Kirchhoff动力学比拟理论利用弹性杆平衡微分方程与刚体定点转动微分方程之间的相似性, 将动力学的概念和研究方法注入弹性杆静力学, 奠定了弹性杆静力学的理论基础。近年来, 弹性细杆作为DNA分子等的力学模型^[1-4], 重新引起重视。

由于描述对象的极端细长及软物质特性, 使得弹性细杆力学完全不同于经典弹性杆力学, 表现出更复杂的几何结构和强非线性, 给求解带来困难。大部分的研究利用数值计算求其数值解^[5-6]。Shi等^[7-8]通过引入复主矢和复主矩, 导出一类一维定态非线性薛定谔方程, 并给出DNA分子轴线的封闭解。Xue等^[9]进一步将结果推广到非圆截面的一般情形。Wang等^[10]利用对称性得出弹性细杆的一些守恒量。

关于非线性薛定谔方程的精确解的讨论已有许多卓越的工作^[11]。由于弹性细杆的特殊性, 致使Shi等^[7-8]给出的弹性细杆薛定谔方程形式无法直接与非线性薛定谔方程比拟。我们发现, 当杆的挠率为常量时, 类似于Kirchhoff动力学比拟可将弹性细杆的平衡微分方程在数学形式上完全等同于非线性薛定谔方程, 进而可给出弹性细杆力学的一类新的精确解。我们将这种等同条件称为Schrödinger粒子波动比拟。

本文利用Schrödinger粒子波动比拟, 给出弹性细杆方程一类新的精确解, 画出精确解及数值解所描述的弹性细杆图像, 为弹性细杆方程的求解提供新的途径。

1 弹性细杆平衡微分方程

研究在Kirchhoff假定下长为L的弹性细杆。建立惯性坐标系O-ξηζ, 沿惯性坐标轴的单位基矢为${\boldsymbol{e}_\xi }, \; {\boldsymbol{e}_\eta }, \; {\boldsymbol{e}_\zeta }$, 则弹性细杆中心线的矢径为

$ \boldsymbol{r} = \xi (s){\boldsymbol{e}_\xi } + \eta (s){\boldsymbol{e}_\eta } + \zeta {\boldsymbol{e}_\zeta }, $

s表示弧坐标。以中心线上任意点P为原点, 建立固结于截面的主轴坐标系P-xyz, 其中x, y轴位于杆截面内, 其基矢量e₁和e₂分别沿中心线的法向和副法向, 并且${\boldsymbol{e}_1} \times {\boldsymbol{e}_2}={e_\boldsymbol{3}}$, e₃沿中心线切向, 中心线不可拉伸, 满足

$ \frac{{{\rm{d}}\boldsymbol{r}}}{{{\rm{d}}s}} = {\boldsymbol{e}_3}。 $

弹性细杆可看做由杆截面沿中心线的运动形成。杆的弯曲和扭转可用弯扭度ω来表征, 定义^[5]为

$ \frac{{d{\boldsymbol{e}_i}}}{{ds}} = \boldsymbol{\omega} \times {\boldsymbol{e}_i}, $

(1)

其中,

$ \boldsymbol{\omega} = \kappa \sin \chi {\boldsymbol{e}_1} + \kappa \cos \chi {\boldsymbol{e}_2} + \left( {\tau + \frac{{d\chi }}{{ds}}} \right){\boldsymbol{e}_3}, $

(2)

κ和τ分别为杆挠性线的曲率和挠率, χ为截面相对Frenet坐标系的扭角。弹性细杆平衡微分方程在主轴坐标系中的表示^[5]为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\tilde d\boldsymbol{F}}}{{ds}} + \omega \times \boldsymbol{F} + \boldsymbol{f} = 0, \\ \frac{{\tilde d\boldsymbol{M}}}{{ds}} + \omega \times \boldsymbol{M} + {\boldsymbol{e}_3} \times \boldsymbol{F} + \boldsymbol{m} = 0, \end{array} \right. $

(3)

其中, $\frac{{{\rm{\tilde d}}}}{{{\rm{d}}s}}$表示相对主轴坐标系的导数, F和M为杆截面上内力在形心处的主矢和主矩, f和m为分布力和分布力偶。为使以上方程封闭, 引入线弹性本构方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_1} = A({\omega _1}-\omega _1^0), {\rm{ }}\\ {M_2} = B({\omega _2}-\omega _2^0), {\rm{ }}\\ {M_3} = C({\omega _3}-\omega _3^0), \end{array} \right. $

(4)

其中, A和B分别为抗弯刚度, C为抗扭刚度, ω_i⁰为原始弯扭度。

2 Kirchhoff弹性细杆的曲率方程

假设分布力为接触力, 方向垂直于切向, 故f沿切向分量为零。由于无摩擦, 接触力矩m=0。弹性杆方程(3)可表示为复曲率形式^[9]:

$ \begin{array}{l} \frac{{{{\rm{d}}^2}\xi (s)}}{{{\rm{d}}{s^2}}} + {\rm{i}}a\frac{{{\rm{d}}\xi (s)}}{{{\rm{d}}s}}-b\xi (s) + \frac{1}{2}{\left| \xi \right|^2}\xi (s)-\\ \;\;\;\;\frac{{{f_F}}}{A}\frac{{\xi (s)}}{{\left| \xi \right|}} = 0, \end{array} $

(5)

其中,

$ \begin{array}{l} \xi (s) = {\omega _1} + {\rm{i}}{\omega _2}\\ a = \frac{{(1 + 2\sigma ){\omega _{30}}}}{{1 + \sigma }}\\ b = \frac{{\omega _{10}^2 + \omega _{20}^2}}{2} + \frac{\sigma }{{1 + \sigma }}\omega _{30}^2 \end{array} $

为积分常量, σ为泊松比,

$ {f_F} = {f_{{e_1}}} + {\rm{i}}\;{f_{{e_2}}}。 $

ω₁₀, ω₂₀, ω₃₀表示常扭率。

虽然文献[8-9]给出弹性细杆方程一类非线性薛定谔方程, 但未做进一步讨论, 而是给出用曲率表示的Euler-Lagrange方程。由于含有曲率三次方的倒数, 导致其不能与薛定谔方程比拟。现在将ξ(s)表示为如下复指数形式:

$ \xi (s) = \kappa (s)\exp {\rm{i}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}-\frac{{as}}{2}} \right), $

(6)

代入方程(5)中, 得到

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}\kappa (s)}}{{{\rm{d}}{s^2}}}-c\kappa (s) + \frac{1}{2}{\left| \kappa \right|^2}\kappa (s)-\frac{{{f_F}}}{A}\frac{{\kappa (s)}}{{\left| \kappa \right|}} = 0, $

(7)

其中,

$ c = b-\frac{1}{4}{a^2}。 $

由式(6)得到

$ \chi (s) =-\frac{a}{2}s + \frac{{\rm{\pi }}}{2}, $

代入式(2)中第三项, 计算得到挠率:

$ \tau = {\omega _{30}} + \frac{a}{2} = {\rm{const, }} $

(8)

即方程(7)表示挠率和扭率为常量的弹性杆。

3 Kirchhoff弹性细杆曲率方程与薛定谔方程的比拟 3.1 一维非线性薛定谔方程的Jacobi椭圆函数解

一维非线性薛定谔方程的一般形式为

$ {\rm{i}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \alpha \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \beta {\left| u \right|^2}u = 0, \;\;{\rm{i}} = \sqrt {-1}, $

(9)

其中, $\alpha=\frac{\hbar }{{2m}}$是频散系数, $\beta=\frac{b}{\hbar }$是非线性相互作用系数, 也称Landau系数。假设方程的解有形式

$ u(x,\ t)=\phi (x)\exp (\text{i}Et\text{/}\hbar ), $

(10)

其中, E为波函数的能量, 在定态中振幅$\phi (x)$仍称为波函数。代入NLS方程, 得到

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}\phi (x)}}{{{\rm{d}}{x^2}}} = \frac{\gamma }{\alpha }\phi (x)-\frac{\beta }{\alpha }{\phi ^3}(x), $

(11)

其中,

$ \gamma = \frac{E}{\hbar }, {\rm{ }}\gamma > 0。 $

式(11)称为一维定态非线性薛定谔方程。如果α > 0, β > 0, 则定态非线性薛定谔方程具有Jacobi椭圆函数解^[11]:

$ \phi (x) = \pm \sqrt {\frac{{2\gamma }}{{\beta (2- {k^2})}}} {\rm{dn}}\left[{\sqrt {\frac{\gamma }{{\alpha (2-{k^2})}}} (x-{x_0}), k} \right], $

(12)

其中, dn[]为第三类Jacobi椭圆函数, k为Jacobi椭圆函数的模。

3.2 Kirchhoff弹性细杆曲率方程的Schrö-dinger粒子波动比拟与精确解

忽略接触力, 方程(7)变为

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}\kappa (s)}}{{{\rm{d}}{s^2}}} = c\kappa (s)-\frac{1}{2}{\kappa ^3}(s)。 $

(13)

在满足条件

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\gamma }{\alpha } = c, \\ \frac{\beta }{\alpha } = \frac{1}{2} \end{array} \right. $

(14)

的情况下, 方程(13)与一维定态非线性薛定谔方程(11)具有相同的数学形式, 我们称方程(13)为弹性细杆曲率表示的一维定态非线性薛定谔方程。类似于Kirchhoff动力学比拟, 我们给出曲率表示的弹性细杆方程与一维定态非线性薛定谔方程的比拟关系, 见表 1。

在Schrödinger粒子波动比拟关系下, 方程(13)具有Jacobi椭圆函数解:

$ \kappa (s) = \sqrt {\frac{{4c}}{{2- {k^2}}}} {\rm{dn}}\left[{\sqrt {\frac{c}{{2-{k^2}}}} (s-{s_0}), k} \right]。 $

(15)

根据Jacobi椭圆正弦函数Sn[]与椭圆Delta函数dn[]的关系, 我们得到椭圆正弦函数表示的弹性杆的曲率:

$ \kappa (s) = \sqrt {\frac{{4c}}{{2- {k^2}}}- \frac{{4c}}{{2- {k^2}}}{k^2}{\rm{s}}{{\rm{n}}^2}\left[{\sqrt {\frac{c}{{2-{k^2}}}} (s-{s_0}), k} \right]}。 $

(16)

4 弹性细杆的三维几何图像 4.1 精确解对应的几何图像

给出弹性细杆的弯扭度解之后, 就可确定挠性线的位形和截面的姿态。对于Jacobi椭圆函数形式的曲率解(式(16)), 令

$ \frac{\gamma }{\alpha } = \frac{3}{{10}}, $

可以得到

$ \kappa (0) = 0.83。 $

在挠率τ=0.13时, 对应的弹性细杆的几何位形见图 1。由Schrödinger粒子波动比拟, 图 1与粒子波函数初值为Φ(x)|_x=0=0.83的波动状态对应。

4.2 弹性细杆数值模拟

引入无量纲弧坐标、曲率和挠率:

$ \begin{array}{l} s = \left( {\frac{{{M_0}}}{B}} \right)s, \\ \kappa = \left( {\frac{B}{{{M_0}}}} \right)\kappa, \\ \tau = \left( {\frac{C}{{{M_0}}}} \right)\tau \end{array} $

以及无量纲参数

$ c = {\left( {\frac{B}{{{M_0}}}} \right)^2}c, $

可得到方程(13)的无量纲形式。方程的挠率为常数。令

$ \frac{\gamma }{\alpha } = \frac{1}{4}, $

方程曲率的初值为κ(0)=0.20, 其一阶导数的初值为κ'(0)=0.20可以得到数值模拟图像(图 2)。按照Schrödinger粒子波动比拟, 图 2中的图像对应粒子波函数初值取$\phi (x)\left| {_{x=0}} \right.=0.20$时的波动状态。

5 结论

本文通过引入复曲率的一种特殊表示, 将弹性细杆Kirchhoff方程化为与一维定态非线性薛定谔方程数学形式上相似的曲率方程, 给出其与Schrö-dinger粒子波动的比拟关系。

通过Schrödinger粒子波动比拟关系, 给出Kir-chhoff弹性细杆的曲率随弧坐标变化的Jacobi椭圆函数形式, 从而实现将非线性薛定谔方程解移植到弹性细杆力学中。利用本文方法, 也可将非线性薛定谔方程其他解引入弹性细杆方程; 同时, 如何将弹性细杆解引入薛定谔方程也值得进一步研究。

本文画出精确解与数值解所对应的弹性细杆图像, 给出Schrödinger粒子波动比拟下, 粒子波动状态所对应的弹性细杆几何位形。

Schrödinger粒子波动比拟的意义在于:类似于Kirchhoff动力学比拟, 给出定态波函数的不同量子态在Schrödinger粒子波动比拟下对应的弹性细杆的不同几何图像, 为弹性细杆方程的求解提供了新的途径。