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北京大学学报(自然科学版) 第61卷 第4期 2025年7月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 61, No. 4 (July 2025)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2025.056
安徽省高校自然科学研究项目(CZ2024ZRZ07, CZ2024YJRC20, CZ2024ZRZ06)资助
收稿日期: 2024–06–19;
修回日期: 2024–10–07
摘要 为了抑制传统二维叉形光栅的高级衍射, 提出一种单一的光学元件——准随机点阵二维叉形光栅QTFGs, 将传统二维正弦叉形光栅分割成大量的矩形点阵, 并对矩形点阵进行二值化, 从而实现平面结构的单级衍射。数值模拟和实验结果表明, 准随机点阵二维叉形光栅可以有效地消除二级和更高级的衍射, 只保留零级和一级的衍射。此外, 通过分析拓扑电荷、波长和矩形点阵的尺寸对衍射特性的影响, 证实输出光束具有多拓扑荷的螺旋相位结构。
关键词 衍射光学; 光学涡旋; 单级衍射; 准正弦
光学涡旋是一种具有螺旋相位波前和暗中空结构的特殊光场, 其偏振和振幅在相位奇点处完全消失, 并且光场的相位围绕相位奇点, 沿垂直于传播方向, 以 exp(ilφ)的形式传播, 呈螺旋状分布, 其中φ 为角坐标, l 为拓扑电荷(定义为一个波长内相位旋转的圈数)[1]。在光学涡旋的传播过程中, 光束不仅沿传播轴平动, 并沿径向扩展, 而且绕着传播轴转动, 使得光束携带轨道角动量。因其独特的特性, 光学涡旋广泛应用于粒子操纵[2]、光计算[3]、光通信[4]、光学存储[5]和超分辨成像[6]等领域。
光学涡旋阵列[7]由多个光学涡旋组合而成。由于光学涡旋携带的拓扑电荷可能不同, 光学涡旋阵列拥有多个相位奇点, 使得光学涡旋的应用领域更加广泛。例如, 在光学微操作领域可以捕获和操纵多个微粒[8], 在光通信领域可传递更多信息[9], 在亚细胞工程中可以高效地进行大规模分子筛选[10], 在精密仪器中可以实现对微小形变的测量[11]。光学涡旋的广泛应用依赖于高质量的光学涡旋阵列, 目前产生光学涡旋阵列的方法主要有干涉法[12]、达曼涡旋光栅法[13]、计算全息法[14]、衍射光学元件法[15]和空间光调制法[16]等。在这些方法中, 衍射光学元件是一种与微电子工艺相兼容的浮雕型光学元件, 由于体积小、重量轻和设计灵活等特点, 成为产生涡旋阵列最有效、最通用的方法之一, 通常通过二维叉形光栅[17] (two-dimensional fork gratings, TFGs)来生成涡旋阵列。TFGs 是两个一维叉形光栅在不同方向的叠加, 相对于一维叉形光栅, 其优势在于通过叠加沿衍射方向的衍射级次, 能够在较低衍射级次产生更多的光学涡旋, 使得 TFGs 在实际应用中具有很大的潜在优势。然而, 由于 TFGs 具有与矩形光栅类似的平面周期性结构, 会产生高级衍射涡旋。当入射光为复合光时, 衍射光谱与波长并非一一对应, TFGs 产生的高级衍射涡旋会叠加在需要的一级衍射涡旋上, 阻碍后续的应用[18]。
本文提出一种基于二维叉形光栅的平面光学元件——准随机点阵二维叉形光栅(quasi-random-dots fork gratings, QTFGs), 并分析拓扑电荷、波长和矩形点阵的尺寸对衍射特性的影响。仿真和实验结果表明, 准随机点阵二维叉形光栅可以有效地抑制不需要的高级衍射, 具有良好的单级衍射特性。同时, 本文还证实输出光束具有多拓扑荷的螺旋相位结构。因此, 准随机点阵二维叉形光栅可以为光学涡旋在粒子操纵、光通信和精密测量中的应用提供新的途径。
对于水平方向的一维叉形光栅(图 1(a)), 其透射率函数可表示为
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其中, r 表征极径, φ 为方位角, p 为叉形光栅的拓扑电荷, D 为一维叉形光栅的周期, m 为衍射级次, ω0为入射光线的束腰宽度。
图1 TFGs, TSFGs和QTFGs的设计流程
Fig. 1 Designing flowchart of TFGs, TSFGs and QTFGs
对于竖直方向的一维叉形光栅(图 1(b)), 其透射率函数同理可表示为
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因此, 二维叉形光栅的透射率函数可写为
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简单起见, 本文只考虑常见的高斯光束垂直入射于TFGs(图 1(c))的情况。根据夫琅禾费衍射积分公式, 远场衍射分布为
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其中, ρ 和 θ 分别为焦平面上的极径和方位角, A 为光束的振幅, C=i/λf 为复常数, f 为透镜焦距。
对式(4)进行简化, 可得
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由式(6)和(7)可知, TFGs 的远场衍射不仅存在 0 级衍射和±1 级衍射, 还存在若干高级衍射。为了消除高级衍射引起的干扰, 简化后续应用流程, TFGs 仅需零级衍射和一级衍射涡旋。
不同于 TFGs, 二维正弦叉形光栅(two-dimen-sional sinusoidal fork gratings, TSFGs)的设计流程如图 1(d)～(f)所示, 其透射率函数可表示为
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因此, TSFGs 的衍射场只存在 0 级衍射和 1 级衍射。然而, 由于标准的平面半导体工艺和三维正弦结构的限制, TSFGs 难以制造。
为了解决这些问题, 本文提出一种准随机点阵二维叉形光栅 QTFGs(图 1(i))。QTFGs 由大量准随机点阵组成, 其中点阵沿 X 和 Y 的方向随机分布。对于振幅型的 QTFGs, 每个点阵都是不透明衬底上的透明点阵。点阵与光栅衬底的透射率呈二值跃迁, 即当点阵的透射率为 1 时, 衬底的透射率为 0。QTFGs 的设计流程如下: 首先, 计算并绘制 TSFGs的透射率图(图 1(f)), 透射率的数值在 0～1 之间变化; 随后, 将 TSFGs 分割成若干矩形点阵(图 1(g)), 每个矩形点阵的平均透过率在 0～1 之间; 最后, 为了将三维结构转换为二维平面结构, 对每个矩形点阵进行二值化处理(图 1(h)), 如式(9)所示:
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其中, rand 为随机函数, 其值在 0～1 之间; tm,n 和
分别为 QTFGs 和 TSFGs 中第 m 行、第 n 列的矩形点阵的透射率值。
在 MATLAB 中选择 rand 函数, 与 TSFGs 中矩形点阵第 m 行、第 n 列的透射率值进行比较, 两个参数的值均在 0～1 之间。若 rand 函数值大于 TSFGs中矩形点阵的第 m 行、第 n 列的透射率值, 则设置QTFGs 中矩形点阵中第 m 行、第 n 列的透射率值为0; 反之则设置 QTFGs 中矩形点阵的第 m 行、第 n列的透射率值为 1。由此, 可以获得具有与 TSFGs相同特性的 QTFGs(图 1(i)), 从而消除高级衍射。
通过叠加所有矩形点阵的透射率, 得到 QTFGs的透射率。由于基于二维 CZT(Chirp Z-Transform)的 FDI 方法[19]计算速度远快于常规积分法, 本文采用基于二维 CZT 的 FDI 方法, 对准随机点阵二维叉形光栅 QTFGs 进行数值模拟。平面波通过 QTFGs后的衍射强度分布可以表示为
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其中, (x1, y1)和(x2, y2)分别为 QTFGs 平面和观测平面上的笛卡尔坐标, 2-D CZT 为二维 CZT 算法, λ 为入射光波长, z 为传播距离, kx 为波矢。
用于数值计算和实验验证的 TFGs, TSFGs 和QTFGs 具有相同的周期, D=40μm, p=5, λ=632.8nm, 点阵尺寸 L=0.25μm。所有的模拟都基于电脑 AMD (R) Ryzen 5 CPU@3.2GHz and 8GB memory 和MATLAB。为了验证 QTFGs 的衍射特性, 根据式(10), 对 TFGs、TSFGs 和 QTFGs进行数值模拟, 得到远场衍射强度分布(图 2)。可以看出, TFGs 不仅可以产生 0 级和 1 级衍射涡旋, 而且远场衍射中也存在高级衍射涡旋。TSFGs 的远场衍射仅存在 0 级衍射和 1 级衍射涡旋。QTFGs 的衍射场分布与TSFGs 相似, 只能产生 0 级衍射和 1 级衍射涡旋, 3级衍射强度可从 TFGs 中期望 1 级衍射强度的 17%降至 QTFGs 中的背景噪声强度(图 2(g)～(i))。因此, QTFGs 具有与 TSFGs 相同的单级衍射特性, 可以有效地消除高级衍射涡旋。
QTFGs 由两个不同方向的叉形光栅组合而成, 因此, 产生的光学涡旋受拓扑电荷 p 影响。当拓扑电荷分别为 p=3、p=5 和 p=7 时, QTFGs 的远场衍射强度和相位分布如图 3 所示。图 3(a)～(c)中光学涡旋的尺寸逐渐增大, 主要因为传统光学涡旋的大小随拓扑电荷的增加而增大。对于图 3(d)～(f)中的 9个光学涡旋, 从相位分布可以看出, 第 2 个、第 4个、第 6 个和第 8 个光学涡旋的拓扑电荷为设定的拓扑电荷 p, 其光学涡旋为 0 级衍射和±1 级衍射叠加产生; 第 1 个和第 9 个光学涡旋的拓扑电荷为 2p, 其光学涡旋为–1 级衍射和 1 级衍射叠加产生; 第 5个光学涡旋为 0 级衍射叠加产生, 即光学涡旋的拓扑电荷为 0; 第 3 个和第 7 个光学涡旋的拓扑电荷为0, 其光学涡旋由±1 级衍射和±1 级衍射叠加产生。因此, 仿真结果表明, 光学涡旋的尺寸取决于拓扑电荷的大小, 而拓扑电荷值由两个方向衍射级次的叠加决定。
图(a)～(c)中, 颜色越浅衍射强度越大, 下同
图2 TFGs, TSFGs和QTFGs的二维和三维衍射强度分布以及轴向衍射强度分布
Fig. 2 Two-dimensional diffraction intensity distribution, three-dimensional diffraction intensity distribution and axial diffraction intensity distribution of TFGs, TSFGs and QTFGs
图3 QTFGs的衍射强度分布以及相位分布
Fig. 3 Diffraction intensity distribution and phase distribution for the QTFGs
QTFGs 的结构由准随机矩形点阵组成, 矩形点阵决定其衍射特性。本文研究不同尺寸矩形点阵对QTFGs 衍射强度的影响, 结果如图 4 所示。可以明显地看出, 随着矩形点阵尺寸增大, 结构的轮廓逐渐偏离传统的 TFGs, 当矩形点阵增大到一定程度(如 1μm)时, 很难分辨出 QTFGs 条纹(图 4(c))。图 4 (d)～(f)依次为 L=0.25, 0.5 和 1μm 时 QTFGs 的远场衍射强度分布, 可见高级衍射的抑制效果与矩形点阵的尺寸负相关。随着 L 增大, 观测平面上开始出现高级衍射涡旋, 表明 QTFGs 不能有效地抑制高级衍射。此外, 在图4(f)中, 衍射图样与传统的二维叉形光栅有明显的区别。因此, 为了更好地抑制高级衍射, 较小的矩形点阵会得到更好的效果, 但制造难度也相应地增加。
图4 L=0.25, 0.5 和 1 μm 时 QTFGs 的轮廓以及衍射强度分布
Fig. 4 Schematic and diffraction intensity distribution of QTFGs with L=0.25, 0.5 and 1 μm
当 p=5 和 L=0.25μm 时, QTFGs 在 λ=300, 400, 500 和 600nm 波长光照射下的远场衍射强度和轴向强度分布如图 5 所示, 可以看出, QTFGs 的单级衍射特性与波长无关, QTFGs 均只能产生±1 级和 0 级的光学涡旋。光学涡旋的衍射角随波长的不同而变化, 并且随波长的增加而变大, 与传统光栅的衍射特性一致。此外, 在不同波长下, QTFGs 的相对衍射效率较为稳定, 随波长的波动较小。
为了验证数值模拟的结果, 本研究进行叉形光栅验证实验。采用标准半导体平面制造工艺, 制作一个 QTFGs 和 TFGs, QTFGs 的结构参数为 λ=632.8nm, p=10, D=40μm 以及 L=0.25μm。衍射光学元件的制作流程如下。
图5 λ=300, 400, 500和600 nm时QTFGs的二维衍射强度分布以及轴向强度分布
Fig. 5 Two-dimensional diffraction intensity distribution and axial intensity distribution of QTFGs with λ=300, 400, 500 and 600 nm
图6 工艺流程图和光学轮廓仪照片
Fig. 6 Schematic of the fabrication process and the optical contourgraph image for the QTFGs
1)利用集成电路版图软件 LEDIT, 将Matlab 设计的图形转换成光刻需要的 GDS 格式文件。
2)使用电子束蒸发工艺, 在石英上沉积一层200 nm的铬薄膜(图 6(b))。
3)在该薄膜上涂覆一层 300nm 厚的光刻胶(图6(c))。
4)使用激光直写光刻系统(DESIGN WRITE LAZER 2000), 将设计的图形转移到光刻胶上(图6(d))。
5)使用离子束刻蚀工艺, 将光刻胶图形转移到铬薄膜上(图 6(e))。
图7 实验装置图
Fig. 7 Schematic of the experimental setup
图8 实验中TFGs和QTFGs的远场衍射强度比较
Fig. 8 Comparison of far-field diffraction intensities for TFGs and QTFGs in the experiment
6)用有机试剂去除残留的光刻胶, 得到设计的光栅(图 6(f))。从轮廓仪(ContourX-200, 350 倍放大倍率)拍摄的照片(图 6(g)～(h))可以看出, 该工艺可以较容易地制造出目标器件。
本研究搭建的实验装置如图 7 所示。以波长为632.8nm 的氦氖固体激光器(DH-HN250)为光源, 依次通过光衰减器(O-VARM)和光束扩展器, 再垂直入射待测试器件, 其衍射光被电荷耦合器件(CCD, Lumenera LW230)记录, 并在电脑上显示衍射光的强度分布。最后, 利用图像处理软件 Winview 和Matlab 对数据进行处理分析。
图 8(a)和(b)为 CCD 记录的衍射图像。对于TFGs, 观测平面中存在 0 级、±1 级和±3 级衍射涡旋。QTFGs 的衍射场中仅存在 0 级和±1 级衍射, 高级衍射被有效地抑制。TFGs 和 QTFGs 的轴向衍射强度分布如图 8(c)和(d)所示, 可以看出, QTFGs 的 3级衍射光强可从所需的 1 级衍射光强的 17%降低至背景噪声以下, 消失的±3 级衍射涡旋转移到背景噪声中。此外, QTFGs 的背景噪声强度与 TFGs 基本上相同, 表明从高级衍射转移来的能量对背景噪声影响很小。实验结果与数值模拟较为吻合, 证明QTFGs 具有良好的单级衍射性能。
为了验证涡旋光束的螺旋相位结构, 在CCD和QTFGs 之间放置一个柱面镜, 将输出光束的不同衍射级次涡旋分别穿过柱面镜(图 9(a)), 在焦点位置产生干涉, 并通过CCD记录干涉条纹。如图 9(c)～ (h)所示, 干涉图形中的暗条纹给出光学涡旋的拓扑电荷值, 条纹倾斜的方向给出光学涡旋的符号, 通过检查倾斜的方向和暗条纹的数量(图 9(b)), 可以看出涡旋的拓扑电荷分别为 20, 10, 10, 10, 10 和 20, 与数值模拟的结果一致。
本文引入一种新型的单级二维叉形光栅–准随机点阵二维叉形光栅, 通过将传统的二维正弦叉形光栅分割成大量的矩形点阵, 并依据准随机点阵光栅中透射率呈正弦分布的原理, 对矩形点阵进行二值化, 从而实现单级衍射。数值模拟和实验结果表明, 准随机点阵二维叉形光栅可以有效地抑制不必要的高级衍射, 3 级衍射光强可从所需 1 级衍射光强的 17%降至弱于背景光强度, 并且利用平面加工工艺可以很容易地制备样品。实验结果也证实了多拓扑电荷涡旋光束的螺旋相位结构。由于结构是独立的, 准随机点阵二维叉形光栅也可以直接应用于X 射线或极紫外波段。准随机点阵二维叉形光栅的优异性能将使涡旋光束在光通信和粒子操纵等领域得到更广泛的应用。
图9 不同拓扑电荷的光学涡旋通过柱面镜后的干涉条纹比较
Fig. 9 Comparison of interference fringes of optical vortices spread through the cylindrical lens with different topological charges
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Design and Characterization of Quasi-random-dots Two-dimensional Fork Gratings
Abstract In order to suppress the high-order diffractions of the traditional two-dimensional fork gratings, a single optical element, named quasi-random-dots two-dimensional fork gratings (QTFGs), is proposed, which can realize single-order diffraction for planar structures. The key idea is to divide the traditional two-dimensional sinusoidal fork gratings into a large number of rectangular dots, and binarize these dots. Numerical simulations and experiments show that the quasi-random-dots two-dimensional fork gratings can effectively eliminate second-order and higher-order diffractions, and only retain zero-order and first-order diffractions. In addition, the effects of topological charge, wavelength, and rectangular dot size on diffraction characteristics were analyzed, and these analyses was confirmed that the output beam has a helical phase structure with multiple topological charges.
Key words diffraction optics; optical vortices; single-order diffraction; quasi-sinusoidal