $

(18)

如果两物体保持点接触并纯滚动, 则式(17)和(18)意味着接触点的相对速度为零:

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_r} = 0。 $

(19)

将式(19)代入(15)中, 得到

$ \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _i}}}{\mathop{\rm d}\nolimits} {\xi _i}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _i}}}{\mathop{\rm d}\nolimits} {\zeta _i}} \right) = {\bf{0}}}。 $

(20)

只要两物体保持点接触纯滚动, 则式(20)成立, 意味着

$ \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _i}}}{{\dot \xi }_i}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _i}}}{{\dot \zeta }_i}} \right)} = \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {s_1}}}{{\dot s}_1}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {s_2}}}{{\dot s}_2} = {\bf{0}}, $

(21)

其中s₁和s₂为两个接触点在两物体表面形成迹线的弧长, 于是可用$ \mathit{\boldsymbol{x}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t, \;{s_1}) $和$ \mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t, \;{s_1}) $表示两个接触点。因此, 从式(21)可以得到点接触纯滚动的几何意义。

1) 两接触物体绕着接触点转动:

$ {s_1} = {s_2} = 0。 $

(22)

2) 接触点在物体表面形成的迹线弧长相等并相切:

$ {s_1} = {s_2}, \;\;\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {s_1}}} = \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {s_2}}}... $

(23)

式(23)的第2个等式虽然是空间矢量方程, 但定义在公切平面上, 因此只限制了一个自由度。

点接触纯滚动的这两个几何限制条件可以总结为:点接触纯滚动时, 两物体滚过的迹线长度相同(或为零), 并且方向相切(如果存在)。

下面研究空间两物体点接触时, 具有式(22)和(23)几何约束特征系统的虚位移。由于系统保持点接触, 即x-y=0, 所以系统广义坐标虚位移$ ({\rm{\delta }}{q_1}, \;{\rm{\delta }}{q_2}, \;\;..., \;{\rm{\delta }}{q_n}) $满足此方程, 这些广义坐标虚位移也会引起接触点的虚位移, 用接触点参数表示为$ ({\rm{\delta }}{\xi _1}, \;{\rm{\delta }}{\xi _2}) $和$ ({\rm{\delta }}{\zeta _1}, \;{\rm{\delta }}{\zeta _2}) $。因此得到

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial (\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}})}}{{\partial {q_i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{q_i} + \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\xi _i}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\zeta _i}} \right)} } = 0\;。 $

(24)

由于两物体保持点接触纯滚动, 所以接触点的虚位移满足式(22)或(23)的几何限制条件:

$ \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {\xi _i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\xi _i}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {\zeta _i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\zeta _i}} \right)} = \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}}}{{\partial {s_1}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{s_1}-\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}}}{{\partial {s_2}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{s_2} = {\rm{0, }} $

(25)

把式(25)代入(24), 具有点接触纯滚动的两物体的系统在位形空间上应满足的虚位移限制方程为

$ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial (\mathit{\boldsymbol{x}}-\mathit{\boldsymbol{y}})}}{{\partial {q_i}}}} {\rm{ \mathsf{ δ} }}{q_i} = {\rm{0}}。 $

(26)

这与利用Appell-Chetaev条件(式(2))从速度水平约束(式(19), 同时参考式(16)获得的虚位移相同。因此可以认为, 做纯滚动的两个物体在位形空间上满足式(22)或(23)的几何限制条件。

4 结论

对于完整约束, Appell-Chetaev条件具有明确的几何意义。但是对于非完整约束, 此条件的几何意义并不直观。空间两物体保持点接触纯滚动时, 其速度水平的约束方程是两物体接触点的相对速度为零, 其中接触切向相对速度为零的约束方程一般为非完整的。本文通过推导发现, 空间两物体点接触纯滚动要满足两种几何条件的限制:两接触物体滚过迹线的长度相同(或为零), 并且方向相切(如果存在)。两种几何条件限定的虚位移与此时速度约束方程的Appell-Chetaev条件所限制的虚位移相同。本文研究对于加强分析力学中虚位移原理的基本地位具有一定的意义。