传统的分析动力学中重要的积分变分原理是Hamilton原理^[1]:双面理想完整有势系统, 在由广义坐标描述系统位形的事件空间E[q_i, t]中, 从A点(q_i⁰，t₀)出发到B点(q_i¹，t₁)的所有约束可能轨道中, 真实的动力学轨道是使Hamilton作用量泛函

$ J = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {L({q_i}, {{\dot q}_i}, t){\rm{d}}t} $

(1)

成为驻定值的轨道, 即对此轨道作用量泛函一阶变分为零:

$ \delta J = \delta \int_{{t_0}}^{{t_1}} {L{\rm{d}}t} = 0。 $

(2)

泛函中的被积函数$ L({q_i}, {\dot q_i}, t) $为力学系统的Lag-range函数, 容易证明上述变分原理与下列Lagrange方程等价:

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-\frac{{\partial L}}{{\partial {q_i}}} = 0\;(i = 1, 2, \;..., n)。 $

(3)

解此运动微分方程, 得到全部q_i(t), 就确定了真实的动力学轨道, 即泛函的驻定轨道。简而言之, 如果不考虑泛函的直接求解, 那么力学变分原理正问题就是由给出系统的Lagrange函数确定系统的驻定轨道。

存在正问题就有对应的逆问题, 变分法逆问题是数学、力学以及物理学领域中古老而又常新的课题^[2-6]。根据上述变分法正问题, 与之直接对应的逆问题应是给出系统作用量泛函的驻定轨道, 如何确定系统的Lagrange函数^[6]。但是, 通常给出的不是系统的驻定轨道, 而是确定系统动力学轨道的运动微分方程。因此, 实际上变分法逆问题的提法如下。给定系统的运动微分方程

$ \begin{array}{l} {F_i}(\mathit{\boldsymbol{\ddot q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, t) = {M_{ij}}(\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, t){{\ddot q}_j} + {N_i}(\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;t)\\ = 0, \;[\det ({M_{ij}}) \ne 0], \end{array} $

(4)

是否存在某个Lagrange函数$ L({q_i}, {\dot q_i}, t) $, 使这组方程直接由变分原理导出, 即写成Lagrange方程形式:

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-\frac{{\partial L}}{{\partial {q_i}}} = {M_{ij}}{\ddot q_j} + {N_i}。 $

(5)

然而, 这样提出的问题太严格, 故常常被推广, 即研究给定方程能否间接由变分原理导出, 写成等价的Lagrange方程:

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-\frac{{\partial L}}{{\partial {q_i}}} = {h_{ik}}({M_{kj}}{\ddot q_j} + {N_k}) = {M'_{ij}}{\ddot q_j} + {N'_i}, $

(6)

式中矩阵乘子满足下列条件:

$ \det ({h_{ij}}) \ne 0。 $

(7)

变分法逆问题常常又称为Lagrange力学逆问题。下面主要讨论式(4)形式的二阶常微分方程(组)以及由偶数个一阶常微分方程组成的方程组是否能够表示为Lagrange方程的问题。应当指出, 这种逆问题是一种多层次的问题: 1) 方程应该满足什么样的条件才能从变分原理导出; 2) 如果存在Lag-range函数, 如何构造对应的Lagrange函数; 3) 同一个方程可能存在多少Lagrange函数问题。一百多年来的研究使得问题1答案明确, 能够直接或间接表示成Lagrange方程形式的方程应是自伴随的或者能够变换成为自伴随的, 即应满足Helmholtz条件, 证实存在没有Lagrange表示的二阶常微分方程系统。对于问题2, 得到若干普遍的和特殊的构造Lagrange函数方法, 但是, 几种普遍的构造Lagrange函数方法的前提是给定的方程应当直接是或者变换成自伴随形式的, 而在一般情况下要将微分方程(组)变换成自伴随方程(组)是相当困难的。因此, 很多关于逆问题的研究就转向探讨构造Lagrange函数的特殊途径, 出现若干适用范围不同和难易程度不一的构造Lagrange函数方法。问题3的结论也很明确, 逆问题的解不是唯一的, 逆问题与等效的Lagrange函数问题密切相关。

然而, 在相当长的时期内, 变分法逆问题的研究并没有得到较高的关注度和实际应用。近几十年情况有所改变, 数学和物理学理论发展的需要, 分析力学在其他学科领域中的应用, 力学中的非线性非保守系统分析力学化, 推动了变分法逆问题的研究, 许多传统概念被突破, 提出非标准形式的Lag-range函数, 引入分数阶导数, 发展新的方法以构造出多种系统的不同形式的Lagrange函数和Hamil-ton函数。这些成果拓展了Lagrange系统的范围, 扩大了分析力学理论和方法的应用领域^[7-25]。

20世纪80年代末, 国内力学和物理学界开始关注变分法逆问题^[26-30]。梅凤翔^[26]系统地介绍了逆问题的基本理论和方法, 启动了国内关于变分法逆问题的研究。20世纪90年代关于非完整系统力学的争论深刻涉及变分原理, 利用分析力学理论和方法研究微分方程涉及微分方程的分析力学化, 这些都推动了对逆问题的研究。进入21世纪后, 若干研究者提出新的关于构造二阶和一阶常微分方程(组)的Lagrange函数的方法, 例如, 直接根据运动微分方程的结构特点来构造Lagrange函数, 利用变量变换构造Lagrange函数, 直接构造与加速度相关的Lagrange函数, 或者将二阶微分方程(组)化为一阶微分方程组构造Lagrange函数, 等等。实际上, 关于Birkhoff系统动力学的研究中提出的构造Birk-hoff函数和函数组就是构造一阶常微分方程系统Lagrange函数。与此同时, 逆问题的理论和方法在数学、力学、物理学和其他领域得到应用^[31-54], 相关的内容也进入部分教材和专著^[55-60]。

本文无意对国内外关于逆问题的研究给予比较全面的评论, 文后收录的参考文献不系统不全面, 只简要涉及国内在该问题研究中的若干进展, 重点介绍从第一积分构造Lagrange函数的新方法及由这种方法得到的结果与等效的Lagrange函数的关联, 特别是证明等效的Lagrange函数族的存在等。为了说明这些成果的理论意义和实用价值, 文中给出若干实例。最后, 对变分法逆问题的研究提出一些看法和建议。

1 从第一积分直接构造Lagrange函数的方法

系统的Lagrange函数与其第一积分关系密切, 不仅关于对称性和守恒量的理论涉及两者的关联, 逆问题研究中的一些构造Lagrange函数方法也与第一积分相关。这里给出的是我们前几年提出的一种新的从第一积分出发的构造Lagrange函数方法。首先, 证明Lagrange函数与第一积分存在一种与对称性理论无关的新关系, 据此提出一种比较普遍的构造Lagrange函数新方法, 说明这种方法的实用性, 证明由此能够导出等价的Lagrange函数和函数族。

1.1 第一积分与Lagrange函数的新关系和构造Lagrange函数的新方法

考虑二阶常微分方程系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_{ij}}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}){{\ddot q}_j} + {N_i}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = 0, \\ \det ({M_{ij}}) \ne 0\;\;\;(i, j = 1, 2, ..., n), \end{array} \right. $

(8)

将系统(8)变换成如下运动学形式:

$ {{\ddot q}_i} = {Q_i}(t, \;\;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})。 $

(9)

设该系统的一个第一积分为

$ I = I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}), $

(10)

在系统真实运动中I保持不变:

$ \frac{{{\rm{d}}I}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{\partial I}}{{\partial t}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}}{\dot q_i} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_i}}}{Q_i} \equiv 0。 $

(11)

如果第一积分(10)满足下列条件:

$ \det \left( {\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_i}\partial {{\dot q}_j}}}} \right) \ne 0, $

(12)

则设$ I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) $与函数L之间存在以下关系:

$ L(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = A(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}})I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) + {B_i}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}){{\dot q}_i} + {B_0}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}), $

(13)

其中因子A(t, q), B_i(t, q)和B₀(t, q)由下列方程确定:

$ \begin{array}{l} \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}} + \frac{{\partial A}}{{\partial {q_j}}}{{\dot q}_j}} \right)\frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-\frac{{\partial A}}{{\partial {q_i}}}I-2A\frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}}-A\frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}}} + \\ \frac{{\partial {B_i}}}{{\partial t}} + \left( {\frac{{\partial {B_i}}}{{\partial {q_j}}} - \frac{{\partial {B_j}}}{{\partial {q_i}}}} \right){{\dot q}_i} - \frac{{\partial {B_0}}}{{\partial {q_i}}} = 0\\ \left( {i = 1, {\rm{ }}2, {\rm{ }} \ldots, n} \right), \end{array} $

(14)

式(13)和方程(14)给出力学系统第一积分和Lag-range函数之间的一种新的关系^[41], 证明如下。

首先, 证明如果式(13)中L是方程(9)的Lag-range函数, 则因子A, B_i和B₀必须满足方程(14)。将式(13)中L代入Lagrange方程, 沿着系统在位形空间中真实运动展开得到

$ \begin{array}{l} A\left( {\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial t\partial {{\dot q}_i}}} + \frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {q_j}\partial {{\dot q}_i}}}{{\dot q}_i} + \frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_j}\partial {{\dot q}_i}}}{Q_j}} \right) + \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}} + \frac{{\partial A}}{{\partial {q_j}}}{{\dot q}_i}} \right)\frac{{\partial I}}{{\partial \dot q}}-\\ \frac{{\partial A}}{{\partial {q_{_i}}}}I-A\frac{{\partial I}}{{\partial {q_{_i}}}} + \frac{{\partial {B_i}}}{{\partial t}} + \left( {\frac{{\partial {B_i}}}{{\partial {q_j}}}-\frac{{\partial {B_j}}}{{\partial {q_{_i}}}}} \right){{\dot q}_j} - \frac{{\partial {B_0}}}{{\partial {q_i}}} = 0。 \end{array} $

(15)

由于I是第一积分, 满足条件(11), 计算式(11)对$ {\dot q_i} $的偏导数得到

$ \frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial t\partial {{\dot q}_i}}} + \frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {q_j}\partial {{\dot q}_i}}}{{\dot q}_j} + \frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_j}\partial {{\dot q}_i}}}{Q_j} + \frac{{\partial I}}{{\partial {q_{_i}}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}_{_i}}} = 0。 $

(16)

由以上两式直接得到方程(14)。

然后, 证明如果式(13)中L函数的因子A, B_i和B₀满足方程(14), 则由对应的Lagrange方程必可导出方程(9)。将式(13)中L代入Lagrange方程, 展开得到式(15), 由于A, B_i和B₀满足方程(14), 并考虑到式(16), 则由式(15)得到

$ \mathit{\boldsymbol{A}}\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_j}\partial {{\dot q}_i}}}({{\ddot q}_j} - {Q_j}) = 0。 $

(17)

因为I满足条件(12), 所以由方程(17)可得方程(9)。换句话说, 这就证明式(13)中函数L是系统(8)(或(9))的Lagrange函数。

综上所述, 可以提出一种变分法逆问题的新解法^[41], 即若要构造微分方程系统(8)的Lagrange函数, 可将方程变换成运动学形式(9), 并得到满足条件(12)的第一积分$ I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) $, 代入方程(14), 解出函数因子A, B_i和B₀, 代入式(13), 即得到Lagrange函数。这种变分法逆问题新解法的基础是由式(13)和方程(14)给出的第一积分与Lagrange函数的新关系, 这种关系不涉及系统在变量变换下的对称性。换句话说, 这种新解法与对称性理论无关, 对第一积分除了应当满足条件(12)外, 没有其他特别的要求(例如不显含时间)。此外, 这种方法对运动微分方程的结构也没有预先特定的要求, 更不要求将方程变换成为自伴随的, 因此是一种比较普遍的、实用的构造Lagrange函数的新方法。

1.2 新方法与等效的Lagrange函数

如果对系统(9)某个第一积分I方程(14)有解, 则解不是唯一的。当A(t, q)已确定时, B_i(t, q)和B₀(t, q)仍然有任意多组解。例如, 设B_i和B₀是一组解时, 则下列变换得到的B'_i和B'₀也是方程(14)的解:

$ {B_i} \to {B_i}^\prime = {B_i} + \frac{{\partial G}}{{\partial {q_i}}}, \;\;{B_0} \to {B_0}^\prime = {B_0} + \frac{{\partial G}}{{\partial t}}, $

(18)

其中G(t, q)是其宗量的任意连续可微函数。将B'_i和B'₀代入式(13)就得到一组规范等效的Lagrange函数^[1-2]:

$ L' = L + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}G(t, \;\;\mathit{\boldsymbol{q}})。 $

(19)

这就是说, 新解法求得的应是规范等效的Lagrange函数族。可以指出, 利用规范变换可以简化方程(14), 方程(14)有n+2个待求函数, 但是只有n个方程, 通过规范变换可以减少一个待求函数。以下如果没有特别说明, 将不再考虑Lagrange函数的规范变换, 不考虑规范等效的Lagrange函数族。

同样地, 新方法与Lagrange函数的另一类同位等效函数相关^[2-3]。由于式(13)构成的Lagrange函数与第一积分I的选取相关, 取不同的第一积分导出的Lagrange函数是不同的, 它们之间不是规范等效的, 但由它们列出的Lagrange方程都与给定的微分方程(8)或(9)等价, 因此这些Lagrange方程之间是同位等效的。设与第一积分I和I^*对应的Lag-range函数分别为L和L^*:

$ \left\{ \begin{array}{l} L = A(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}})I + {B_i}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}){{\dot q}_i} + {B_0}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}), \\ {L^*} = {A^*}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}){I^*} + {B_i}^*(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}){{\dot q}_i} + {B_0}^*(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}})\;。 \end{array} \right. $

(20)

重复式(17)的推导, 可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {E_i}(L) = A\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_j}\partial {q_i}}}({{\ddot q}_j}-{Q_j}), \\ {E_i}({L^*}) = {A^*}\frac{{{\partial ^2}{I^*}}}{{\partial {{\dot q}_j}\partial {q_i}}}({{\ddot q}_j}-{Q_j})\;。 \end{array} \right. $

(21)

显然, 由式(20)和(21)可得

$ {E_i}({L^*}) = {h_{ij}}(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}){E_j}(L)。 $

(22)

其中, 同位变换矩阵元为

$ {h_{ij}} = {A^*}{A^{- 1}}\frac{{{\partial ^2}{I^*}}}{{\partial {{\dot q}_i}\partial {{\dot q}_k}}}{\left[{\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {{\dot q}_r}\partial {{\dot q}_s}}}} \right]^{ -1}}_{kj}, $

(23)

即L和L^*是给定系统的同位等效的Lagrange函数。换句话说, 这里给出的从第一积分构造Lagrange函数的新方法可以直接导出同位等效的Lagrange函数。

1.3 一类同位等效的Lagrange函数族

在上述同位等效Lagrange函数中, 可能存在函数族^{[42, 48]}。如果对系统(9)的一个积分I, 方程(14)有如下特解:

$ A = A(t), \;\;{B_i} = 0, \;\;{B_0} = 0, $

(24)

这里A(t)包括A为常数, 而对B_i和B₀不再考虑规范变换解$ \left( {{B_i} = \frac{{\partial G}}{{\partial {q_j}}}, \;{B_0} = \frac{{\partial G}}{{\partial t}}} \right) $。将解(24)代入式(13)得到一个Lagrange函数:

$ L = A(t)I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})。 $

(25)

下面证明, 存在一个与L同位等效的Lagrange函数族

$ \bar L = A(t)F(I(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})), $

(26)

F(I)为I的任意连续可微函数。对式(25)中L, 方程(14)写成

$ \frac{{{\rm{d}}A}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-A\left( {2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}}}} \right) = 0, $

(27)

I是第一积分, F(I)也是第一积分, 对式(26)中L, 方程(14)写成

$ \frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}I}}\left[{\frac{{{\rm{d}}A}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_i}}}-A\left( {2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}}}} \right)} \right] = 0。 $

(28)

显然, 式(27)与式(28)等价。

对系统(9)及其第一积分I, 同位等效函数族(26)的存在条件为

$ \begin{array}{l} 2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}}} = f(t)\frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_i}}}\\ \left( {i = {\rm{ }}1, {\rm{ }}2, {\rm{ }} \ldots, n} \right), \end{array} $

(29)

式(24)或(25)中因子A(t)由下式确定:

$ A(t) = \exp \left[{\int_{}^t {f(\tau ){\rm{d}}\tau } } \right]。 $

(30)

由条件(29)可得下列推论:若

$ \begin{array}{l} 2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_i}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\frac{{\partial {Q_j}}}{{\partial {{\dot q}_i}}} = 0\\ \left( {i = 1, {\rm{ }}2, {\rm{ }} \ldots, n} \right), \end{array} $

(31)

则式(25)和(26)中因子A为常数。

在文献[27]中, 实际上已经导出阻尼运动的Lagrange函数族, 国外的研究(如文献[22])中也得到某些系统的Lagrange函数族。这里给出的从第一积分直接构造Lagrange函数的新方法, 不仅能够构造规范等效的和同位等效的Lagrange函数, 而且能够在一定条件下直接导出一类同位等效Lagrange函数族^{[41-42, 48]}, 表明Lagrange函数族的存在并不是孤立的特殊情况, 而是一种相当普遍的情况。这是这种新解法带来的一个新的重要结论。

2 从谐振子第一积分构造Lagrange函数和函数族

下面以典型的保守系统--谐振子为例, 说明前面给出的方法的应用。简谐振动是最基本的运动形式之一, 在力学和工程科学领域以及经典物理和量子物理领域中都得到高度的重视, 也是变分法及其逆问题研究中非常热门的实例之一。简谐振动运动微分方程

$ \ddot x + x = 0\;(取{\omega ^2} = 1) $

(32)

的两个基本第一积分^[52]为

$ \left\{ \begin{array}{l} {I_1} = x\sin t + \dot x\cos t, \\ {I_2} = x\cos t-\dot x\sin t, \end{array} \right. $

(33)

其他第一积分可由I₁和I₂构成, 如

$ {I_3} = \frac{1}{2}({I_1}^2 + {I_1}^2) = \frac{1}{2}({\dot x^2} + {x^2}), $

(34)

$ {I_4} = \arctan \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \arctan \frac{{\dot x}}{x} + t, $

(35)

I₁, I₂, I₃和I₄分别与谐振子的初速度、初位置、振幅(总能量)和初位相相关。

I₃满足条件(12), 将I₃和Q=-x代入方程(14), 得到方程的一组特解:

$ A = \frac{1}{2}, \;\;{B_1} = 0, \;\;{B_0} =-\frac{1}{2}{x^2}, $

代入式(13), 就得到众所周知的简谐振动Lagrange函数:

$ {L_3} = \frac{1}{2}({\dot x^2}-{x^2})。 $

(36)

应当指出, I₄虽然也满足条件(12), 但是代入方程(14)后无解。

I₁不满足条件(12), 然而由I₁能够构成新的第一积分:

$ I = F({I_1}) = F(x\sin t + \dot x\cos t), $

(37)

F是其宗量的任意连续可微函数。设新积分满足条件(12), 即

$ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {{\dot x}^2}}} \ne 0, $

(38)

将I和Q代入方程(14)得

$ \begin{array}{l} \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}} + \frac{{\partial A}}{{\partial x}}\dot x} \right)\frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}{I_1}}}\cos t-\frac{{\partial A}}{{\partial x}}F({I_1})-\\ 2A\frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}{I_1}}}\sin t + \frac{{\partial {B_1}}}{{\partial t}}-\frac{{\partial {B_0}}}{{\partial x}} = 0。 \end{array} $

上述方程的一组特解为

$ A = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} = {\sec ^2}t, {B_1} = 0, {B_0} = 0, $

代入式(13)得到

$ {\bar L_1} = {\sec ^2}tF(x\sin t + \dot x\cos t), $

(39)

由于F是任意函数, 故L₁是一个Lagrange函数族。

类似地, 由I₂构成新的第一积分:

$ I' = F({I_2}) = F(x\cos t-\dot x\sin t)\left( {\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {{\dot x}^2}}} \ne 0} \right), $

(40)

可以得到另一个Lagrange函数族:

$ {{\bar L}_2} = {\csc ^2}tF(x\cos t-\dot x\sin t)。 $

(41)

L₁和L₂可以直接导出, 例如对I₂满足判别条件(29), 并且

$ f(t) =-2\cot t, $

代入式(30)得到

$ A(t) = \frac{1}{{{{\sin }^2}t}} = {\csc ^2}t, $

(42)

由此即得函数族L₂。

3 方程$ \ddot x + b(x){\dot x^2} + c(x)x = 0 $的分析力学化

研究变系数非线性非保守动力学系统^{[16, 20]}:

$ \ddot x + b(x){\dot x^2} + c(x)x = 0。 $

(43)

引入变数变换, 将方程(43)写成两个一阶方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = y, \\ \dot y + b(x){y^2} + c(x)x = 0。\; \end{array} \right. $

(44)

消除时间变量t, 导出一阶微分方程:

$ y\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}x}} + b(x){y^2} + c(x)x = 0, $

利用积分因子法, 可得到上述一阶微分方程的积分:

$ I = \frac{1}{2}{y^2}{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}} + \int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x){{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x}, $

变换为原来变数, 即得到方程(43)的一个第一积分:

$ I = \frac{1}{2}{\dot x^2}{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}} + \int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x){{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x}, $

(45)

式中,

$ {I_b}(x) = \int_{{x_0}}^x {b(\bar x){\rm{d}}\bar x} 。 $

(46)

将式(45)第一积分代入式(14), 得到

$ \begin{array}{l} \left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}} + \frac{{\partial A}}{{\partial x}}\dot x} \right)\dot x{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}}- \frac{{\partial A}}{{\partial x}}\left[{\frac{1}{2}} \right.{{\dot x}^2}{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}} + \\ \left. {\int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x){{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x} } \right] - 2A[b(x){{\dot x}^2} + c(x)x]{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}} + \\ 2Ab(x){{\dot x}^2}{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}} -\frac{{\partial B}}{{\partial x}} = 0。 \end{array} $

上述方程的一个解是

$ \left\{ \begin{array}{l} A = 1, \\ B =-2\int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x){{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x} 。\; \end{array} \right. $

(47)

将积分I和A, B代入式(13), 得到式(43)的Lagrange函数为

$ L(\dot x, x) = \frac{1}{2}{\dot x^2}{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}}-\int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x)} \;{{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x, $

(48)

式(48)中函数$ L(\dot x, x) $可以看做是标准形式的, 即为“动能”与“势能”之差。容易导出对应的Hamilton函数为

$ \begin{array}{l} H(\dot x, x) = \frac{1}{2}{p^2}{{\rm{e}}^{-2{I_b}(x)}} + \int_{{x_0}}^x {\bar xc(\bar x)\;} {{\rm{e}}^{2{I_b}(\bar x)}}{\rm{d}}\bar x\\ (p = \dot x{{\rm{e}}^{2{I_b}(x)}})。 \end{array} $

(49)

导出Lagrange函数(48)和Hamilton函数(49)后, 发现像方程(43)这样的变系数非线性非保守动力学系统却是一个“守恒”的系统, 系统的“广义能量”(Hamilton函数)在运动中保持不变。

4 若干非保守非线性系统的Lag-range函数和函数族

例1  广义相对论中的Buchduhl方程^{[22, 42]}:

$ \ddot x = \frac{3}{x}{\dot x^2} + \frac{{\dot x}}{t}。 $

(50)

Buchduhl方程的两个第一积分为

$ {I_1} = \frac{{\dot x}}{{t{x^3}}}, $

(51)

$ {I_2} = \frac{{\dot xt}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}}。 $

(52)

引入积分I₁的满足条件(12)的任意函数F(I₁), 代入方程(14)得到

$ \frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}{I_1}}}\left[{\frac{{{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{A}}}}{{{\rm{d}}t}}-\frac{\mathit{\boldsymbol{A}}}{t}} \right]\frac{1}{{t{x^3}}} = 0, $

解得A=t, 由此得到Buchduhl方程的一个Lag-range函数族:

$ \bar L = tF({t^{-1}}{x^{-3}}\dot x)\;\;\;\left( {\frac{{\partial {F^2}}}{{\partial {{\dot x}^2}}} \ne 0} \right)。 $

(53)

实际上, I₁满足条件(29), 即

$ 2\frac{{\partial {I_1}}}{{\partial \dot x}} + \frac{{\partial {I_1}}}{{\partial \dot x}}\frac{{\partial Q}}{{\dot x}} = \frac{1}{{{t^2}{x^3}}} = \frac{1}{t}\frac{{\partial {I_1}}}{{\partial \dot x}}, $

由式(30)得A=t, 直接得到Lagrange函数族(53)。

同样, I₂也满足条件(29), 故可以导出另一个Lagrange函数族为

$ {\bar L_2} = \frac{1}{{{t^3}}}F\left( {\frac{{\dot xt}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\;\;\;\;\left( {\frac{{\partial {F^2}}}{{\partial {{\dot x}^2}}} \ne 0} \right)。 $

(54)

上述结果比文献[22]得到的结果更为普遍, 后者只是前者的特例。

例2  二维非线性变系数阻尼运动的Lagrange函数族^{[3, 41-42]}。

以上讨论的系统都是一维的, 下面以二维非线性变系数阻尼运动为例, 讨论多维情况。设系统运动方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\ddot q}_1} = {Q_1} =-\frac{\gamma }{m}({q_1}{{\dot q}_1}^2 + 2{q_2}{{\dot q}_1}{{\dot q}_2}-{q_1}{{\dot q}_2}^2), \\ {{\ddot q}_2} = {Q_2} =-\frac{\gamma }{m}({q_2}{{\dot q}_2}^2 + 2{q_1}{{\dot q}_1}{{\dot q}_2} - {q_2}{{\dot q}_1}^2)。\; \end{array} \right. $

(55)

方程的一个第一积分为

$ I = \log ({\dot q_1}^2 + {\dot q_2}^2) + \frac{\gamma }{m}({q_1}^2 + {q_2}^2), $

(56)

将I和Q₁, Q₂代入判别条件(31), 得

$ \left\{ \begin{array}{l} 2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_1}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_1}}}\frac{{\partial {Q_1}}}{{\partial {{\dot q}_1}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_2}}}\frac{{\partial {Q_2}}}{{\partial {{\dot q}_1}}} = 0, \\ 2\frac{{\partial I}}{{\partial {q_2}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_1}}}\frac{{\partial {Q_1}}}{{\partial {{\dot q}_2}}} + \frac{{\partial I}}{{\partial {{\dot q}_2}}}\frac{{\partial {Q_2}}}{{\partial {{\dot q}_2}}} = 0, \end{array} \right. $

(57)

因此系统存在Lagrange函数族:

$ \bar L = F\left[{\log ({{\dot q}_1}^2 + {{\dot q}_2}^2) + \frac{\gamma }{m}({q_1}^2 + {q_2}^2)} \right], $

(58)

上式取常数因子A=1。文献[3]中只给出系统(55)的一个Lagrange函数:

$ L = \frac{1}{2}({\dot q_1}^2 + {\dot q_2}^2)\exp \left[{\frac{\gamma }{m}({q_1}^2 + {q_2}^2)} \right], $

(59)

显然, 这个L只是L中一个特定函数。

5 结论与讨论

本文概要地回顾变分法逆问题的内容及国内外的研究简况, 主要给出国内近年来提出的变分法逆问题的一种新解法以及与之相关的结果。这种解法基于力学系统第一积分与其Lagrange函数之间存在一种新关系, 通过对一系列典型的线性和非线性微分方程系统的应用, 说明这种方法的理论意义和应用价值。这是一种比较普遍的求解变分法逆问题的方法, 可以应用于系统, 构造得到多种不同形式的Lagrange函数。利用这种方法无需首先将运动方程变换成为自伴随形式的, 也无需先行假设Lag-range函数的特殊形式。利用这种方法可直接得到等价的Lagrange函数, 特别是同位等价的Lagrange函数, 并且在一定条件下能够导出等价的Lagrange函数族。

变分法逆问题是一种基础理论研究, 有较长的研究历史, 得到的结果不仅对数学和力学领域, 而且对理论物理等传统学科都有重要的意义。从近几十年情况来看, 虽然国外在这个领域的研究者并不多, 但是这些研究者中, 有从事传统的理论物理(如粒子物理和天体物理)研究的学者, 也有从事新型交叉学科的学者, 这是值得重视的现象。与之相比, 国内从事这个领域研究的队伍太小, 传统物理学科与交叉学科的学者很少进入该领域。然而, 逆问题研究不仅在数学和力学领域, 而且在物理学领域都需要继续深入。例如, 关于Lagrange函数族仍然有待深入研究; 变分法逆问题如何从有限自由度的离散系统推广到无限自由度的连续系统, 即如何推广到场论; 力学系统Lagrange函数和Hamilton函数的多值性对系统的量子化有怎样的影响; 等等。

目前对各种系统的研究常常是跨学科的研究, 涉及数学、力学、物理学、化学、地球科学、生命科学和医学、工程科学、经济学以及社会科学等, 这种研究不仅有重大的理论意义, 而且有重要的应用价值。通过建立系统的数学模型(主要是微分方程模型)来理解和掌握系统的行为特性和演化发展, 已经成为当今众多学科领域中的热点方法。值得指出的是, 在这种研究中, 分析力学的理论和方法有着重要的应用, 这种应用需要实现微分方程系统的分析力学化, 主要方式是构造对应的Lagrange函数以及Hamilton函数, 显而易见, 这与变分法逆问题密切相关。

综上所述, 变分法逆问题的研究是基础理论研究, 应当加强。基础理论研究是知识创新的源头, 科学史表明, 逆问题的研究常常带来突破, 因此不能忽视变分法逆问题的研究。这个领域的研究队伍不需要庞大, 但必须有一定的数量, 分析力学学者应当是主力, 但必须有多学科协作, 科研管理部门对这样的研究应当给予支持。