指第 i 个搜索代理的第 d 个维度。第 i 个搜索代理对应的适应度表达为
。因此, 搜索代理群体的空间结构可由矩阵 X 表征:北京大学学报(自然科学版) 第61卷 第1期 2025年1月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 61, No. 1 (Jan. 2025)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2024.047
国家自然科学基金(32301691)、国家精准农业应用项目(JZNYYY001)和中国科协科技智库青年人才计划项目(20220615ZZ07110141)资助
收稿日期: 2023–12–12;
修回日期: 2024–03–21
摘要 针对目前常见的元启发式算法面临勘探与开发不平衡、优化性能不稳定等问题, 提出一种基于空间衰减自扩散机制的黏菌遗传混合算法 SMAGA, 以遗传算法为基准结构, 通过选择、交叉和变异 3 项操作重组特征引导个体在解空间内搜索。SMAGA 首先设计具有正负反馈和随机游走特性的振荡收缩机制作为交叉算子, 用来增强算法的全局搜索能力和局部搜索能力。然后, 提出一种基于空间衰减的自扩散机制作为算法的变异算子。该机制使用随算法生命周期衰减的空间尺度, 引导自身进行扩散运动, 在算法前期增强多样性, 在算法后期有效挖掘可行解的邻域信息。最后, 提出一种判别式控制策略, 根据群体适应度的分布偏差, 自适应地调整算法的参数, 进而平衡算法的勘探能力和开发能力。为验证算法的性能, 分别在 IEEE CEC2017和 IEEE CEC2021 基准测试集上展开实验, 结果表明, 与其他 23 种不同类型算法相比, 所提算法能够有效地平衡算法的勘探能力和开发能力, 至少存在 1 个数量级的优化精度差异, 有望高效地解决复杂优化问题。
关键词 黏菌算法; 遗传算法; 振荡收缩; 随机游走; 自扩散; 混合算法
优化问题普遍存在于科学技术各领域中, 如工程应用[1–2]、PID 优化控制[3–4]、风速预测[5–6]、系统动力学[7]和模型反演[8]。优化的目的是从一个巨大的受约束解空间内为目标问题的决策变量寻找最佳解决方案的过程, 本质上是函数极值寻优问题。传统的优化方法(如梯度下降法(gradient descent, GD)[9]和牛顿法(Newton’s Method, NM)[10])通常依靠问题的梯度信息, 利用数学推导的方式获取最优解。然而, 随着问题复杂性的增加和梯度信息的不可获取, 传统优化方法的计算成本将显著增加, 甚至造成不可解的情况。
近年来, 由于元启发式算法(metaheuristic algo-rithms, MAs)[11–14]具有鲁棒性强、优化过程中不依赖于目标问题的梯度信息等优势, 众多研究者用其求解复杂优化问题, 特别是在大规模、高维度优化问题上, 相比传统方法在更短时间内取得相同或更好的结果。常见的元启发式算法包括遗传算法(ge-netic algorithm, GA)[15]、粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[16]、模拟退火算法(simulated an-nealing, SA)[17–18]、灰狼优化算法(grey wolf optimi-zer, GWO)[19]和人工蜂群算法(artificial bee colony, ABC)[20]等。元启发式算法不依赖具体问题的领域, 不要求数学模型连续或可导, 而是将决策变量视为搜索空间内的一个可行解, 按照一定的计算规则, 操作可行解在空间内通过不断勘探未知区域、开发已知区域进行寻优, 同时利用适应度函数评价其新产生解的优劣, 最终寻得最优或近似最优解。勘探能力不足会导致算法过早收敛, 开发能力不足会影响求解质量, 算法需要在两者之间不断权衡来搜索最优解, 本质上是找到群体多样性与收敛速度间的平衡。不同的算法分别参照自然界中生物行为和物理现象的规律, 在搜索空间内展现不同的计算特性和运动轨迹, 适用于求解具有不同特征的优化问题。Li 等[21]提出一种名为黏菌算法(slime mould algorithm, SMA)的新型元启发式算法, 通过模拟黏菌的觅食行为和形态变化, 为可行解在搜索空间内构建一条连接最优解的优越路径。与其他 MAs 相比, SMA 因其独特的振荡收缩模式, 使算法具备较强的局部搜索能力和摆脱局部最优的能力。然而, SMA 仍然存在勘探与开发不平衡全局搜索能力差等缺陷, 导致算法的优化性能不稳定。为克服上述缺陷, 研究人员提出许多 SMA 变体, 通过引入不同的计算策略或修改算法机制来提高 SMA 的搜索效率。Liu 等[22]将 SMA 与 Nelder-Mead 单纯形策略相结合, 提出一种 CHMSMA 算法, 有效地提升算法的性能。Naik 等[23]在 SMA 中引入反向学习策略(opposition-based learning, OBL), 提出自适应反向学习黏菌算法 AOSMA, 进一步增强算法的多样性与逃离局部最优的能力。Zhao 等[24]在 SMA 中引入关联策略(association strategy, AS)来帮算法找到最优解, 并将改进的算法应用于多阈值医学图像处理。Abdollahzadeh 等[25]提出一种二进制增强黏菌算法, 用于解决 0-1 背包问题。Rizk-Allah 等[26]引入混沌搜索策略以及交叉反向学习策略, 提出一种混沌反向增强黏菌算法(chaos opposition enhanced slime mould algorithm, COSMA), 以便最大限度地降低高海拔地区风力涡轮机的能源成本, 取得较好的效果。Yu 等[27]在黏菌算法中引入量子旋转门机制和水循环机制, 进一步加强勘探与开发之间的平衡。尽管上述研究有效地提高了算法的性能, 但大多是将已有的计算策略与 SMA 相结合来挖掘算法的潜能, 未进一步开发新的组件。
除通过增加不同的策略来强化算法性能外, 结合不同算法的优势组件形成新的混合算法, 也是提升优化性能的有效解决方案。Houssein 等[28]将黏菌算法与自适应引导差分进化算法(adaptive guided differential evolution algorithm, AGDE)相结合, 提出一种混合算法, 避免算法过早收敛。Zhou 等[29]将遗传算法与灰狼优化算法相结合, 有效地增强了算法的搜索效率。D’Angelo 等[30]将遗传算法与梯度下降法相结合, 利用遗传算法进行全局搜索确定收敛域, 利用梯度下降法在限定区域内实现局部细搜, 并指出 GA 具有算法结构清晰和隐并行性等特点, 是实现混合算法的最优候选算法之一。
根据 No-Free-Lunch 定理(NFL), 没有一种算法能够在每个优化问题上都表现良好, 因此需要不断开发性能更加优越的算法来应对日益复杂的优化问题。此外, Blum 等[31]建议研究人员应专注于分析算法中, 不同组件的贡献, 了解这些组件有助于克服算法的缺陷, 能够有针对性地开发满足当下优化需求的新算法。
在上述理论驱动下, 本文首先分析 SMA 算法的缺陷及产生的原因。然后, 探究 SMA 与 GA 算法的优势与不足之处, 并采用两种算法混合的方案, 充分发挥各自组件的优势, 提升算法的性能。最后, 通过改进已有组件或提出全新组件, 进一步利用混合算法的互补优势, 提出一种基于空间衰减自扩散机制的黏菌遗传混合算法(hybrid slime mould gene-tic algorithm based on spatial attenuation self-diffusion mechanism, SMAGA)。
为验证 SMAGA 的性能, 在 IEEE 进化计算大会(Congress on Evolutionary Computation, CEC)提供的IEEE CEC2017 和 IEEE CEC2021 基准测试集上展开实验。两项测试集通过对具有不同特征的基本函数进行移位、旋转和混合等变换操作, 形成不同类型的复合测试函数, 具备高维度、多峰值和多模态等特点, 可以模拟现实世界中大多数具有复杂性质的数学问题。本文选用 23 种其他元启发式算法进行对比, 验证所提算法的优越性。
SMA 通过模仿自然界中黏菌在觅食过程中的行为以及形态变化, 建立连接全局最优解的最佳 路径。
假设 N 个黏菌被映射到[lb, ub]区域所代表的搜索空间中, 形成搜索代理, 其中 ub 与 lb 分别表示搜索空间的上界与下界。空间中每个搜索代理均包含D 个维度, 具体表示为指第 i 个搜索代理的第 d 个维度。第 i 个搜索代理对应的适应度表达为。因此, 搜索代理群体的空间结构可由矩阵 X 表征:
(1)
(2)
SMA 有如下 3 种基本形态。
1)寻找食物。黏菌通过感知空气中的气味来寻找食物, 同时依据启发式规则来规避觅食过程中的风险:
(3)
其中, rand 表示范围在[0, 1]内的随机数, t 为当前迭代次数。
2)接近食物。当黏菌发现食物时,会通过细胞质的流动来接近气味最浓的食物, 同时利用传播波进行正负反馈(振荡模式), 动态地调整连接食物的最佳路径:
(4)
其中,
是具有当前迭代气味浓度最高食物黏菌的位置向量,
和
是群体中随机两个黏菌的位置向量。
与
共同控制黏菌的振荡过程:
(5)
(6)
(7)
(8)
其中, 的取值在
范围内随机振荡; max_t是算法最大迭代次数; condition 决定黏菌的搜索模式, 表示适应度排名前一半的个体;是
的适应度; fb 和 fw 分别表示群体最优适应度和最差适应度; SmellIndex是排序后的适应度序列。
3)围捕食物。黏菌通过收缩模式, 引导自身运动来捕捉附近的食物:
(9)
(10)
其中, 
表示收缩系数, 取值范围由 1 线性衰减至0;
是黏菌当前位置向量。SMA 的不同行为由阈值参数 z 和 p 控制:
(11)
其中, i∈1, 2, …, N; f(Xi)是第 i 个个体的适应度, DF是迄今为止算法最优适应度。z 为固定值 0.03。当随机数 rand<z 时, 执行寻找食物行为; 当 z≤rand<p时, 执行接近食物行为; 当 rand≥p 时, 进行围捕食物行为。
遗传算法是由 Holland[32]提出的一种模仿自然界生物进化过程的元启发式搜索算法, 在求解连续优化问题时具有优越的性能。遗传算法将搜索代理(候选解)编码为类似染色体的数据结构, 每条染色体包含多个基因(变量)[33]。基于优胜劣汰原则, GA通过对染色体基因型反复不断地随机重组来产生新的遗传结构, 同时根据染色体的表现型, 将含关键信息的基因遗传到下一代染色体中, 进而实现进化的过程, 为当前问题生成最终解决方案。上述进化过程由 GA 生命周期中的选择、交叉和变异 3 个主要步骤实现。选择、交叉和变异可以通过不同类型的算子实现, 因此 GA 算法具有较强的兼容性。
选择: 根据表现型, 选择合适的染色体来产生下一代种群, 是平衡算法多样性及收敛能力的关键 环节。
交叉: 通过杂交亲本染色体的基因, 实现遗传特征重组, 进而产生新的染色体, 是影响算法开发能力的重要部分。
变异: 对染色体的基因进行突变, 产生新的遗传特征, 负责算法的勘探能力。
SMA 因其独特的振荡收缩模式, 使算法具备优越的开发能力和逃逸局部最优的能力, 但该算法仍然存在如下缺陷: 1)搜索过程易倾向于回到原点, 限制搜索区域; 2)全局勘探能力薄弱; 3)算法参数分布不均衡。SMA 依靠式(9)实现围捕食物行为, 根据自身位置, 以速率引导个体的运动轨迹, 实现局部区域的细致搜索。如图 1 所示, 假设目标问题的维度为 2, Di(min)和 Di(max)分别表示目标问题决策变量的下界与上界, 虚线箭头表示当前个体的潜在搜索方向, 角度由不同维度的值共同决定。取值范围由 1 线性衰减至 0, 使得个体遵循该式更新位置时极易收缩至解空间的原点, 收缩速度随算法生命周期逐渐加快, 导致 SMA 在目标问题最优解是否位于解空间原点时, 呈现出明显的性能差异(即 SMA 在最优解位于原点的目标问题中的性能远超其他情况)。然而, 大多数实际工程问题的最优解并非位于原点, 因此限制了该算法在实际应用能力。此外, 当前个体 x(t)沿搜索方向产生的下一代位置 x(t+1)只能在虚线矩形范围内产生, 限制了算法的搜索能力。
图1 围捕食物行为运动轨迹
Fig. 1 Movement trajectory of wrapping food behavior
SMA 使用随机初始化(式(3))进行重分配操作,保持算法的多样性。该操作的缺陷一方面是使用随机初始化的方式产生新解, 解的质量普遍较差, 难以与已有的个体相比较, 在算法中后期还会使个体偏离全局最优解, 影响算法的收敛。另一方面, 算法群体内每个个体(即使是最差个体)都经历多次迭代, 包含一定的解空间信息, 不应该浪费。然而, SMA 的重分配操作是使用新产生的个体替换已有个体, 使得已有个体代表的解空间信息直接丢失, 即使是最优个体也有同样的概率被替换, 因此影响算法的稳定性。
SMA 中的参数 p 控制个体的搜索模式变化, 也是影响算法勘探能力与开发能力之间平衡的关键因素。如图 2 所示, SMA 使用式(11)计算该参数时, 极易趋于极值, 影响算法的性能。算法的适应度函数是依据目标问题而设计, 其数值范围随具体问题而变化。式(11)采用 tanh 函数来非线性地调整 p 的值, 当个体的适应度
与最优适应度 DF 差距过大时, p 的取值将无限趋于 1, 个体只会执行接近食物行为; 当与 DF 的值接近时, 参数 p 的值接近 0, 个体只会执行围捕食物行为。
尽管 SMA 存在一些缺陷, 但该算法的基础性能优于其他基准算法[34–36], 因此存在较大的潜力, 可进一步开发成性能更加优越的算法。
图2 SMA参数变化趋势
Fig. 2 Parameter change trend of SMA
混合算法是提升优化性能的一类有效方案[37], 其基本思想是将两种或多种算法的优势组件结合互补, 弱化各自的缺陷, 以期创造出更优越的算法。在本文中, GA 因其内在的隐并行性而具有较强的全局搜索能力(勘探), 同时算法结构简单, 易于融合; SMA 具有较强的局部搜索能力(开发)及摆脱局部最优的能力。这些可互补的特点为两个算法的融合提供了理论上的可能性。
目前尚无 SMA 与 GA 融合研究的先例。现有的融合算法多以级联架构[37–38]和并行架构[39–40]为主, 而这些架构都存在一定的缺陷, 如算法时间复杂度高(多个算法叠加)、性能提升有限等。为有效地提升算法的性能, 本文综合考虑现有融合架构、SMA 和 GA 的优势与不足, 提出基于空间衰减自扩散机制的黏菌遗传优化算法 SMAGA。SMAGA 以GA 为算法框架, 每次迭代都经选择、交叉和变异 3种算子操控种群在解空间进行搜索。首先, 采用比例选择方式为 SMAGA 选择算子; 然后提出具有正负反馈和随机游走特性的振荡收缩机制和基于空间衰减的自扩散机制两项改进方法, 分别作为SMAGA的交叉算子和变异算子, 增强算法的搜索效率。最后, 提出一种判别式控制策略, 根据适应度的分布偏差, 动态地调整交叉概率 pc 和变异概率 pm, 使算法能够平衡勘探能力与开发能力。
2.2.1 选择算子
SMAGA 采用比例选择的方式产生下一代群体:
(12)
其中, 为第 i 个代理的适应度,
是第 i 个个体被选中的概率。个体越优质, 被选择的概率就越大, 选择算子通过比例选择, 实现有效遗传信息的 传递。
2.2.2 交叉算子: 具有正负反馈和随机游走特性的振荡收缩机制
交叉算子负责算法的开发能力, 通过组合个体不同维度的信息, 进一步挖掘搜索空间的有效信息。常见的交叉算子有单点交叉和多点交叉等, 这些算子的计算机制较为薄弱, 易导致 GA 算法后期的种群个体同类化严重。SMA 的振荡收缩机制具备较强的搜索能力, 作为交叉算子, 可有效地改良GA 计算机制薄弱的问题。然而, 该机制仍然存在个体易倾向于原点和局限搜索区域的缺陷。为克服这些缺陷, 本文构建一种具有正负反馈和随机游走特性的振荡收缩机制, 数学模型如下:
(13)
式(13)第一行表示振荡模式; r1 和 r2 分别表示[0, 1]内的随机数; pc 是交叉概率; p 是觅食形态控制参数;
是种群最优个体;
是随机速率,
是正负反馈系数, 可根据个体适应度, 自动控制振荡幅度, 两个参数共同控制个体的振荡过程;
和
是从群体中随机选择的两个个体的位置向量。式(13)第二行表示收缩模式。
表示方向向量, 计算方式如下:
(14)
其中, rand 的取值范围为[–1, 1], D 表示个体的维度, 使得个体位置向量中每个维度的变化方向不同。如图 3 所示, 与原先 SMA 的收缩模式不同, 新的收缩模式克服了个体易倾向于回到原点和局限搜索区域的问题, 收缩方向由原先的单一方向变为潜在的多个方向(虚线箭头), 具体方向由中的不同维度共同决定, 同时结合振荡搜索模式, 使个体搜索时的位置变化更加多元, 能够更加充分地搜索当前区域。此外, 改进的收缩模式以个体自身位置为度量, 增量式地更新个体位置, 仍然保留 SMA 中个体引导自身收缩的特性。同时, 个体的下一位置只取决于当前位置, 变化过程遵循马尔科夫链, 其异向同性的方向向量赋予的随机游走特性保证了算法的随机性, 使个体在搜索过程中有一定的概率在局部区域进行跳转, 以便逃逸局部最优。
图3 基于随机游走特性的收缩模式示意图
Fig. 3 Schematic diagram of contraction pattern based on randomly walking characteristic
p 为切换两种搜索模式的关键参数, 为克服该参数易趋于极值的情况, 本文用式(15)计算 p:
(15)
式(15)首先对适应度进行尺度变换, 能够根据不同适应度范围的目标问题修正适应度, 从而避免式(11)中
过大或过小导致参数 p 易倾向于极值。此外, 目标问题的维度也影响适应度取值范围的变化。因此, 式(15)同样考虑了目标问题的维度因素, 使算法可以在计算过程中根据问题性质更细致地修正适应度, 产生合理的参数分布。
2.2.3 变异算子: 基于空间衰减的自扩散机制
多样性是算法搜索到全局最优解的基本条件。变异算子能够突变个体部分维度的信息, 维持群体的多样性, 以此探索解空间的未知区域, 负责算法的勘探能力。基准 GA 和 SMA 均使用随机初始化的方式增强多样性, 但是该方式存在一定的缺陷, 影响算法的收敛速度。高效的局部搜索行为可以探索已知解的邻域, 是推动算法搜索效率的有效手段。因此, 本文提出一种基于空间衰减的自扩散机制, 作为算法的变异算子。
对于给定的目标函数 f(x), 其变量 x 可以视为f(x)的一个概率分布 pθ(X), θ 为有关概率分布的参数。函数优化时, 以当前参数 θ 为起点, 在限制距离 d 的参数空间内, 将分布朝着更优越适应度方向移动, 整体过程可以表示如下:
(16)
基于该思想, 本文首先将解空间转为高斯空间, 每个个体被建模为遵循参数 θ 的 D维概率分布pθ(X), 对应目标问题 f(x)的一个解。pθ(X)可根据参数 θ, 以采样的方式持续更新, 直到找到最优解。本文选择高斯分布作为扩散形式, 则参数 θ 包含均值 μ∈R 和标准差e∈R+, 因此基于空间衰减的自 扩散机制的数学模型如下:
(17)
(18)
其中, Xi(t+1)表示第 i 个个体在第 t 次迭代的位置向量; m 决定个体扩散后的矩阵形状, 在本文所提扩散机制中, μ 用于引导个体以自身位置为轴心, 在速率e下的扩散运动轨迹; e的计算式如下:
(19)
如图 4 所示, 该机制以解空间范围为扩散尺度, 每次扩散时都以自身位置为起点, 在分布空间内不同的方向生成不同的分布, 然后选择适应度变化最快的方向更新个体。同时, e不断地更新, 以便调整个体的扩散路径。由式(19)可以看出, 在给定的分布形式下, 参数e包含有关搜索空间的先验知识, 其扩散尺度随着迭代次数的增加而衰减, 算法前期以较大的尺度扩散, 保证算法的勘探能力, 维持多样性; 算法后期以较小的尺度扩散, 避免影响算法收敛, 同时进一步增强算法开发能力和摆脱局部最优的能力。在这种限制条件下, 个体每一步更新都沿着分布的流形, 以稳定衰减的速率移动, 最终收敛至最优解。
图4 基于空间衰减的自扩散机制示意图
Fig. 4 Schematic diagram of self-diffusion mechanism based on spatial attenuation
2.2.4判别式控制策略
pc 与 pm 分别是算法的交叉概率和变异概率, 也是影响算法勘探能力与开发能力平衡的关键参数。本文提出一种判别式控制策略来有效地平衡两种能力。首先, 采用式(20)计算种群适应度的分布偏差:
(20)
fbest– fave 和 fave/fbest 常用来衡量种群的进化程度, 这些方法具有一定的效果。不足之处在于, 搜索代理的定义域和适应度值因具体问题而不同, 且计算过程中适应度的数值范围也在变化, 因此难以确定合理的阈值来判断进化程度。为了克服这个缺陷, 本文对群体内所有个体的适应度进行归一化, 并用比例的方式表达不同代理之间适应度的差异性。然后利用 RMSE 检测代理适应度之间的偏差, 从而达到衡量种群进化程度的目的。FDD 值越大, 表明种群多样性越好, 进化程度较低; 反之, 说明多样性较差。然后, 利用 FDD 自适应调整 pc 与 pm 的取值:
(21)
(22)
其中, c1 和 c2 是控制参数, 本文分别取值为 1.0 和0.5。判别式控制策略具有更高的数值敏感度, 能够更准确地根据算法的计算过程调整 pc 和 pm 的取值。当
时, 说明适应度分布发散, 种群多样性好。此时, 应增加 pc 的值, 使算法侧重于开发(任务), 充分杂交个体的基因型来联结已有的低阶遗传特征, 组成高阶遗传特征, 进而实现表现型的进化, 同时降低 pm 的值, 避免影响高阶遗传特征的生成; 当
时, 说明适应度分布集中, 种群多样性差, 不同染色体的基因片段相似度较高, 此时交叉难以产生高阶遗传特征, 应增加基因变异的概率(pm), 使算法倾向于勘探, 来产生新的低阶遗传特征。
SMAGA 算法的整体流程如图 5 所示。尽管交叉算子与变异算子搜索机制的示意图结构看起来相似, 但两种算子的搜索特性完全不同。交叉算子用最优个体引导当前个体, 以振荡收缩模式进行搜索, 而变异算子用当前个体自身位置引导其以扩散形式运动。GA 结构的隐并行性使得两种搜索机制无需按顺序执行, 而是概率性地同步执行, 增强算法的随机搜索特性。判别式控制策略使算法可以根据搜索情况选择合适的搜索组件, 进一步增强算法的搜索效率。
如图 5 所示, SMAGA 包括如下 5 个部分: 初始化、适应度评估、适应度排序、参数更新和位置更新(选择、交叉和变异)。设算法迭代次数为 max_t, 搜索代理数目为 N, 搜索空间维度为 D。SMAGA的时间复杂度包括 3 个部分: 算法初始化的复杂度为 O(N·D); 适应度评估的复杂度为 O(N); 适应度排序的复杂度为 O(NlogN)。在参数更新中,更新的复杂度为 O(N·D); FDD 计算复杂度为O(N); 选择操作复杂度为 O(N); 交叉操作复杂度为O(pc·N·D); 变异操作复杂度为 O(pm·N)。SMAGA 总时间复杂度是 O((D+max_t·(3+logN+pm+D·(pc+1)))·N)。
为了验证所提算法的有效性, 在 IEEE 进化计算大会公开的 IEEE CEC2017 和 IEEE CEC2021 基准测试集上展开实验, 通过不同的实验方法来评估结果, 如对比实验、伸缩性分析和统计方法等, 并与其他元启发式算法相比较。所有实验均在 Win-dows10, 64bit 计算机操作系统 python 3.10 上实现, 硬件规格为 Intel(R) Core (TM) I7-11800H CPU (2.3 GHZ)和 64 GB RAM。
图5 SMAGA算法流程
Fig. 5 Flowchart of SMAGA
选择 23 个元启发式算法与本文算法进行对比, 具体分为 3 种类型。
1) 7 项经典的元启发式算法: PSO[16], GWO[19], SSA[41], WOA[42], GA[15], DE[43]和 CMA-ES[44]。
2) 8 项 IEEE CEC 历年会议排名前列的高性能算法: IGWO[45], EAGDE[46], LSHADE[47], iLSHADE[48], JSO[49], ELSHADESPACMA[50], AGSK[51]和 EBLSH-ADE[52]。
3) 8 项最近提出的 SMA 变体: SMA[21], AOS-MA[23], BTβSMA[39], CNMSMA[22], COSMA[53], DAS-MA[54], DFSMA[55]和 ESMA[56]。
为了公平地对比, 所有算法的个体数目 N 均为50, 迭代次数 max_t 为 200, 每种算法独立运行 51次, 并记录最优值(Best)、平均值(Avg)和标准差(Std), 作为算法性能评价指标, 将最优结果突出标记。各对比算法的具体参数与原文献保持一致, 如表 1 所示。
IEEE CEC2017 测试集模拟全局优化中具有不同维度信息的高度复杂优化问题, 包含 29 个具有不同数学特性的测试实例。表 2 展现 IEEE CEC2017测试集的详细信息, 可以看出, 该测试集分别由单峰移位旋转函数(F1 和 F3)、多峰移位旋转函数(F4～F10)、混合函数(F11～F20)和复合函数(F21～ F30)4 种类型组成。单峰移位旋转函数具有全局唯一最优解, 可用于检验算法的开发能力。多峰移位旋转函数具有多个局部最优解, 可用于测试算法的勘探能力。混合函数具有复杂的数学空间特性, 可用于评估算法勘探与开发的平衡能力。复合函数将混合函数作为基本函数进行融合, 可以更好地检验算法性能。所有测试实例的定义域范围均为[–100, 100], 其理论适应度最优值与其序号相关。
图 6 展示 SMAGA 在求解不同类型某一随机选定函数(以 F1, F10, F13 和 F26 为例)的定性分析结果。子图从左至右分别是函数三维特性图、搜索历史、最优个体维度变化、第一维搜索轨迹以及平均适应度。搜索历史子图显示算法搜索期间个体前两个维度的轨迹。可以看出大多数轨迹点聚集到最优解所在的区域, 其余少数点分布在整个搜索空间中。这一现象说明, 本文提出的算法具有更好的探索能力, 使得黏菌能够有效地探索搜索空间来捕获信息, 而更好的探索能力使得黏菌能够充分探索所考虑的区域, 从而提高收敛精度。最优个体维度变化子图展示整个搜索过程中最优个体的变化轨迹。在算法开始时, 个体分散在搜索空间的不同区域, 随着迭代次数的增加不断改变位置, 最终达到最优位置, 表明本文提出的算法具有更好的收敛能力。第一维搜索轨迹子图呈现个体在搜索期间第一维度的运动轨迹。可以看出, 轨迹曲线在前期表现出大幅振荡, 意味着个体前期可以充分探索搜索空间。随着搜索的进行, 振荡幅度开始减小, 这样可以保证个体的收敛, 集中资源挖掘最优解所在区域的信息。右列子图展示算法迭代过程中所有个体的平均适应度, 可以看出, SMAGA 在单峰移位旋转函数、多峰移位旋转函数和混合函数中呈现快速下降趋势, 说明算法适用于求解此类问题; 而在复合函数中下降速度比较缓慢, 尽管适应度曲线多次波动, 但总体下降趋势验证了 SMAGA 求解复合函数的有效性。
表1 算法参数设置
Table 1 Parameter settings of algorithms
算法参数设置 PSOc1=2, c2=2, w=0.9 GWO收敛因子α=2 (由2线性衰减至0) SSA探索与开发的权衡因子c1=1, 移动距离随机系数c2∈[0, 1], 移动距离随机系数c3∈[0, 1] WOAc1∈[0, 1], c2∈[0, 1] GApc=0.5, pm=0.1 DECR=0.2, F=0.9 CMA-ESalphamu=2 IGWO收敛因子α=2 (由2线性衰减至0) EAGDECR1∈[0.05, 0.15], CR2∈[0.9, 1.0], F∈[0.1, 0.9], Nmin=12 L-SHADE iL-SHADE JSO ELSHADE-SPACMA AGSK EBLSHADE SMA寻找食物操作概率z=0.03 AOSMA寻找食物操作概率z=0.03 BTSMA寻找食物操作概率z=0.03, K=30, β∈[0.1, 1], p=0.5 CNMSMA寻找食物操作概率z=0.03, 混沌映射初点x=0.7 COSMA寻找食物操作概率z=0.03, β∈[0, 1] DASMA寻找食物操作概率z=0.03, DN=2 DFSMA寻找食物操作概率z=0.03, DR∈[0, 0.4] ESMA寻找食物操作概率z=0.03, β=s=0.5
表 3 列出 SMAGA 与其他优化算法在 IEEE CEC2017 测试集 50 维环境下的对比实验结果, 同时使用 Wilcoxon 秩和检验统计方法, 在显著性水平α=0.05 下对比 SMAGA 与其他算法的性能。可以看出, 本文提出的 SMAGA 在 F1 函数上排名第一, 最优值和平均值比其他算法次优结果至少领先 2 个数量级; 标准差领先 3 个数量级, SMAGA 在 F3 上也表现优异, 证明了 SMAGA 在求解单峰移位旋转函数的有效性和稳定性。在多模态平移和旋转函数方面, SMAGA 在函数 F5, F7 和 F8 (包括 Best 和 Avg)中排名第一。其中, 在 F7 函数的最优值和平均值上均领先第二名 1 个数量级, 在 F8 函数的最优值上领先其他算法 1 个数量级。本文算法在函数 F9 上表现略差, 但仍然优于基本 SMA 和 GA 算法(分别提升 1 个数量级差异), 表明 SMAGA 算法在求解大部分多峰移位旋转函数方面表现良好。对于混合函数, 本文提出的算法在 F13 和 F15 两项函数上呈现有竞争力的结果, 但对于函数 F12 和 F19 性能较差。相比 SMA 在F14 上领先 1 个数量级; 相比 GA 在F11, F12, F14, F18和 F19 函数上分别领先 1, 2, 2, 1和 1 个数量级, 表明SMAGA 在求解某些混合函数时性能良好。对于复合函数, SMAGA 对 F20, F21 和F22 的优化结果较好, 体现 SMAGA 在求解合成函数方面的优越性。从统计结果来看, SMAGA 在大部分函数上都明显优于对比算法。
图6 SMAGA定性分析(F1, F10, F13, F26)
Fig. 6 Results of qualitative analysis of SMAGA (F1, F10, F13, F26)
表2 IEEE CEC2017测试集
Table 2 IEEE CEC2017 test suite
函数名函数特征 Shifted and Rotated Bent Cigar FunctionUnimodalF1 Shifted and Rotated Zakharov FunctionUnimodalF3 Shifted and Rotated Rosenbrock’s FunctionMultimodalF4 Shifted and Rotated Rastrigin’s FunctionMultimodalF5 Shifted and Rotated Expanded Scaffer’s F6 FunctionMultimodalF6 Shifted and Rotated Lunacek Bi_Rastrigin FunctionMultimodalF7 Shifted and Rotated Non-Continuous Rastrigin’s FunctionMultimodalF8 Shifted and Rotated Levy FunctionMultimodalF9 Shifted and Rotated Schwefel’s FunctionMultimodalF10 Hybrid Function 1 (N=3)HybridF11 Hybrid Function 2 (N =3)HybridF12 Hybrid Function 3 (N =3)HybridF13 Hybrid Function 4 (N =4)HybridF14 Hybrid Function 5 (N =4)HybridF15 Hybrid Function 6 (N =4)HybridF16 Hybrid Function 6 (N =5)HybridF17 Hybrid Function 6 (N =5)HybridF18 Hybrid Function 6 (N =5)HybridF19 Hybrid Function 6 (N =6)HybridF20 Composition Function 1 (N =3)CompositionF21 Composition Function 2 (N =3)CompositionF22 Composition Function 3 (N =4)CompositionF23 Composition Function 4 (N =4)CompositionF24 Composition Function 5 (N =5)CompositionF25 Composition Function 6 (N =5)CompositionF26 Composition Function 7 (N =6)CompositionF27 Composition Function 8 (N =6)CompositionF28 Composition Function 9 (N =3)CompositionF29 Composition Function 10 (N =3)CompositionF30
表3 50维IEEE CEC2017测试集对比实验结果
Table 3 Comparison experimental result of 50-dimension IEEE CEC2017 test suite
ID指标SMAGAPSOGWOSSAWOAGADECMA-ESIGWOEAGDEL-SHADEiL-SHADE F1Best4.28×1042.87×10103.26×1091.36×1091.36×1091.05×10111.71×10101.00×1091.13×1096.94×1087.83×1093.44×109 Avg1.52×1056.92×10109.48×1093.84×1094.70×1091.72×10112.41×10101.09×10103.71×1091.53×1091.68×10101.05×1010 Std7.57×1042.75×10104.25×1091.65×1092.31×1092.61×10103.99×1097.80×1091.90×1094.92×1084.87×1093.09×109 F3Best6.53×1042.30×1051.42×1051.31×1051.42×1052.75×1052.69×1052.61×1051.41×1051.19×1058.20×1045.00×104 Avg1.15×1054.58×1052.21×1052.26×1052.49×1054.47×1053.71×1054.51×1052.02×1051.74×1051.31×1058.18×104 Std2.45×1041.33×1054.00×1046.63×1048.12×1049.70×1044.71×1049.45×1043.57×1042.77×1042.41×1041.53×104 F4Best5.38×1024.72×1037.62×1027.33×1026.39×1029.40×1031.78×1035.91×1026.02×1026.88×1021.08×1039.72×102 Avg6.51×1021.23×1041.25×1031.08×1031.01×1031.90×1042.82×1035.98×1028.71×1028.23×1022.13×1031.49×103 Std5.42×1017.36×1034.07×1022.11×1022.81×1026.83×1035.07×1024.14×1002.02×1027.61×1017.02×1023.34×102 F5Best6.28×1021.02×1036.28×1027.13×1028.23×1021.41×1031.01×1036.42×1026.38×1027.45×1028.91×1028.65×102 Avg6.94×1021.20×1037.56×1029.06×1029.76×1021.54×1031.07×1031.15×1037.58×1028.57×1029.58×1029.23×102 Std3.33×1017.83×1015.84×1017.72×1017.95×1016.12×1012.86×1011.73×1021.03×1023.77×1014.76×1014.03×101 F6Best6.15×1026.58×1026.12×1026.50×1026.50×1027.09×1026.38×1026.62×1026.07×1026.06×1026.32×1026.18×102 Avg6.27×1026.90×1026.25×1026.70×1026.75×1027.37×1026.46×1026.79×1026.13×1026.09×1026.64×1026.34×102 Std9.50×1001.45×1015.47×1008.45×1001.21×1019.00×1003.24×1008.09×1003.03×1001.68×1001.69×1011.23×101 F7Best8.62×1021.82×1031.02×1031.23×1031.27×1034.95×1031.71×1031.02×1031.01×1031.07×1031.42×1031.21×103 Avg9.90×1022.43×1031.16×1031.44×1031.56×1035.62×1031.85×1031.11×1031.17×1031.17×1031.80×1031.63×103 Std9.60×1013.96×1028.42×1011.47×1021.59×1023.57×1027.17×1012.24×1011.07×1023.40×1011.24×1022.29×102 F8Best9.16×1021.34×1039.53×1021.07×1031.05×1031.62×1031.28×1031.11×1039.27×1021.06×1031.28×1031.19×103 Avg1.00×1031.50×1031.07×1031.21×1031.23×1031.84×1031.37×1031.45×1031.08×1031.16×1031.34×1031.28×103 Std3.75×1018.77×1017.27×1016.79×1018.35×1017.77×1012.71×1011.32×1021.17×1022.88×1013.75×1015.11×101 F9Best2.76×1031.94×1045.14×1037.92×1038.79×1033.42×1041.80×1043.44×1031.90×1031.95×1031.91×1046.18×103 Avg6.91×1033.85×1041.18×1041.77×1042.36×1045.33×1042.98×1043.79×1046.05×1033.40×1033.20×1042.56×104 Std3.37×1031.08×1044.16×1033.89×1039.29×1037.84×1034.29×1031.79×1042.46×1038.18×1024.05×1039.97×103 F10Best6.36×1031.24×1046.28×1037.21×1037.59×1031.49×1041.34×1045.83×1037.78×1031.23×1041.25×1041.30×104 Avg8.15×1031.46×1049.21×1039.22×1039.69×1031.58×1041.43×1048.12×1031.45×1041.36×1041.41×1041.42×104 Std9.61×1029.75×1022.36×1038.88×1021.04×1034.15×1023.71×1029.08×1021.75×1035.18×1027.25×1024.65×102 F11Best1.42×1031.15×1042.31×1033.29×1031.85×1038.94×1036.54×1033.36×1031.57×1031.45×1032.54×1031.57×103 Avg2.19×1033.01×1047.01×1036.95×1033.91×1033.37×1041.80×1041.35×1042.02×1032.31×1035.23×1031.99×103 Std3.05×1031.81×1043.19×1032.09×1031.47×1031.64×1043.66×1038.14×1034.54×1025.39×1022.27×1033.46×102 F12Best8.77×1065.59×1091.31×1083.92×1075.22×1077.35×1091.80×1093.46×1071.46×1074.11×1071.09×1083.94×107 Avg8.83×1082.61×10101.04×1094.20×1082.93×1081.84×10103.38×1091.39×1091.89×1081.09×1085.34×1081.74×108 Std5.89×1091.93×10101.06×1093.41×1082.88×1086.48×1097.89×1081.66×1091.41×1085.05×1073.49×1081.06×108 F13Best1.45×1048.81×1084.56×1064.93×1043.16×1051.42×1074.47×1077.41×1059.32×1052.67×1056.20×1061.23×105 Avg7.69×1041.18×10102.52×1081.49×1052.14×1071.47×1092.76×1081.04×1088.57×1062.74×1061.25×1091.40×106 Std5.22×1049.26×1092.31×1087.71×1045.08×1071.36×1091.53×1081.15×1081.59×1072.90×1064.52×1099.11×105 F14Best9.68×1035.29×1051.83×1059.64×1041.77×1052.06×1051.41×1062.30×1055.07×1045.34×1031.67×1042.09×103 Avg2.52×1051.93×1071.62×1061.55×1061.97×1063.94×1065.45×1062.20×1064.57×1051.23×1054.72×1058.14×103 Std2.28×1052.15×1071.48×1061.68×1062.03×1064.02×1062.49×1061.74×1063.44×1051.41×1051.55×1066.71×103 F15Best4.29×1034.12×1067.63×1041.32×1044.59×1041.40×1054.37×1051.09×1059.08×1041.02×1048.44×1041.65×104 Avg2.66×1041.01×1092.00×1078.97×1042.40×1069.73×1063.44×1073.36×1067.86×1055.53×1041.05×1075.15×104 Std2.14×1041.83×1093.40×1071.05×1058.58×1064.25×1072.53×1071.43×1071.28×1067.04×1046.85×1072.20×104 F16Best2.36×1033.97×1032.64×1032.57×1033.25×1035.28×1034.81×1032.00×1032.24×1033.93×1034.28×1033.92×103 Avg3.39×1036.26×1033.44×1034.06×1034.34×1036.67×1035.47×1032.89×1033.59×1034.82×1035.35×1034.76×103
续表
ID指标SMAGAPSOGWOSSAWOAGADECMA-ESIGWOEAGDEL-SHADEiL-SHADE F16Std6.20×1021.11×1035.23×1024.31×1024.61×1024.78×1022.80×1025.66×1029.07×1023.39×1026.42×1023.44×102 F17Best2.48×1034.05×1032.33×1032.97×1033.03×1034.16×1033.84×1032.30×1032.40×1033.18×1033.44×1033.30×103 Avg3.02×1038.54×1033.16×1033.54×1033.82×1034.81×1034.32×1032.96×1033.49×1033.79×1034.06×1033.81×103 Std3.03×1021.36×1044.04×1023.21×1024.72×1023.03×1022.36×1023.21×1026.80×1022.30×1022.73×1022.61×102 F18Best3.30×1054.94×1068.68×1051.70×1062.55×1053.84×1055.81×1061.08×1062.72×1051.28×1053.07×1054.37×104 Avg3.35×1067.24×1071.21×1071.40×1078.99×1061.20×1073.17×1075.48×1064.12×1061.29×1061.97×1061.40×105 Std3.29×1069.96×1071.54×1071.33×1075.95×1061.13×1071.34×1073.31×1063.08×1061.06×1061.84×1069.22×104 F19Best5.78×1041.49×1072.29×1054.35×1045.09×1041.39×1052.77×1051.81×1051.09×1052.49×1031.42×1051.48×104 Avg6.75×1051.19×1095.78×1067.07×1069.20×1057.25×1061.07×1071.34×1065.77×1056.14×1046.15×1055.40×104 Std8.22×1051.70×1097.72×1067.20×1061.35×1061.19×1077.19×1061.85×1064.61×1051.20×1053.91×1052.37×104 F20Best2.48×1033.59×1032.66×1032.76×1032.81×1034.16×1033.36×1032.93×1032.43×1033.05×1033.67×1033.07×103 Avg3.09×1034.34×1033.24×1033.44×1033.79×1034.63×1034.05×1033.78×1033.57×1033.80×1033.72×1033.67×103 Std3.08×1022.99×1024.17×1023.90×1024.10×1021.58×1022.27×1023.77×1026.31×1022.06×1026.92×1011.26×102 F21Best2.42×1032.84×1032.46×1032.56×1032.59×1033.09×1032.79×1032.38×1032.45×1032.53×1032.66×1032.66×103 Avg2.50×1033.02×1032.57×1032.68×1032.79×1033.33×1032.86×1032.86×1032.60×1032.66×1032.76×1032.71×103 Std4.20×1018.66×1017.58×1017.55×1011.04×1028.03×1012.42×1012.40×1021.17×1023.44×1017.19×1012.55×101 F22Best2.31×1031.40×1048.38×1039.12×1039.19×1031.63×1041.51×1047.88×1039.10×1036.02×1033.00×1032.65×103 Avg9.05×1031.61×1041.14×1041.13×1041.11×1041.73×1041.60×1041.00×1041.61×1041.51×1046.25×1033.70×103 Std1.94×1038.37×1022.66×1031.12×1031.14×1034.63×1024.32×1029.81×1021.73×1031.38×1034.30×1031.94×103 F23Best2.90×1033.55×1032.91×1032.97×1033.09×1033.72×1033.20×1032.80×1032.87×1032.94×1033.17×1033.09×103 Avg3.02×1033.89×1033.06×1033.13×1033.31×1034.05×1033.26×1033.05×1033.02×1033.09×1033.64×1033.17×103 Std6.60×1012.45×1029.77×1011.06×1021.19×1021.56×1022.30×1011.90×1021.10×1024.14×1012.98×1023.63×101 F24Best3.05×1033.61×1033.11×1033.09×1033.23×1033.85×1033.32×1032.94×1033.01×1033.15×1033.34×1033.28×103 Avg3.20×1034.04×1033.23×1033.27×1033.42×1034.14×1033.41×1033.10×1033.22×1033.25×1033.59×1033.36×103 Std8.39×1012.37×1029.70×1018.54×1011.10×1021.59×1022.69×1011.17×1021.32×1025.46×1011.73×1022.75×101 F25Best3.07×1036.01×1033.31×1033.29×1033.26×1031.04×1044.84×1033.03×1033.14×1033.21×1033.70×1033.40×103 Avg3.13×1031.16×1043.80×1033.73×1033.51×1032.74×1045.56×1033.04×1033.38×1033.33×1034.57×1033.94×103 Std3.71×1014.70×1033.00×1022.68×1021.74×1027.80×1035.28×1022.86×1002.12×1028.66×1015.64×1022.84×102 F26Best5.29×1031.14×1046.20×1034.43×1035.31×1031.35×1048.60×1032.91×1035.23×1035.89×1035.72×1034.78×103 Avg6.88×1031.65×1047.23×1038.15×1039.14×1031.60×1049.19×1034.25×1036.44×1037.16×1038.30×1036.07×103 Std8.89×1022.75×1038.50×1022.29×1031.35×1031.38×1032.50×1023.99×1028.72×1025.32×1021.21×1037.61×102 F27Best3.51×1033.86×1033.46×1033.46×1033.42×1034.20×1033.52×1033.30×1033.29×1033.38×1033.75×1033.52×103 Avg3.76×1034.56×1033.69×1033.79×1033.71×1034.76×1033.66×1033.46×1033.42×1033.50×1034.20×1033.72×103 Std1.35×1024.09×1021.10×1021.83×1021.83×1023.30×1027.85×1017.41×1016.15×1015.24×1013.71×1028.65×101 F28Best3.33×1036.48×1033.86×1033.66×1033.45×1031.16×1045.77×1033.27×1033.46×1033.74×1034.16×1033.63×103 Avg3.42×1031.09×1044.46×1034.40×1034.22×1031.40×1047.59×1033.29×1033.91×1034.95×1034.68×1034.17×103 Std5.49×1012.62×1033.61×1024.21×1024.56×1021.36×1039.79×1021.07×1012.67×1025.54×1022.68×1022.82×102 F29Best3.87×1036.52×1034.38×1034.87×1034.57×1036.07×1035.71×1033.75×1033.71×1033.88×1035.21×1035.01×103 Avg4.91×1031.33×1045.01×1036.09×1035.66×1037.37×1036.31×1034.33×1034.35×1035.05×1036.15×1035.56×103 Std4.28×1021.58×1044.35×1026.33×1024.80×1025.68×1022.97×1023.23×1024.63×1024.08×1021.10×1033.30×102 F30Best2.80×1071.63×1086.01×1077.38×1071.97×1074.63×1077.11×1072.86×1071.62×1075.91×1064.16×1071.75×107 Avg7.84×1072.10×1091.65×1082.04×1084.85×1072.12×1081.84×1086.98×1073.37×1071.24×1078.02×1072.86×107 Std2.93×1072.37×1096.12×1078.92×1072.43×1072.24×1086.49×1074.89×1071.28×1074.26×1061.72×1076.89×106 > / ≈ / <29/0/023/5/128/1/026/2/129/0/028/0/117/3/919/5/521/1/724/3/221/1/7
续表
ID指标JSOELSHADE-SPACMAAGSKEBLSHADESMAAOSMABTSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F1Best2.42×10106.31×1091.83×10102.89×10101.03×10102.41×1077.32×10101.25×10102.08×1075.59×1092.55×1072.65×106 Avg3.92×10101.29×10102.62×10105.38×10101.61×10104.59×1078.57×10102.31×10105.12×1071.09×10104.70×1071.18×107 Std7.84×1093.46×1094.08×1091.15×10102.96×1091.21×1076.51×1095.35×1091.73×1073.31×1091.45×1071.11×107 F3Best1.05×1051.10×1051.96×1054.46×1041.07×1051.08×1051.46×1051.11×1059.57×1041.34×1051.86×1051.53×105 Avg1.31×1051.60×1053.43×1057.62×1041.64×1052.81×1051.81×1051.44×1052.66×1051.85×1053.20×1052.94×105 Std1.23×1042.21×1044.52×1042.81×1043.06×1047.93×1042.34×1041.74×1048.72×1042.71×1047.80×1047.36×104 F4Best2.86×1031.57×1032.76×1033.75×1031.08×1035.18×1021.50×1041.57×1035.41×1029.35×1025.43×1025.11×102 Avg5.10×1032.30×1034.79×1039.51×1031.99×1036.52×1022.04×1042.86×1036.60×1021.73×1036.66×1026.64×102 Std1.53×1034.70×1029.89×1023.13×1034.05×1025.05×1012.84×1037.11×1026.53×1015.31×1026.34×1017.17×101 F5Best8.56×1029.90×1029.74×1029.09×1028.44×1027.09×1021.09×1039.04×1026.95×1028.72×1027.02×1027.82×102 Avg9.18×1021.07×1031.10×1039.63×1029.28×1028.04×1021.14×1031.02×1038.18×1029.64×1028.15×1028.69×102 Std2.62×1013.41×1016.38×1012.64×1014.59×1015.01×1012.61×1014.44×1014.47×1013.77×1015.70×1014.77×101 F6Best6.34×1026.34×1026.74×1026.53×1026.48×1026.24×1026.85×1026.55×1026.24×1026.60×1026.23×1026.37×102 Avg6.65×1026.52×1026.99×1026.79×1026.59×1026.44×1026.96×1026.74×1026.41×1026.74×1026.44×1026.55×102 Std1.81×1019.35×1007.19×1009.87×1006.25×1001.15×1015.10×1008.78×1009.82×1007.74×1001.20×1017.07×100 F7Best1.56×1031.19×1031.33×1031.48×1031.24×1031.05×1031.71×1031.34×1039.93×1021.30×1031.05×1031.17×103 Avg1.80×1031.28×1031.45×1031.75×1031.38×1031.20×1031.83×1031.54×1031.18×1031.51×1031.14×1031.41×103 Std4.40×1014.11×1016.26×1011.16×1025.88×1018.08×1016.86×1019.10×1017.48×1011.15×1026.63×1011.43×102 F8Best1.19×1031.30×1031.33×1031.23×1031.18×1039.98×1021.40×1031.24×1039.99×1021.19×1039.95×1021.11×103 Avg1.27×1031.38×1031.42×1031.31×1031.24×1031.11×1031.47×1031.33×1031.10×1031.29×1031.12×1031.19×103 Std4.13×1013.89×1014.49×1012.92×1013.49×1015.55×1012.99×1014.55×1014.84×1014.08×1015.62×1014.63×101 F9Best1.89×1048.28×1032.48×1042.02×1041.20×1048.64×1032.78×1041.67×1047.67×1031.39×1049.90×1031.07×104 Avg3.43×1042.57×1044.35×1043.18×1042.11×1041.99×1043.58×1043.00×1041.47×1042.56×1041.94×1041.68×104 Std4.26×1031.09×1048.46×1035.33×1033.69×1035.74×1032.97×1034.93×1033.88×1033.97×1036.55×1034.07×103 F10Best1.30×1041.34×1041.33×1041.35×1049.64×1035.51×1031.23×1041.05×1046.78×1038.23×1036.25×1036.58×103 Avg1.47×1041.46×1041.46×1041.46×1041.19×1048.25×1031.45×1041.31×1048.18×1031.02×1048.30×1037.90×103 Std4.68×1025.32×1024.94×1024.86×1029.93×1029.31×1026.88×1021.11×1038.22×1029.52×1021.02×1039.79×102 F11Best2.52×1032.82×1033.53×1032.74×1032.01×1031.33×1031.15×1043.15×1031.31×1033.35×1031.36×1031.47×103 Avg5.47×1035.17×1037.18×1035.72×1033.00×1031.79×1031.68×1046.41×1031.57×1035.26×1031.66×1032.87×103 Std1.47×1039.90×1021.87×1031.99×1036.66×1026.48×1022.23×1031.43×1032.69×1021.35×1032.39×1021.79×103 F12Best5.92×1084.88×1082.07×1091.68×1092.52×1081.66×1073.08×10101.10×1099.00×1062.48×1081.11×1074.35×106 Avg2.48×1091.41×1094.38×1095.96×1098.87×1086.34×1074.73×10103.46×1095.44×1071.14×1095.27×1073.17×107 Std1.29×1094.89×1081.39×1093.72×1094.11×1083.90×1076.52×1091.52×1093.55×1075.86×1082.97×1072.11×107 F13Best2.18×1065.88×1075.29×1072.52×1053.38×1064.58×1045.72×1091.27×1085.57×1042.28×1074.94×1041.32×104 Avg5.56×1071.88×1084.67×1088.69×1071.24×1071.99×1051.60×10106.01×1082.62×1051.99×1082.21×1058.25×104 Std9.06×1079.95×1073.54×1085.12×1087.89×1061.09×1055.40×1093.26×1081.78×1051.56×1081.41×1054.42×104 F14Best1.11×1041.51×1051.15×1051.83×1033.68×1051.87×1059.82×1054.08×1051.95×1052.29×1058.93×1041.43×105 Avg1.40×1055.85×1052.19×1064.18×1032.58×1061.47×1061.25×1072.07×1061.48×1063.82×1061.46×1062.47×106 Std1.19×1054.15×1051.88×1063.89×1032.50×1061.21×1061.09×1071.53×1061.05×1062.92×1061.17×1062.46×106 F15Best3.21×1042.03×1061.08×1061.28×1045.66×1042.55×1046.83×1083.77×1062.09×1042.19×1051.86×1045.78×103 Avg4.24×1066.89×1068.92×1067.58×1047.04×1058.72×1041.36×1092.85×1077.46×1043.55×1068.22×1042.10×104 Std1.93×1073.63×1066.72×1067.46×1041.41×1066.69×1043.73×1082.10×1075.59×1044.75×1067.13×1041.10×104 F16Best4.08×1034.68×1035.15×1033.81×1032.88×1032.85×1035.35×1033.55×1032.75×1033.24×1032.68×1033.12×103 Avg5.02×1035.58×1036.33×1034.95×1033.93×1033.80×1036.66×1034.67×1033.64×1034.34×1033.73×1034.05×103
续表
ID指标JSOELSHADE-SPACMAAGSKEBLSHADESMAAOSMABTSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F16Std3.83×1023.04×1024.29×1025.23×1024.80×1025.41×1028.99×1025.57×1024.28×1025.51×1024.75×1025.09×102 F17Best2.83×1033.82×1034.24×1032.78×1032.62×1032.56×1034.00×1033.19×1032.74×1032.97×1032.51×1032.57×103 Avg3.87×1034.34×1034.85×1033.45×1033.27×1033.48×1035.00×1033.85×1033.43×1033.66×1033.43×1033.59×103 Std3.88×1022.18×1023.07×1023.60×1023.01×1023.64×1027.17×1022.70×1023.27×1024.42×1023.55×1024.36×102 F18Best4.97×1055.19×1056.82×1061.79×1045.94×1051.17×1064.60×1061.72×1064.01×1051.05×1061.11×1069.38×105 Avg3.12×1063.47×1062.32×1071.04×1058.65×1061.08×1074.91×1071.41×1077.31×1061.09×1079.21×1066.92×106 Std2.42×1062.28×1061.00×1077.62×1047.03×1066.71×1062.94×1071.17×1075.35×1069.18×1068.03×1066.13×106 F19Best4.26×1049.40×1056.69×1053.81×1048.73×1044.22×1039.96×1072.40×1066.00×1036.89×1055.63×1032.56×103 Avg2.95×1056.44×1063.73×1066.90×1053.64×1052.97×1045.11×1082.57×1073.28×1045.50×1062.81×1042.15×104 Std3.21×1053.41×1062.59×1066.90×1051.59×1051.61×1043.96×1082.04×1072.00×1044.00×1061.67×1041.43×104 F20Best3.28×1033.31×1033.78×1033.01×1032.78×1032.48×1033.01×1032.67×1032.92×1032.97×1032.80×1032.98×103 Avg3.74×1033.72×1034.26×1033.69×1033.28×1033.33×1033.79×1033.41×1033.39×1033.45×1033.45×1033.56×103 Std1.10×1021.44×1021.79×1021.73×1022.64×1023.26×1022.85×1022.43×1022.98×1022.51×1023.33×1022.96×102 F21Best2.69×1032.74×1032.82×1032.75×1032.66×1032.50×1032.95×1032.73×1032.47×1032.67×1032.50×1032.61×103 Avg2.76×1032.80×1032.93×1032.84×1032.75×1032.60×1033.05×1032.84×1032.59×1032.78×1032.61×1032.83×103 Std2.76×1012.64×1014.74×1014.34×1014.32×1016.00×1014.88×1014.75×1016.69×1015.21×1016.32×1011.03×102 F22Best3.15×1033.68×1031.44×1046.61×1031.18×1047.41×1031.48×1044.79×1038.13×1033.56×1038.00×1037.56×103 Avg5.94×1036.93×1031.62×1041.27×1041.39×1049.94×1031.69×1041.31×1049.96×1031.25×1049.59×1031.02×104 Std3.36×1033.10×1035.39×1023.10×1038.82×1021.21×1036.41×1024.18×1039.56×1022.88×1038.72×1028.80×102 F23Best3.16×1033.19×1033.38×1033.19×1033.20×1032.93×1033.85×1033.25×1032.95×1033.17×1032.94×1033.15×103 Avg3.22×1033.29×1033.53×1033.48×1033.32×1033.04×1034.20×1033.38×1033.06×1033.33×1033.05×1033.53×103 Std3.06×1014.12×1018.30×1012.56×1025.93×1015.96×1011.39×1027.22×1016.92×1016.39×1017.13×1011.81×102 F24Best3.35×1033.35×1033.58×1033.38×1033.41×1033.10×1034.22×1033.34×1033.07×1033.33×1033.09×1033.48×103 Avg3.47×1033.42×1033.73×1033.64×1033.54×1033.20×1034.61×1033.48×1033.22×1033.48×1033.22×1033.83×103 Std8.39×1013.49×1016.86×1011.77×1026.97×1016.25×1011.93×1026.17×1018.04×1018.47×1016.98×1011.75×102 F25Best4.97×1033.83×1034.66×1035.76×1033.51×1033.05×1039.00×1033.96×1033.06×1033.46×1033.07×1033.10×103 Avg6.59×1034.30×1035.82×1037.58×1033.94×1033.13×1031.08×1044.68×1033.14×1033.99×1033.14×1033.18×103 Std9.00×1023.27×1025.13×1029.12×1021.79×1023.91×1011.05×1034.06×1024.64×1012.67×1024.45×1014.23×101 F26Best7.92×1035.25×1031.01×1047.71×1036.07×1033.90×1031.31×1045.92×1033.23×1034.85×1033.21×1033.90×103 Avg1.22×1047.61×1031.12×1041.16×1049.49×1036.89×1031.47×1047.78×1036.61×1038.14×1036.77×1037.69×103 Std1.85×1031.17×1036.54×1021.60×1031.03×1037.04×1029.24×1021.11×1031.52×1032.38×1031.06×1032.67×103 F27Best3.56×1033.76×1034.22×1033.62×1033.66×1033.41×1035.41×1033.54×1033.40×1033.67×1033.39×1033.54×103 Avg3.77×1034.06×1034.58×1033.84×1034.03×1033.58×1036.52×1033.82×1033.59×1033.94×1033.55×1033.98×103 Std1.06×1021.40×1021.95×1021.22×1021.35×1021.02×1024.26×1021.33×1021.13×1021.70×1027.95×1012.36×102 F28Best4.87×1034.43×1035.41×1035.79×1034.12×1033.33×1038.84×1034.47×1033.34×1033.99×1033.32×1033.44×103 Avg5.51×1035.10×1036.24×1037.17×1034.63×1033.73×1031.00×1045.22×1033.69×1034.63×1033.63×1033.67×103 Std3.59×1023.22×1024.74×1027.36×1022.37×1026.60×1025.48×1023.78×1028.36×1023.34×1022.95×1021.71×102 F29Best5.20×1035.82×1036.35×1034.86×1034.68×1033.69×1039.30×1035.49×1034.05×1035.26×1034.12×1034.23×103 Avg6.01×1036.43×1038.02×1036.25×1035.77×1035.05×1031.41×1046.58×1034.99×1036.16×1035.01×1035.25×103 Std3.59×1022.95×1027.32×1025.85×1025.44×1024.71×1022.73×1036.40×1023.98×1025.59×1024.22×1024.83×102 F30Best3.17×1077.85×1077.92×1073.08×1077.49×1078.57×1065.57×1081.20×1086.89×1067.35×1075.01×1065.67×106 Avg7.52×1071.60×1081.48×1088.10×1071.34×1082.02×1071.25×1092.56×1081.90×1071.69×1081.78×1071.55×107 Std3.22×1074.60×1074.13×1073.16×1074.09×1077.65×1066.18×1087.14×1077.68×1065.90×1075.81×1066.25×106 > / ≈ / <23/3/327/1/129/0/024/2/328/1/018/7/429/0/029/0/018/7/429/0/017/8/421/5/3
说明：“>”、“≈”和“<”分别表示本文算法“优于”、“相似于”和“劣于”对比算法, 加粗数字表示性能最优, 下同。
为了进一步验证 SMAGA 的性能, 本文进行伸缩性测试。表 4 给出 SMAGA 在维度为 100 的 CEC 2017 测试套件上的优化结果。可以看出, 不同算法的求解精度随着维度的增加而降低。与 50 维度的F1 和 F3 函数相比, 所提出算法的收敛精度在 100维上有所下降, 但相比其他算法下降幅度较小, 在 F1的最优解上至少领先其他算法两个数量级。对于多峰移位旋转函数, SMAGA 与 50 维度相比取得更好的排名, 在 F5, F7, F8 和 F9 取得所有算法中的最优结果, 在函数 F5 上至少领先其他算法一个数量级, 有力地证明本文提出的算法受维度的影响最小。对比混合函数与复合函数的结果可以看出, SMAGA在 F11, F12, F13, F16, F17, F20 和 F21 取得最好平均值。在 F14, F15, F18 和 F19 上, 相比 GA和 SMA 分别领先 1, 2, 1 和 1 个数量级。总体而言, SMAGA 受维度的影响较小, 表明本文提出的算法在不同维度环境下具有稳定性优化性能和更好的鲁棒性, 说明SMAGA 在求解高维混合函数和复合函数方面具有较强的稳定性。实验结果表明, 随着维数增加, 算法获得最优解的难度越来越大。由于维数的影响, 算法的收敛精度也有所下降。当函数维数增加且计算过程变得复杂时, SMAGA 仍然保持具有竞争力的优化性能。
表4 100维IEEE CEC2017测试集对比实验结果
Table 4 Comparison experimental result of 100-dimension IEEE CEC2017 test suite
ID指标SMAGAPSOGWOSSAWOAGADECMA-ESIGWOEAGDEL-SHADEiL-SHADE F1Best2.03×1071.42×10112.67×10105.02×10102.27×10104.61×10111.33×10111.83×10102.21×10102.26×10101.15×10111.19×1011 Avg5.84×1092.46×10114.66×10107.04×10104.48×10105.62×10111.55×10114.47×10103.62×10103.30×10101.60×10111.44×1011 Std3.81×10105.72×10101.07×10109.57×1091.01×10103.96×10101.31×10101.62×10107.95×1095.13×1091.80×10101.41×1010 F3Best3.27×1056.57×1054.63×1053.38×1056.81×1057.04×1057.05×1055.95×1055.10×1054.37×1053.03×1052.13×105 Avg4.53×1051.19×1066.24×1054.66×1059.09×1059.50×1059.27×1058.77×1056.88×1055.50×1053.36×1052.72×105 Std8.13×1042.49×1058.29×1041.32×1051.34×1051.29×1058.75×1041.11×1059.64×1046.23×1041.09×1042.21×104 F4Best8.97×1022.63×1042.55×1035.83×1031.95×1039.20×1041.82×1047.26×1021.93×1032.74×1031.68×1041.37×104 Avg1.12×1036.24×1044.90×1039.22×1034.69×1031.46×1052.66×1047.54×1023.20×1033.98×1032.53×1041.98×104 Std1.35×1022.14×1041.35×1032.16×1031.33×1032.86×1043.70×1031.27×1017.61×1027.58×1023.67×1033.33×103 F5Best8.81×1022.01×1031.06×1031.39×1031.42×1032.70×1031.89×1031.43×1031.06×1031.34×1031.73×1031.61×103 Avg1.05×1032.26×1031.26×1031.64×1031.67×1032.96×1032.00×1032.00×1031.27×1031.48×1031.84×1031.73×103 Std6.74×1011.23×1021.02×1021.01×1021.48×1021.05×1025.02×1011.94×1021.87×1025.90×1015.39×1015.21×101 F6Best6.37×1026.88×1026.35×1026.66×1026.70×1027.40×1026.75×1026.73×1026.24×1026.30×1026.93×1026.82×102 Avg6.48×1027.13×1026.44×1026.81×1026.87×1027.59×1026.85×1026.84×1026.34×1026.36×1027.02×1026.93×102 Std6.31×1001.15×1015.10×1005.72×1001.04×1016.03×1004.76×1006.16×1004.40×1003.05×1003.20×1006.36×100 F7Best1.32×1034.14×1031.87×1032.58×1032.72×1031.18×1045.64×1031.64×1031.80×1032.06×1033.46×1032.99×103 Avg1.75×1035.82×1032.15×1033.23×1033.29×1031.31×1046.41×1031.68×1032.08×1032.28×1033.86×1033.65×103 Std9.38×1021.09×1031.49×1023.03×1022.32×1025.91×1023.04×1022.07×1011.93×1021.11×1021.17×1022.44×102 F8Best1.21×1032.34×1031.42×1031.83×1031.78×1033.16×1032.20×1031.75×1031.34×1031.67×1032.24×1032.14×103 Avg1.35×1032.58×1031.57×1032.05×1032.05×1033.38×1032.31×1032.46×1031.56×1031.78×1032.32×1032.22×103 Std7.76×1011.58×1029.04×1011.07×1021.19×1029.62×1014.62×1012.20×1021.84×1025.26×1014.40×1014.09×101 F9Best1.20×1048.15×1042.62×1043.85×1043.69×1041.43×1058.85×1046.86×1042.59×1042.33×1046.17×1045.57×104 Avg2.78×1041.15×1054.54×1044.76×1046.30×1041.83×1051.26×1051.52×1054.06×1043.28×1046.95×1046.62×104 Std7.28×1031.92×1041.04×1045.17×1031.82×1041.73×1041.55×1043.24×1049.64×1035.51×1032.83×1034.27×103
续表
ID指标SMAGAPSOGWOSSAWOAGADECMA-ESIGWOEAGDEL-SHADEiL-SHADE F10Best1.39×1042.85×1041.66×1041.93×1041.87×1043.22×1042.97×1041.34×1041.83×1042.92×1042.43×1042.22×104 Avg1.86×1043.23×1042.20×1042.21×1042.21×1043.36×1043.24×1041.56×1043.21×1043.13×1042.55×1042.32×104 Std2.48×1031.41×1035.40×1031.43×1031.61×1035.49×1027.66×1021.09×1032.77×1037.18×1026.10×1026.22×102 F11Best2.30×1041.52×1057.39×1041.05×1054.14×1042.01×1052.10×1052.17×1052.48×1044.63×1041.02×1054.25×104 Avg5.42×1044.24×1051.11×1051.93×1051.02×1053.66×1053.38×1054.30×1055.31×1047.99×1041.73×1056.85×104 Std2.61×1041.79×1052.33×1046.25×1042.96×1046.96×1044.42×1041.07×1051.42×1041.49×1043.37×1041.29×104 F12Best1.84×1083.82×10102.74×1091.57×1099.85×1081.39×10112.44×10105.72×1081.01×1091.87×1092.14×10101.76×1010 Avg5.22×1088.71×10109.12×1094.71×1094.44×1092.01×10113.35×10104.08×1094.41×1094.30×1094.98×10103.44×1010 Std2.09×1083.22×10104.33×1091.98×1093.03×1093.17×10104.47×1092.10×1092.63×1091.04×1091.17×10101.09×1010 F13Best2.01×1045.55×1092.47×1071.34×1054.44×1061.87×10105.06×1084.65×1079.87×1064.33×1072.30×1094.72×108 Avg5.64×1041.60×10101.01×1092.48×1062.55×1083.13×10101.45×1094.81×1082.45×1081.57×1087.30×1093.75×109 Std2.04×1049.77×1099.52×1083.60×1062.80×1086.22×1095.67×1084.18×1082.72×1086.79×1073.31×1091.88×109 F14Best6.70×1057.16×1061.80×1062.11×1062.62×1066.84×1063.75×1072.37×1061.28×1061.76×1067.09×1068.55×105 Avg3.74×1068.57×1079.33×1061.14×1079.00×1063.78×1077.06×1071.04×1075.85×1065.22×1061.34×1072.53×106 Std1.98×1066.81×1075.51×1066.23×1064.77×1062.57×1071.72×1074.76×1062.95×1062.94×1064.34×1069.75×105 F15Best1.47×1045.47×1084.22×1062.52×1044.19×1051.69×1094.24×1072.83×1071.70×1062.93×1064.25×1082.53×107 Avg1.71×1057.63×1092.06×1081.94×1052.91×1076.04×1092.35×1081.88×1081.25×1072.04×1071.42×1092.94×108 Std9.45×1055.80×1092.86×1087.50×1055.97×1072.97×1091.45×1082.05×1081.08×1071.77×1078.05×1082.17×108 F16Best4.90×1031.11×1045.00×1036.56×1036.85×1031.34×1041.15×1044.40×1034.49×1038.75×1031.17×1041.06×104 Avg6.44×1031.54×1046.82×1038.39×1038.74×1031.65×1041.25×1046.75×1036.63×1031.06×1041.32×1041.20×104 Std8.00×1022.59×1031.01×1031.07×1039.17×1021.64×1034.74×1021.05×1031.60×1036.02×1026.35×1026.04×102 F17Best3.57×1031.03×1044.11×1034.89×1035.50×1039.36×1038.78×1035.01×1034.14×1037.08×1038.40×1037.66×103 Avg5.13×1032.57×1055.60×1036.04×1037.03×1031.11×1049.70×1036.88×1035.53×1037.59×1033.89×1048.58×103 Std6.21×1024.78×1056.41×1025.96×1027.66×1021.38×1034.45×1027.01×1021.04×1033.51×1021.97×1054.25×102 F18Best9.66×1052.26×1072.41×1062.52×1062.27×1069.26×1065.16×1074.20×1069.83×1051.43×1067.48×1061.21×106 Avg4.47×1061.02×1081.04×1071.31×1079.99×1065.26×1071.26×1081.32×1077.36×1067.56×1061.62×1073.23×106 Std2.64×1065.81×1076.84×1069.33×1065.23×1063.73×1073.65×1075.84×1063.57×1064.76×1066.08×1061.34×106 F19Best5.24×1057.95×1081.17×1078.41×1054.61×1061.47×1094.77×1074.56×1073.74×1065.73×1063.33×1084.51×107 Avg5.08×1066.93×1092.27×1083.55×1072.94×1076.27×1093.71×1081.09×1082.25×1072.27×1071.25×1093.25×108 Std3.12×1065.62×1092.50×1082.59×1072.67×1073.18×1091.67×1085.00×1071.42×1071.36×1079.03×1082.70×108 F20Best4.33×1036.41×1034.37×1034.31×1034.92×1037.43×1037.00×1034.58×1034.42×1036.88×1036.78×1036.19×103 Avg5.26×1038.13×1035.69×1035.71×1036.32×1038.57×1038.05×1036.16×1036.94×1037.54×1037.72×1037.54×103 Std4.65×1024.45×1021.05×1036.00×1026.08×1023.17×1023.56×1026.08×1021.16×1033.13×1023.07×1023.29×102 F21Best2.74×1033.93×1032.88×1033.29×1033.36×1034.59×1033.71×1033.27×1032.86×1033.16×1033.57×1033.42×103 Avg2.97×1034.34×1033.10×1033.52×1033.74×1035.01×1033.85×1033.92×1033.10×1033.31×1034.25×1033.56×103 Std1.01×1021.77×1029.94×1011.29×1022.29×1021.63×1025.40×1014.08×1021.89×1025.38×1014.20×1025.03×101 F22Best1.73×1043.02×1041.86×1042.30×1042.24×1043.35×1043.23×1041.62×1042.03×1043.05×1043.15×1041.83×104 Avg2.12×1043.36×1042.59×1042.54×1042.47×1043.57×1043.43×1041.90×1043.41×1043.34×1043.32×1043.01×104 Std2.40×1031.57×1035.77×1031.13×1031.14×1036.68×1027.58×1021.36×1032.68×1037.58×1027.91×1024.10×103 F23Best3.44×1034.99×1033.53×1033.72×1033.86×1035.26×1033.95×1033.85×1033.36×1033.69×1034.82×1034.32×103 Avg3.75×1035.55×1033.72×1034.03×1034.19×1035.67×1034.04×1034.21×1033.59×1033.80×1035.43×1034.57×103 Std1.51×1023.04×1029.96×1011.54×1021.64×1022.18×1023.47×1012.44×1021.90×1025.23×1012.00×1021.22×102 F24Best4.02×1036.52×1034.09×1034.31×1034.48×1036.19×1034.48×1034.04×1033.87×1034.23×1035.49×1035.18×103 Avg4.67×1037.60×1034.45×1034.86×1034.97×1037.95×1034.59×1034.18×1034.15×1034.39×1036.55×1035.67×103
续表
ID指标SMAGAPSOGWOSSAWOAGADECMA-ESIGWOEAGDEL-SHADEiL-SHADE F24Std4.91×1025.44×1021.88×1022.31×1022.70×1026.53×1024.19×1014.92×1011.62×1026.33×1015.90×1022.28×102 F25Best3.62×1031.60×1045.12×1036.60×1035.05×1037.96×1042.79×1043.49×1034.55×1035.92×1031.20×1041.21×104 Avg3.90×1033.10×1046.67×1038.81×1036.30×1031.03×1053.69×1043.58×1035.62×1037.04×1031.49×1041.41×104 Std1.61×1028.03×1039.63×1021.15×1037.80×1021.36×1043.85×1032.44×1016.30×1024.98×1021.49×1031.37×103 F26Best1.20×1043.59×1041.44×1041.74×1041.86×1043.64×1041.88×1041.18×1041.24×1041.42×1043.03×1042.48×104 Avg1.53×1044.71×1041.72×1042.54×1042.21×1044.78×1042.02×1041.37×1041.50×1041.68×1043.48×1043.19×104 Std1.82×1035.70×1031.24×1033.94×1031.58×1033.90×1034.50×1026.03×1021.65×1038.87×1022.52×1032.92×103 F27Best3.93×1034.90×1033.90×1034.02×1033.72×1036.63×1034.16×1033.64×1033.66×1033.98×1035.45×1035.08×103 Avg4.36×1037.36×1034.27×1034.41×1034.10×1038.45×1034.70×1033.78×1033.85×1034.20×1037.82×1035.63×103 Std3.73×1021.49×1031.74×1021.98×1022.64×1029.39×1022.80×1027.95×1011.04×1021.46×1021.70×1032.88×102 F28Best3.70×1032.23×1046.90×1038.47×1035.37×1033.69×1041.74×1043.54×1035.14×1039.93×1031.52×1041.47×104 Avg4.12×1033.24×1049.43×1031.21×1047.92×1035.08×1042.01×1043.62×1037.80×1031.34×1041.90×1041.77×104 Std2.43×1026.15×1031.36×1031.61×1031.32×1034.93×1031.99×1035.37×1011.78×1031.20×1031.95×1031.79×103 F29Best7.04×1031.52×1047.74×1039.51×1038.44×1031.33×1041.29×1048.47×1036.70×1038.76×1031.39×1041.16×104 Avg8.61×1039.07×1049.16×1031.19×1041.09×1041.73×1041.48×1049.76×1037.85×1031.04×1041.66×1041.30×104 Std6.50×1021.35×1059.56×1021.57×1031.25×1033.68×1031.19×1036.76×1028.50×1026.95×1022.17×1039.28×102 F30Best1.67×1073.28×1092.06×1081.97×1083.94×1073.64×1091.74×1081.29×1084.13×1072.73×1071.61×1094.41×108 Avg1.05×1081.27×10101.18×1096.10×1081.86×1089.20×1094.28×1084.89×1081.77×1081.15×1085.59×1091.87×109 Std4.41×1079.34×1098.65×1083.25×1081.49×1083.21×1091.41×1082.08×1081.11×1085.74×1072.31×1091.14×109 > / ≈ / <29/0/024/3/228/1/028/0/129/0/028/1/020/1/820/4/525/1/328/0/126/0/3 ID指标JSOELSHADE-SPACMAAGSKEBLSHADESMAAOSMABTβSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F1Best1.57×10111.31×10111.17×10111.60×10119.63×10101.04×1091.99×10118.08×10101.58×1094.98×10101.58×1092.48×109 Avg1.90×10111.65×10111.35×10112.17×10111.09×10112.15×1092.34×10111.09×10112.28×1096.67×10102.24×1096.14×109 Std1.55×10101.08×10109.21×1091.76×10106.49×1094.77×1089.84×1091.10×10104.58×1088.75×1093.92×1082.04×109 F3Best3.02×1053.16×1056.76×1051.99×1053.23×1053.31×1053.20×1052.95×1053.34×1053.11×1053.50×1052.83×105 Avg3.27×1053.47×1058.29×1052.65×1055.40×1059.11×1053.49×1053.23×1057.73×1053.45×1059.59×1057.78×105 Std1.19×1041.20×1047.40×1042.08×1041.07×1053.06×1051.72×1041.38×1042.59×1051.47×1042.70×1051.71×105 F4Best1.89×1042.18×1042.00×1043.40×1048.67×1039.57×1024.96×1048.89×1039.82×1025.23×1039.69×1021.33×103 Avg3.23×1043.19×1042.79×1045.51×1041.19×1041.19×1036.03×1041.36×1041.24×1038.10×1031.18×1031.75×103 Std7.59×1033.74×1033.68×1039.69×1031.82×1031.22×1026.65×1032.46×1031.42×1021.74×1031.00×1022.55×102 F5Best1.60×1031.89×1031.76×1031.71×1031.61×1031.23×1031.94×1031.71×1031.19×1031.57×1031.16×1031.31×103 Avg1.72×1031.97×1031.96×1031.80×1031.75×1031.44×1032.02×1031.85×1031.41×1031.72×1031.44×1031.43×103 Std3.86×1012.68×1011.07×1024.29×1016.34×1018.99×1013.42×1016.43×1019.34×1017.55×1011.18×1027.24×101 F6Best6.80×1026.94×1026.97×1026.85×1026.73×1026.50×1026.99×1026.83×1026.51×1026.76×1026.50×1026.57×102 Avg6.93×1027.03×1027.21×1026.92×1026.81×1026.65×1027.08×1026.93×1026.64×1026.86×1026.66×1026.65×102 Std7.81×1002.79×1006.01×1005.94×1003.59×1007.40×1002.90×1004.42×1006.14×1005.64×1007.21×1003.36×100 F7Best3.57×1033.39×1032.67×1033.03×1032.70×1032.01×1033.64×1032.92×1032.03×1032.79×1032.03×1032.38×103 Avg3.75×1033.71×1033.09×1033.59×1032.94×1032.38×1033.81×1033.20×1032.42×1033.23×1032.47×1032.83×103 Std8.04×1011.73×1021.45×1021.67×1021.30×1021.50×1027.60×1011.55×1021.98×1022.26×1022.45×1022.79×102 F8Best2.16×1032.28×1032.14×1032.24×1031.94×1031.56×1032.33×1032.04×1031.53×1032.02×1031.61×1031.68×103 Avg2.24×1032.41×1032.32×1032.31×1032.09×1031.76×1032.46×1032.23×1031.75×1032.16×1031.80×1031.83×103 Std3.50×1014.78×1018.79×1013.99×1016.70×1011.11×1025.88×1018.29×1011.18×1027.95×1011.02×1027.59×101 F9Best5.25×1046.58×1047.75×1045.23×1045.40×1043.37×1046.69×1045.94×1042.99×1044.17×1043.10×1042.64×104 Avg6.52×1047.75×1041.15×1056.27×1046.67×1044.72×1047.57×1047.12×1044.45×1045.58×1044.73×1043.18×104
续表
ID指标JSOELSHADE-SPACMAAGSKEBLSHADESMAAOSMABTβSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F9Std5.98×1032.92×1032.34×1046.19×1037.59×1036.75×1034.97×1035.32×1035.31×1036.77×1036.81×1033.35×103 F10Best2.32×1042.61×1043.03×1042.38×1042.62×1041.67×1042.93×1042.46×1041.66×1042.18×1041.71×1041.40×104 Avg2.44×1042.76×1043.23×1042.58×1042.93×1041.97×1043.13×1042.92×1041.98×1042.50×1042.02×1041.71×104 Std5.74×1027.10×1026.40×1027.65×1021.52×1031.11×1031.13×1031.57×1031.37×1032.13×1031.37×1031.52×103 F11Best7.26×1041.41×1051.75×1055.69×1046.37×1042.61×1041.24×1056.93×1043.15×1047.63×1042.30×1045.17×104 Avg1.08×1052.05×1053.17×1059.77×1049.01×1046.45×1041.76×1051.21×1056.22×1041.39×1056.58×1041.06×105 Std1.61×1043.59×1045.71×1043.61×1041.44×1042.29×1042.55×1041.94×1042.34×1042.59×1042.00×1042.37×104 F12Best3.99×10104.51×10103.51×10106.01×10101.41×10101.92×1081.21×10111.62×10101.82×1085.20×1091.69×1082.14×108 Avg6.64×10106.40×10104.88×10101.04×10112.17×10105.87×1081.55×10112.61×10105.35×1081.27×10106.45×1086.33×108 Std1.64×10101.02×10106.95×1092.32×10103.81×1092.12×1081.12×10105.51×1092.48×1083.29×1093.10×1082.67×108 F13Best4.89×1095.06×1094.50×1098.40×1093.06×1083.07×1052.47×10109.62×1085.17×1051.86×1083.86×1052.74×104 Avg1.22×10109.24×1096.93×1091.87×10107.83×1088.32×1063.15×10103.27×1097.28×1061.07×1096.47×1067.09×104 Std4.65×1092.37×1091.34×1096.90×1092.94×1081.83×1073.68×1091.20×1091.78×1076.20×1081.69×1072.86×104 F14Best2.85×1061.04×1071.46×1074.23×1053.08×1061.50×1061.21×1076.06×1064.38×1064.31×1062.87×1061.71×106 Avg6.48×1062.24×1073.73×1072.81×1061.62×1071.25×1073.19×1071.37×1071.07×1071.38×1071.05×1077.67×106 Std1.86×1065.98×1061.35×1071.96×1068.88×1066.15×1061.03×1074.20×1065.73×1066.39×1065.11×1064.51×106 F15Best5.15×1081.18×1094.89×1083.04×1088.15×1064.30×1048.90×1092.00×1085.40×1043.13×1074.74×1041.62×104 Avg2.45×1092.40×1091.34×1094.18×1093.02×1072.40×1061.32×10106.37×1081.75×1062.25×1081.61×1065.32×104 Std1.06×1097.86×1085.20×1083.05×1092.77×1074.35×1062.15×1093.01×1084.82×1062.86×1083.21×1062.97×104 F16Best1.10×1041.24×1041.22×1041.13×1048.33×1034.90×1031.44×1049.81×1034.15×1038.31×1035.27×1034.81×103 Avg1.27×1041.38×1041.45×1041.38×1041.04×1046.66×1031.77×1041.18×1046.84×1031.03×1046.84×1036.91×103 Std6.88×1026.52×1021.18×1031.26×1031.01×1037.55×1021.61×1039.69×1028.71×1021.10×1037.75×1027.75×102 F17Best7.93×1031.07×1049.25×1037.65×1035.12×1034.67×1032.03×1057.40×1034.97×1035.50×1034.55×1034.80×103 Avg1.02×1042.02×1043.29×1047.47×1046.70×1035.83×1038.58×1059.96×1035.99×1037.59×1035.84×1036.01×103 Std2.13×1031.53×1043.02×1043.49×1057.46×1026.51×1026.88×1052.25×1036.82×1021.23×1035.44×1026.72×102 F18Best3.60×1061.47×1072.17×1074.23×1055.35×1061.91×1061.36×1079.01×1063.84×1065.93×1063.78×1062.17×106 Avg8.39×1062.91×1077.34×1074.72×1061.82×1071.57×1076.23×1071.76×1071.58×1071.61×1071.51×1078.87×106 Std2.91×1069.65×1062.69×1073.59×1061.14×1079.12×1062.98×1077.17×1067.85×1068.02×1067.70×1065.30×106 F19Best3.64×1081.12×1096.77×1081.13×1098.07×1062.13×1056.32×1092.76×1082.60×1055.36×1072.79×1055.52×104 Avg2.36×1092.18×1091.59×1094.15×1093.13×1071.31×1061.10×10106.31×1081.18×1061.90×1081.30×1063.89×105 Std1.34×1096.60×1085.77×1082.56×1091.57×1078.63×1052.39×1092.96×1088.78×1052.22×1081.15×1063.04×105 F20Best7.21×1037.41×1037.12×1035.55×1034.59×1034.46×1036.24×1035.47×1034.25×1034.93×1034.48×1034.52×103 Avg7.69×1037.92×1038.08×1037.45×1035.88×1035.69×1037.31×1036.73×1035.79×1036.04×1035.78×1035.82×103 Std2.22×1022.09×1022.85×1024.59×1025.71×1025.41×1024.67×1024.93×1025.84×1025.04×1026.99×1026.01×102 F21Best3.44×1033.73×1033.73×1033.81×1033.54×1033.01×1034.34×1033.62×1032.99×1033.49×1033.05×1033.41×103 Avg3.56×1033.96×1034.09×1034.01×1033.74×1033.31×1034.63×1033.83×1033.30×1033.74×1033.30×1033.80×103 Std5.44×1018.02×1011.52×1029.52×1018.27×1011.49×1021.33×1021.02×1021.27×1021.37×1021.32×1022.15×102 F22Best2.65×1043.17×1043.29×1042.73×1043.03×1041.67×1043.26×1042.93×1041.96×1042.47×1042.02×1041.66×104 Avg3.03×1043.38×1043.50×1043.08×1043.25×1042.23×1043.45×1043.18×1042.27×1042.85×1042.27×1042.01×104 Std1.84×1036.89×1026.41×1021.90×1031.29×1031.63×1038.76×1021.58×1031.56×1031.52×1031.25×1031.28×103 F23Best4.21×1034.51×1034.82×1034.90×1034.24×1033.42×1036.09×1034.12×1033.40×1034.09×1033.39×1033.77×103 Avg4.39×1034.69×1035.28×1035.67×1034.53×1033.68×1036.65×1034.39×1033.67×1034.43×1033.63×1034.29×103 Std6.47×1011.00×1021.94×1023.28×1021.04×1021.23×1023.07×1021.13×1021.16×1021.49×1021.22×1022.10×102 F24Best5.14×1035.33×1036.41×1036.17×1035.44×1034.08×1039.21×1034.85×1034.06×1034.84×1034.07×1034.89×103
续表
ID指标JSOELSHADE-SPACMAAGSKEBLSHADESMAAOSMABTβSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F24Avg6.26×1035.82×1037.00×1036.96×1035.80×1034.37×1031.07×1045.19×1034.40×1035.36×1034.35×1035.36×103 Std6.40×1022.03×1023.19×1027.04×1021.95×1021.46×1027.08×1022.37×1021.53×1022.47×1021.40×1022.76×102 F25Best1.33×1041.24×1041.29×1041.50×1046.53×1033.65×1031.77×1047.89×1033.70×1035.74×1033.68×1033.84×103 Avg1.80×1041.56×1041.50×1042.05×1048.00×1033.90×1032.07×1049.90×1033.94×1037.56×1033.93×1034.15×103 Std1.89×1031.19×1031.23×1032.58×1037.28×1021.40×1021.49×1039.93×1021.16×1029.05×1021.09×1021.51×102 F26Best3.41×1043.34×1042.83×1043.55×1042.34×1046.23×1034.47×1041.81×1046.49×1031.73×1041.34×1047.62×103 Avg3.85×1043.70×1043.28×1044.25×1042.77×1041.65×1044.79×1042.89×1041.65×1042.68×1041.70×1042.10×104 Std2.65×1031.85×1032.04×1032.99×1031.65×1032.13×1031.82×1033.47×1032.16×1033.51×1031.56×1035.95×103 F27Best5.09×1036.05×1036.60×1035.20×1034.96×1033.55×1031.00×1044.34×1033.55×1034.15×1033.59×1034.06×103 Avg5.43×1037.06×1037.84×1036.37×1035.70×1033.83×1031.23×1044.86×1033.88×1035.00×1033.85×1034.47×103 Std2.47×1025.03×1025.19×1026.42×1023.54×1021.55×1029.61×1023.84×1021.56×1023.83×1021.49×1022.24×102 F28Best1.79×1041.86×1041.74×1042.18×1049.12×1033.90×1032.47×1041.07×1043.83×1037.90×1033.77×1034.29×103 Avg2.24×1042.06×1042.02×1042.61×1041.18×1046.43×1032.77×1041.34×1044.25×1031.05×1044.75×1035.25×103 Std2.50×1039.70×1021.27×1032.60×1039.89×1024.41×1031.48×1031.56×1034.09×1021.22×1031.28×1035.08×102 F29Best1.27×1041.52×1041.51×1041.29×1041.03×1047.29×1033.27×1041.14×1047.48×1031.03×1047.36×1037.50×103 Avg1.51×1042.16×1042.62×1042.38×1041.20×1048.47×1031.20×1051.46×1048.47×1031.25×1048.53×1038.94×103 Std2.19×1032.91×1039.25×1031.45×1048.52×1026.94×1026.01×1041.90×1036.23×1029.85×1026.88×1026.56×102 F30Best2.47×1094.13×1092.34×1091.88×1092.46×1088.99×1062.20×10101.06×1098.93×1063.90×1087.38×1065.83×106 Avg8.69×1098.09×1095.43×1091.13×10108.39×1082.91×1072.78×10102.64×1093.60×1071.27×1092.90×1072.67×107 Std3.33×1092.11×1091.26×1095.37×1093.46×1081.65×1073.01×1099.96×1081.69×1077.17×1081.56×1071.82×107 > / ≈ / <28/0/128/0/129/0/026/1/229/0/021/3/528/0/128/0/121/3/528/0/121/3/525/0/4
综上所述, SMAGA 在 4 种类型优化问题中的单峰移位旋转函数、多峰移位旋转函数和混合函数上表现最好。这是因为 SMAGA 使用基于正负反馈特性振荡模式和随机游走特性收缩模式的交叉算子来提升算法的局部搜索能力; 使用基于空间衰减的自扩散机制作为算法的变异算子, 提升了算法的全局搜索能力; 最后根据群体适应度的分布偏差, 自适应地调整算法的参数, 进而平衡算法的勘探能力和开发能力。上述 3 种策略的综合作用使得 SMAGA可以在这些类型的优化问题中快速地搜索到最优解, 验证了算法对此类问题的适用性。然而, SMAGA 在复合函数上表现较差, 表明本文算法的局限性。这是因为复合函数由混合函数融合而成, 其数学空间特性十分复杂, 且存在多个鞍点, 为算法的优化性能带来巨大的挑战。在本文中, SMAGA并非在所有复合函数中弱于某种单一算法, 而是在某些复合函数中弱于不同的算法。从总体上看, SMAGA 在复合函数中综合性能最强, 但仍然需要针对复合函数类型优化问题, 进一步增强算法的 性能。
图 7 显示所有算法在 CEC2017 测试集上的收敛曲线。可以看出, 单峰函数可用于验证算法的探索能力, 从 F1 子图可以看出, 本文算法 SMAGA 在整个搜索过程中具有快速收敛性, 并且达到最低的收敛精度, 意味着 SMAGA 具有优越的全局搜索能力。从多峰移位旋转函数 F4～F10 的收敛曲线可以看出, 对于所有测试实例, SMAGA 都能快速达到稳定收敛状态, 表明算法具有较好的收敛能力。SMAGA 在 F11, F12, F13, F16, F20, F21, F23, F24, F26 和 F27 取得比其他算法更好的解, 尽管收敛速度并非最快, 这是因为算法需要同时兼顾勘探与开发的平衡, 保证收敛到最优解。特别地, 与其他对比算法相比, SMAGA 在 F5, F8 和 F10 的收敛曲线呈现密集的“陡峭”形状, 表明本文算法具有良好的摆脱局部最优的能力。混合和复合函数具有多个局部最优值, 可用于测试算法的综合优化性能, 即勘探、开发以及两种能力之间的平衡。从图 7 可以看出, SMAGA 可以快速收敛到最优解或近似最优解。从 F14, F16, F18, F19, F23 和 F25 等子图可以看出 SMAGA 具有较快的收敛速度, 在前期就达到相对较低的适应度。从 F20 和 F25 等子图可以看出, 与大多数在搜索过程中直接进入停滞状态的对比算法不同, SMAGA 在陷入一段时间的停滞后仍然可以摆脱停滞, 找到更好的解, 表明它具有跳出局部最优以及平衡勘探与开发的能力。
图7 算法收敛曲线对比
Fig.7 Convergence curves of comparison algorithms
为了进一步验证 SMAGA 算法的性能, 在 IEEE CEC2021 测试集上进行对比实验。从表5可以看出, IEEE CEC2021 将 IEEE CEC2017 的正常测试实例作为基本组件, 通过偏置(Bias)、移位(Shift)和旋转(Rotation) 3 种变换, 产生更复杂的测试实例。表 6展现 IEEE CEC2021 根据是否进行变换产生的不同实例组合。因此, 通过对表 5 中的 10 项基本实例进行 8 种组合变换, 使得 IEEE CEC2021 共包含 80 种测试实例。然而, 该测试集的部分实例存在偏差, 无法有效地检验算法的性能。当测试实例在搜索空间的原点或对称搜索空间具有最优解时, 部分算法的收敛速度快于其他情况下的收敛速度。这是因为算法中位置更新方法的设计倾向于在搜索空间的原点附近或对称空间进行寻优。为了消除 IEEE CEC-2021 的偏差, 本文选用 Shift, Bias && Shift, Shift && Rotation 和 Bias && Shift && Rotation 四项组合共40 个测试实例进行 20 维函数测试, 并与其他 SMA变体进行对比, 结果如表 7 所示。实验结果表明, SMAGA 在大多数测试实例中取得所有 SMA 变体中最好的结果。
表5 IEEE CEC2021测试集的基本测试函数
Table 5 Basic test functions of IEEE CEC2021 test suite
测试函数函数名 F1Shifted and Rotated Bent Cigar Function F2Shifted and Rotated Schwefel’s Function F3Shifted and Rotated Lunacek bi-Rastrigin Function F4Expanded Rosenbrock’s plus Griewangk’s Function F5Hybrid Function 1 (N = 3) F6Hybrid Function 2 (N = 4) F7Hybrid Function 3 (N = 5) F8Composition Function 1 (N = 3) F9Composition Function 2 (N = 4) F10Composition Function 3 (N = 5)
表6 IEEE CEC2021组合变换
Table 6 Tansformation and combination of IEEE CEC2021
组合偏置移位旋转 BasicFALSEFALSEFALSE BiasTRUEFALSEFALSE ShiftFALSETRUEFALSE RotationFALSEFALSETRUE Bias && ShiftTRUETRUEFALSE Bias && RotationTRUEFALSETRUE Shift && RotationFALSETRUETRUE Bias && Shift && RotationTRUETRUETRUE
说明: “TRUE”表示进行此变换, “FALSE”表示不进行此变化, 下同。
表7 IEEE CEC2021测试集对比实验结果(20维)
Table 7 Comparison experimental results of IEEE CEC2021 test suite (Dim=20)
转换ID指标SMAGASMAAOSMABTbSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA ShiftF1Best1.66×1035.29×1067.43×1039.09×1093.74×1086.95×1031.95×1077.81×1035.13×101 Avg6.23×1032.45×1072.97×1041.29×10101.00×1093.49×1042.16×1082.46×1045.56×103 Std4.30×1031.38×1071.68×1041.74×1093.72×1081.87×1042.18×1081.13×1045.81×103 F2Best1.40×1027.46×1023.08×1022.92×1031.48×1032.79×1029.14×1023.82×1022.58×102 Avg1.01×1031.36×1037.70×1023.75×1032.82×1037.96×1022.20×1037.79×1027.31×102 Std4.00×1022.73×1022.38×1022.87×1024.14×1022.90×1025.03×1022.35×1022.36×102 F3Best3.82×1016.04×1013.35×1011.96×1021.18×1023.16×1018.81×1012.97×1013.50×101 Avg6.32×1018.98×1014.65×1012.43×1021.61×1024.59×1011.32×1024.65×1014.98×101 Std1.41×1011.74×1015.58×1002.90×1012.34×1018.12×1002.19×1018.63×1009.13×100 F4Best1.32×1006.23×1001.68×1001.69×1031.35×1012.25×1009.48×1001.67×1002.77×100 Avg3.43×1001.00×1013.86×1006.96×1032.19×1013.86×1001.87×1013.77×1005.57×100 Std1.14×1002.14×1009.62×10−13.53×1037.21×1001.02×1005.74×1001.08×1002.18×100 F5Best3.20×1021.15×1033.24×1023.86×1047.58×1041.61×1022.06×1042.43×1027.95×101 Avg4.97×1031.00×1046.67×1023.35×1054.84×1056.86×1021.85×1056.39×1024.96×102
续表
转换ID指标SMAGASMAAOSMABTbSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA ShiftF5Std9.12×1031.00×1042.34×1022.40×1052.47×1053.04×1021.42×1052.47×1022.11×102 F6Best3.74×1001.06×1019.25×1005.34×1021.15×1027.97×1001.80×1022.97×1002.80×100 Avg1.66×1021.79×1021.51×1021.10×1034.36×1021.64×1024.36×1021.55×1022.49×102 Std1.30×1029.88×1011.06×1022.20×1021.93×1021.11×1021.83×1021.12×1021.16×102 F7Best2.33×1021.29×1033.97×1011.08×1042.25×1042.72×1016.35×1033.68×1012.97×101 Avg3.99×1034.99×1033.86×1026.93×1041.95×1054.11×1029.28×1044.20×1022.74×102 Std2.51×1031.60×1031.85×1021.09×1052.18×1052.05×1021.47×1052.30×1021.43×102 F8Best3.87×1011.13×1021.02×1028.61×1021.50×1021.02×1021.19×1021.02×1021.00×102 Avg1.00×1022.06×1021.64×1021.40×1032.14×1021.99×1021.53×1021.50×1022.75×102 Std8.85×1003.54×1022.43×1022.86×1023.85×1012.98×1022.35×1012.05×1023.45×102 F9Best4.11×1024.36×1024.08×1027.03×1024.68×1024.07×1024.45×1024.05×1024.17×102 Avg4.37×1024.69×1024.18×1028.22×1025.07×1024.19×1024.90×1024.20×1024.50×102 Std1.75×1011.95×1017.01×1006.34×1011.87×1018.59×1002.70×1019.07×1002.21×101 F10Best4.00×1024.53×1024.58×1026.76×1025.01×1024.01×1024.51×1024.05×1024.00×102 Avg4.64×1025.14×1024.97×1029.07×1025.49×1024.80×1025.34×1024.95×1024.41×102 Std4.49×1011.81×1011.60×1018.08×1013.05×1013.63×1012.55×1012.71×1014.54×101 Bias && ShiftF1Best1.80×1034.12×1065.95×1037.36×1093.43×1081.03×1041.44×1079.12×1031.20×102 Avg7.37×1033.06×1072.51×1041.26×10109.66×1083.32×1041.76×1082.42×1044.76×103 Std5.23×1031.93×1071.32×1042.29×1093.73×1081.98×1041.63×1081.00×1044.69×103 F2Best1.59×1031.66×1031.47×1033.98×1032.89×1031.30×1032.48×1031.26×1031.30×103 Avg2.25×1032.48×1031.87×1034.77×1033.93×1031.94×1033.34×1031.87×1031.87×103 Std3.20×1022.74×1022.61×1022.84×1024.33×1022.70×1024.77×1022.10×1022.49×102 F3Best7.41×1027.66×1027.30×1028.95×1028.10×1027.28×1027.90×1027.31×1027.35×102 Avg7.61×1027.88×1027.47×1029.46×1028.68×1027.47×1028.35×1027.46×1027.50×102 Std1.15×1011.15×1018.16×1002.25×1012.34×1018.65×1002.54×1017.71×1009.50×100 F4Best1.90×1031.91×1031.90×1034.95×1031.91×1031.90×1031.91×1031.90×1031.90×103 Avg1.90×1031.91×1031.90×1038.52×1031.92×1031.90×1031.92×1031.90×1031.91×103 Std1.01×1002.58×1001.18×1003.00×1039.16×1007.52×10−17.55×1001.27×1001.77×100 F5Best2.18×1032.77×1031.78×1034.45×1048.80×1041.75×1031.41×1041.86×1031.87×103 Avg9.54×1031.25×1042.42×1033.75×1054.52×1052.41×1032.44×1052.44×1032.19×103 Std1.06×1041.27×1043.39×1022.05×1053.12×1052.75×1021.91×1052.88×1022.02×102 F6Best1.60×1031.61×1031.61×1032.06×1031.73×1031.61×1031.71×1031.61×1031.60×103 Avg1.77×1031.76×1031.74×1032.65×1032.04×1031.74×1032.06×1031.75×1031.88×103 Std1.31×1029.45×1011.08×1021.96×1021.78×1021.11×1022.04×1021.06×1021.52×102 F7Best2.29×1033.80×1032.19×1031.23×1044.00×1042.20×1037.28×1032.13×1032.11×103 Avg5.70×1037.55×1032.52×1035.00×1041.72×1052.48×1035.19×1042.44×1032.35×103 Std2.01×1032.27×1032.21×1022.40×1041.98×1052.15×1025.63×1042.07×1021.56×102 F8Best2.30×1032.31×1032.30×1032.93×1032.36×1032.30×1032.32×1032.30×1032.30×103 Avg2.30×1032.41×1032.37×1033.59×1032.42×1032.45×1032.34×1032.46×1032.43×103 Std9.91×10−13.65×1022.69×1023.05×1023.26×1013.35×1021.77×1013.80×1022.93×102 F9Best2.81×1032.83×1032.81×1033.10×1032.86×1032.80×1032.85×1032.81×1032.82×103 Avg2.84×1032.87×1032.82×1033.23×1032.91×1032.82×1032.90×1032.82×1032.85×103 Std2.48×1011.70×1017.80×1007.31×1012.19×1018.15×1002.32×1017.87×1002.40×101 F10Best2.90×1032.93×1032.93×1033.26×1033.01×1032.90×1032.96×1032.90×1032.90×103 Avg2.97×1033.01×1032.99×1033.40×1033.05×1032.98×1033.03×1032.99×1032.96×103
续表
转换ID指标SMAGASMAAOSMABTbSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA F10Std4.09×1012.35×1011.91×1017.62×1011.76×1012.99×1012.41×1012.32×1014.79×101 Shift && RotationF1Best2.00×1034.52×1061.21×1041.14×10104.59×1081.08×1042.63×1077.64×1036.18×101 Avg4.53×1034.99×1073.53×1041.62×10101.46×1095.24×1044.76×1083.88×1043.33×103 Std2.14×1036.19×1071.39×1042.69×1096.45×1082.32×1044.23×1081.92×1044.07×103 F2Best4.84×1025.60×1026.49×1023.58×1031.78×1033.87×1021.23×1035.36×1025.10×102 Avg1.35×1031.64×1031.19×1034.20×1032.91×1031.07×1032.33×1031.20×1031.23×103 Std4.74×1024.25×1023.46×1022.91×1024.87×1023.62×1024.37×1023.40×1023.39×102 F3Best4.26×1016.66×1014.27×1012.09×1021.04×1024.06×1019.96×1014.18×1014.11×101 Avg7.22×1011.02×1026.67×1012.63×1021.73×1026.66×1011.48×1026.46×1018.21×101 Std1.60×1011.77×1011.64×1012.31×1012.21×1011.42×1012.70×1011.22×1011.84×101 F4Best1.87×1006.25×1001.93×1004.61×1031.48×1012.25×1001.25×1012.40×1003.09×100 Avg3.75×1001.23×1014.74×1002.07×1043.57×1014.83×1002.40×1014.90×1009.33×100 Std1.11×1003.80×1001.32×1001.77×1041.89×1011.73×1001.39×1011.67×1004.31×100 F5Best4.05×1034.11×1045.01×1044.84×1051.90×1056.53×1043.49×1058.05×1041.01×105 Avg1.03×1059.30×1051.10×1061.69×1066.87×1051.02×1069.25×1051.23×1061.34×106 Std8.34×1047.85×1057.98×1059.41×1054.00×1057.94×1054.47×1051.08×1061.47×106 F6Best1.46×1011.73×1012.77×1017.12×1022.28×1022.22×1011.18×1021.14×1012.15×101 Avg2.22×1021.84×1021.86×1021.10×1034.79×1021.84×1024.74×1021.64×1022.89×102 Std1.35×1021.02×1021.11×1021.70×1021.60×1021.03×1021.67×1021.12×1021.38×102 F7Best2.08×1031.50×1047.34×1036.26×1044.27×1045.21×1031.93×1042.75×1041.02×104 Avg4.46×1044.55×1054.68×1057.07×1052.58×1054.50×1053.77×1054.36×1055.10×105 Std4.62×1044.23×1054.80×1059.94×1052.82×1053.77×1054.00×1054.23×1054.39×105 F8Best1.01×1021.14×1021.03×1021.22×1031.41×1021.03×1021.16×1021.02×1021.00×102 Avg1.02×1021.44×1031.44×1031.89×1032.38×1021.01×1031.53×1021.45×1031.48×103 Std7.81×10−11.41×1031.34×1033.39×1024.50×1011.25×1032.68×1011.35×1031.51×103 F9Best4.24×1024.40×1024.34×1026.95×1024.84×1024.31×1024.65×1024.31×1024.80×102 Avg4.52×1024.93×1024.72×1028.11×1025.30×1024.74×1025.20×1024.74×1026.82×102 Std2.16×1012.77×1011.94×1016.08×1012.21×1012.62×1013.21×1012.88×1018.77×101 F10Best4.10×1024.15×1024.11×1026.66×1024.55×1024.11×1024.26×1024.11×1024.14×102 Avg4.33×1024.43×1024.34×1021.13×1035.15×1024.34×1024.97×1024.35×1024.65×102 Std2.80×1013.85×1013.36×1012.35×1023.23×1013.23×1013.44×1013.15×1013.65×101 Bias && Shift && RotationF1Best2.14×1038.11×1061.36×1049.97×1091.96×1081.86×1042.76×1075.18×1031.36×102 Avg5.90×1036.43×1073.74×1041.61×10101.37×1095.54×1043.88×1083.97×1043.54×103 Std2.98×1035.93×1071.70×1042.45×1095.78×1082.70×1043.74×1082.12×1043.99×103 F2Best1.59×1032.12×1031.42×1034.62×1033.04×1031.52×1032.33×1031.50×1031.36×103 Avg2.37×1032.80×1032.15×1035.18×1034.24×1032.25×1033.49×1032.24×1032.40×103 Std3.82×1023.78×1024.23×1022.66×1024.14×1024.54×1024.42×1024.32×1023.99×102 F3Best7.44×1027.71×1027.41×1029.12×1028.08×1027.43×1027.85×1027.40×1027.49×102 Avg7.72×1028.02×1027.66×1029.56×1028.72×1027.65×1028.42×1027.66×1027.89×102 Std1.92×1011.89×1011.52×1012.39×1012.84×1011.43×1012.53×1011.45×1011.85×101 F4Best1.90×1031.91×1031.90×1037.45×1031.91×1031.90×1031.91×1031.90×1031.90×103 Avg1.90×1031.91×1031.90×1032.33×1041.94×1031.90×1031.92×1031.90×1031.91×103 Std1.08×1003.36×1001.83×1001.24×1042.00×1011.43×1002.23×1011.66×1003.47×100 F5Best1.00×1044.07×1048.75×1041.28×1051.52×1055.98×1042.35×1059.49×1046.24×104 Avg1.21×1059.48×1051.13×1061.93×1068.17×1051.13×1069.38×1051.24×1061.17×106
续表
转换ID指标SMAGASMAAOSMABTbSMACNMSMACOSMADASMADFSMAESMA Bias && Shift && RotationF5Std8.61×1048.00×1051.01×1061.30×1064.62×1058.82×1054.98×1058.75×1051.20×106 F6Best1.61×1031.62×1031.61×1032.29×1031.75×1031.61×1031.70×1031.61×1031.60×103 Avg1.80×1031.79×1031.74×1032.78×1032.09×1031.79×1032.08×1031.75×1031.89×103 Std1.46×1021.03×1029.63×1012.43×1021.75×1021.34×1022.10×1021.12×1021.41×102 F7Best3.38×1039.53×1034.02×1047.19×1041.40×1044.83×1046.02×1042.19×1049.16×103 Avg3.69×1045.23×1055.86×1057.73×1051.73×1056.32×1053.62×1055.80×1056.75×105 Std3.71×1043.81×1054.32×1051.16×1061.25×1054.58×1053.50×1054.32×1055.53×105 F8Best2.30×1032.32×1032.30×1033.49×1032.36×1032.30×1032.32×1032.30×1032.30×103 Avg2.35×1033.35×1033.61×1034.28×1032.45×1033.42×1032.35×1033.38×1033.59×103 Std3.50×1021.25×1031.31×1036.85×1026.00×1011.41×1032.06×1011.24×1031.47×103 F9Best2.83×1032.85×1032.82×1033.07×1032.89×1032.82×1032.85×1032.83×1032.93×103 Avg2.86×1032.90×1032.87×1033.20×1032.93×1032.87×1032.92×1032.88×1033.08×103 Std2.78×1013.28×1012.44×1016.72×1012.19×1012.81×1013.45×1012.75×1017.50×101 F10Best2.90×1032.92×1032.91×1033.26×1032.94×1032.91×1032.93×1032.91×1032.91×103 Avg2.93×1032.95×1032.94×1033.62×1033.02×1032.95×1033.00×1032.93×1032.98×103 Std2.56×1013.56×1012.83×1011.95×1023.47×1013.28×1014.04×1012.95×1012.73×101
为了从统计学角度进一步测试所提 SMAGA 的性能, 本文依次进行箱线图、Wilcoxon 符号秩检验、Friedman 检验和事后多重比较检验。
图 8 展现箱线图实验结果, 用于分析 SMAGA、和其他算法在 51 次独立执行中的数据分布特征。
可以看出, SMAGA 的箱线较窄, 贴近最优值, 与其他比较算法相比, SMAGA 在大多数测试实例上都有较好的表现, 说明本文算法的优越性, 并且具有较强的鲁棒性。
与 3.2 节采用 Wilcoxon 秩和检验统计方法不同, 本节使用 Wilcoxon 符号秩检验进一步验证不同算法之间的性能。Wilcoxon 符号秩检验是一种非参数方法, 可用于验证结果的显著差异, 并观察不同算法的符号秩差异。本文显著性水平设置为 0.05。符号秩的计算方法为
(23)
(24)
其中, R+表示前一种算法优于后一种算法的秩和, 𝑅−是表示前一种算法弱于后一种算法的秩和, di 表示观测值对之间的差异。
表 8 列出所有算法在两个测试集 IEEE CEC2017 (50 维和 100 维)和 IEEE CEC2021(20 维)上进行 Wil-coxon 符号秩检验的结果。可以看到, 本文提出的SMAGA 算法在不同测试集、不同维度环境下的结果分别是 556/54/57, 597/21/49 和 678/84/158, 表明SMAGA 明显优于其他对比算法。在大多数情况下, SMAGA 算法与其他对比算法的结果之间呈现显著差异。随着维度的增加, SMAGA 的表现更加优越。
Wilcoxon 符号秩检验可用于两种算法结果的比较, 但无法同时验证多种算法之间的差异, 因此本文利用 Friedman 测试, 进一步检测对比算法与SMAGA 的性能差异。从表 8 中的 rank 指标来看, SMAGA 在不同维度环境下都取得最好的排名, 表明在本文的实验设置下, SMAGA 与大多数对比算法之间存在显著的统计差异。
为了进一步证明 SMAGA 的性能, 本文进行事后多重比较测试, 表 9 显示 SMAGA 的结果与其他大多数比较算法之间有显著的差异。
光伏(photovoltaic, PV)模型的参数在光伏系统设计中发挥着至关重要的作用, 精准辨识相关参数对保证光伏模型的可靠性和鲁棒性具有重要意义。光伏模型的构建依赖于非线性电流–电压(current-voltage, I-V)特性曲线的表征, 包含大量未知参数, 呈现非线性、多模态和多变量的特点, 传统方法难以快速确定光伏模型的最优参数配置。为了验证本文提出的算法在实际问题中的有效性, 我们采用SMAGA 来识别三二极管模型(triple diode model, TDM)中的未知参数。
1. PSO, 2. GWO, 3. SSA, 4. WOA, 5. GA, 6. DE, 7. CMA-ES, 8. IGWO, 9. EAGDE, 10. LSHADE, 11. iLSHADE, 12. JSO, 13. ELSHADESPACMA, 14. AGSK, 15. EBLSHADE, 16. SMA, 17. AOSMA, 18. BTβSMA, 19. CNMSMA, 20. COSMA, 21. DASMA, 22. DFSMA, 23. ESMA
图8 对比算法箱线图
Fig. 8 Boxplot figures of comparison algoriothms
表8 Friedman检验和Wilcoxon符号的秩检验结果
Table 8 Statistical results of both Friedman test and Wilcoxon signed-rank test
数据集算法R+R–α-value+=–Dec.Rank CEC2017(Dim=50)SMAGA–––556 (sum)54 (sum)57 (sum)– 1 PSO435 02.56×10−62900+24 GWO427 05.90×10−62351+ 9 SSA407 284.17×10−52810+11 WOA379 564.79×10−42621+13 GA435 02.56×10−62900+23 DE433 23.17×10−62801+20 CMA-ES3201152.67×10−21739+10 IGWO2891461.22×10−11865≈ 5 EAGDE2771581.98×10−12117≈ 6 LSHADE345 905.83×10−32423+16
续表
数据集算法R+R–α-value+=–Dec.Rank CEC2017(Dim=50)iLSHADE2461895.38×10−12117+ 7 JSO3271081.79×10−22333≈14 ELSHADESPACMA419 161.32×10−52711+17 AGSK435 02.56×10−62900+21 EBLSHADE363 721.65×10−32423+18 SMA413 222.36×10−52801+12 AOSMA3231122.25×10−21874+ 4 BTSMA435 02.56×10−62900+22 CNMSMA435 02.56×10−62810+19 COSMA3101254.55×10−21874+ 2 DASMA435 02.56×10−62900+15 DFSMA3151203.50×10−21784+ 3 ESMA3261091.90×10−22243+ 8 CEC2017(Dim=100)SMAGA–––597 (sum)21 (sum)49 (sum)– 1 PSO435 02.56×10−62900+23 GWO422 139.78×10−62522+ 7 SSA435 02.56×10−62720+10 WOA433 23.17×10−62801+11 GA435 02.56×10−62900+24 DE433 23.17×10−62810+18 CMA-ES350 854.17×10−32018+ 9 IGWO379 564.79×10−42135+ 4 EAGDE427 85.90×10−62513+ 8 LSHADE415 201.95×10−52801+19 iLSHADE369 661.05×10−32603+14 JSO414 212.15×10−52801+16 ELSHADESPACMA415 201.95×10−52801+20 AGSK435 02.56×10−62900+21 EBLSHADE391 441.76×10−42612+17 SMA435 02.56×10−62900+13 AOSMA3271081.79×10−22135+ 3 BTSMA417 181.60×10−52801+22 CNMSMA414 212.15×10−52801+15 COSMA3281071.69×10−22045+ 2 DASMA414 212.15×10−52801+12 DFSMA3301051.50×10−22225+ 5 ESMA3281071.69×10−22414+ 6 CEC2021(Dim=20)SMAGA–––678 (sum)84 (sum)158 (sum)– 1 PSO820 03.57×10−84000+24 GWO820 03.57×10−84000+17 SSA820 03.57×10−83640+15 WOA820 03.57×10−84000+18 GA7081126.19×10−53622+22 DE5922281.44×10−228210+12
续表
数据集算法R+R–α-value+=–Dec.Rank CEC2021(Dim=20)CMA-ES5732472.85×10−218616+10 IGWO6321882.85×10−325114+11 EAGDE5652553.72×10−228111+ 9 LSHADE5812392.15×10−224610+ 8 iLSHADE4713494.12×10−121712≈ 2 JSO5422787.60×10−230010≈13 ELSHADESPACMA4423786.67×10−124412≈ 6 AGSK5602604.38×10−23208+20 EBLSHADE5602604.38×10−23208+16 SMA749 715.20×10−63280+14 AOSMA4613594.93×10−117914≈ 3 BTSMA820 03.57×10−84000+23 CNMSMA820 03.57×10−84000+21 COSMA4723484.05×10−1161014≈25 DASMA820 03.57×10−84000+19 DFSMA4623584.85×10−116717≈ 4 ESMA4793413.54×10−123710≈ 7
表9 事后多重比较检验结果
Table 9 Results of post-HOC multiple comparison tests
对比算法CEC2017(Dim=50)CEC2017(Dim=100)CEC2021(Dim=20) PSOTRUETRUETRUE GWOTRUETRUETRUE SSATRUETRUETRUE WOATRUETRUETRUE GATRUETRUETRUE DETRUETRUETRUE CMA-ESTRUETRUETRUE IGWOTRUETRUETRUE EAGDETRUETRUETRUE LSHADETRUETRUEFALSE iLSHADETRUETRUEFALSE JSOTRUETRUETRUE ELSHADESPACMATRUETRUEFALSE AGSKTRUETRUETRUE EBLSHADETRUETRUETRUE SMATRUETRUETRUE AOSMATRUETRUEFALSE BTSMATRUETRUETRUE CNMSMATRUETRUETRUE COSMATRUETRUEFALSE DASMATRUETRUETRUE DFSMATRUETRUEFALSE ESMATRUETRUEFALSE
图 9 直观地描绘了 TDM 的电路拓扑图。TDM共包含 9 个参数, 其输出电流由下式确定:
(25)
其中, Ipv 是光生电流; IDi (i∈[1, 2, 3])是第 i 个二极管反向饱和电流; V 表示输出电压; Rs 表示串联电阻; Rp 表示并联电阻; q 是电子电荷, 其常量数值为1.602164×10–19C; k 是常数, 其数值为 1.38065×10–23J/K; T 是开尔文温度; ai (i∈[1, 2, 3])是第 i个二极管理想参数因子。上述参数的定义域如表 10 所示。
图9 TDM电路拓扑图
Fig. 9 Circult figure of TDM
本文使用均方根误差(root mean squared error, RMSE)来量化测量电流与模拟电流之间的差异:
(26)
表10 TDM参数定义域
Table 10 Domain of TDM parameters
参数定义域 最小值最大值 Ipv(A)01 Rs(Ω)00.5 Rp(Ω)0100 ID1, ID2, ID3 (μA)01 a1, a2, a312
表 11 给出所有算法在 TDM 模型上的优化结果。可以看出 SMAGA 取得最好的优化精度。为进一步观察 SMAGA 识别参数的准确性, 使用 SM-AGA 优化获得的参数来表示 TDM 光伏模型的 I-V和 P-V 特性, 结果如图 10 所示。可以看出, 利用SMAGA 获得的参数模拟的数据与实验数据高度 匹配。
元启发式算法是求解现实世界中高度复杂优化问题的一类有效手段。然而, 基本的优化算法通常存在一些缺陷导致算法性能较差, 例如收敛速度慢、易陷入局部最优、勘探阶段与开发阶段不平衡。为克服上述缺陷, 本文提出一种基于空间衰减自扩散机制的黏菌遗传混合算法(SMAGA), 首先利用遗传算法作为算法框架, 改进并提出一种基于正负反馈特性振荡模式和随机游走特性收缩模式的交叉算子。然后, 提出一种基于空间衰减的自扩散机制作为算法的变异算子。最后, 提出一种判别式控制策略以进一步发挥遗传算法隐并行性的特点, 可以根据群体适应度的分布偏差自适应调整算法的参数, 进而平衡算法的勘探能力和开发能力。本文的主要目的是提供尽可能独立于问题本质的黑盒优化模型, 因此, 本文选择 IEEE 进化计算大会建议的IEEE CEC2017 和 IEEE CEC2021 两项测试套件进行实验。这些套件模拟现实世界中高度复杂的问题, 其中包含最复杂功能模型的数学特征, 还包含许多无偏置且复杂的测试实例, 可以避免简单模式引起的加速搜索行为。为了全面验证算法的性能, 本文依次进行对比实验、伸缩性分析和统计检验等实验。实验结果表明, 与其他 23 种对比算法相比, 所提出的 SMAGA 取得有竞争力的表现。为进一步提升算法的性能以适应于更加复杂的优化问题, 在未来的工作中, 我们将进一步增强所提出算法的参数控制方案以及算法逃逸鞍点的能力, 并将其应用于其他具有挑战性的工作任务, 例如深度学习网络的超参数优化。
表11 TDM光伏模型参数辨识结果
Table 11 Parameters identification of TDM model
算法 Ipv/AID1/μARs/ΩRp/Ωα1ID2/μAα2ID3/μAα3RMSE SMAGA7.6078×10−17.4935×10−73.6740×10−25.5485×1012.0000×1009.0955×10−181.5056×1002.2597×10−71.4510×1009.8248×10−4 PSO8.3680×10−10.0000×1000.0000×1001.1488×1002.0000×1000.0000×1002.0000×1000.0000×1002.0000×1002.2286×10−1 GWO7.6591×10−10.0000×1001.3812×10−21.0000×1021.5064×1000.0000×1001.4585×1001.4029×10−51.9945×1009.3359×10−3 SSA8.3171×10−17.6400×10−81.2184×10−21.5372×1001.3973×1000.0000×1001.9336×1000.0000×1001.9799×1001.1279×10−1 WOA7.6554×10−10.0000×1001.5910×10−29.9998×1011.9374×1001.1044×10−51.9514×1000.0000×1001.9998×1008.6353×10−3 GA7.5009×10−10.0000×1003.5099×10−25.1094×1011.4168×1008.5248×10−81.3550×1000.0000×1001.9988×1002.1803×10−2 DE8.3682×10−10.0000×1000.0000×1001.1489×1002.0000×1000.0000×1001.0000×1000.0000×1001.0000×1002.2286×10−1 CMA-ES8.2050×10−10.0000×1005.6672×10−25.9734×1001.8619×1000.0000×1001.3398×1006.1102×10−91.1666×1003.6278×10−2 IGWO7.6003×10−10.0000×1003.4312×10−29.8138×1011.2432×1005.6021×10−71.5386×1000.0000×1001.6495×1001.5280×10−3 EAGDE8.3682×10−10.0000×1000.0000×1001.1489×1001.0254×1000.0000×1001.0083×1000.0000×1001.0062×1002.2286×10−1 LSHADE7.6077×10−13.0152×10−73.6537×10−25.4826×1011.9011×1002.6036×10−71.4636×1003.6399×10−82.0000×1009.8401×10−4 JSO7.6078×10−13.0884×10−73.6565×10−25.4558×1011.8872×1002.5767×10−71.4629×1001.7595×10−101.4006×1009.8406×10−4 ELSHADE-SPACMA7.6078×10−11.8667×10−133.6377×10−25.3720×1011.2629×1003.2165×10−71.4813×1001.4307×10−91.4541×1009.8602×10−4 AGSK8.3682×10−10.0000×1000.0000×1001.1489×1001.0000×1000.0000×1001.1785×1000.0000×1001.0000×1002.2286×10−1 EBLSHADE7.6078×10−19.4141×10−193.6740×10−25.5485×1011.7586×1002.2597×10−71.4510×1007.4935×10−72.0000×1009.8248×10−4 SMA7.6298×10−10.0000×1002.8254×10−26.8963×1011.5342×1001.4502×10−62.0000×1001.1923×10−61.6390×1004.1007×10−3 AOSMA7.6438×10−10.0000×1004.8065×10−21.7621×1011.1445×1000.0000×1001.1642×1007.0500×10−91.1756×1006.9074×10−3 BTSMA8.4909×10−19.5815×10−110.0000×1001.1641×1001.0000×1000.0000×1001.0001×1000.0000×1001.0000×1001.5013×10−1 CNMSMA7.6268×10−12.7379×10−73.5225×10−23.4541×1011.4662×1002.9030×10−121.0069×1000.0000×1001.2061×1003.4545×10−3 COSMA7.5805×10−10.0000×1004.2532×10−25.7925×1011.1515×1005.7956×10−111.7899×1007.1042×10−81.3422×1003.7811×10−3 DASMA7.6379×10−16.1249×10−62.0076×10−29.7567×1011.8532×1000.0000×1001.0029×1002.8710×10−151.9987×1007.0101×10−3 DFSMA7.6309×10−10.0000×1004.9327×10−21.8599×1011.1077×1008.3736×10−201.1531×1004.6350×10−91.1494×1007.5030×10−3 ESMA7.6250×10−14.2466×10−103.2518×10−28.3542×1011.0952×1000.0000×1001.0612×1002.8232×10−61.7751×1003.9495×10−3
图10 SMAGA提取参数在三二极管光伏模型的输出特性
Fig. 10 Output characteristics of SMAGA’s extracted parameter on TDM
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A Hybrid Slime Mould Genetic Algorithm Based on Spatial Attenuation Self-diffusion Mechanism
Abstract According to the imbalance between exploration and exploitation, susceptibility to local optima, and low search efficiency of metaheuristic algorithms, a hybrid slime mould genetic algorithm based on spatial attenuation self-diffusion mechanism if presented. The algorithm uses genetic algorithm as the basic structure, and guides individuals to search in the solution space by recombining features through three operations: selection, crossover, and mutation. Firstly, it introduces oscillation-contraction mechanism with characteristics of both positive-negative feedback and random walking as crossover operators to enhance both global and local search capabilities. Secondly, a self-diffusion mechanism based on spatial decay is proposed as a mutation operator. This mechanism guides the diffusion motion using a spatial scale which decreases over the algorithm's lifecycle, promoting diversity in the early stages and effective exploration of neighborhood information in the later stages. Finally, a discriminative control strategy is introduced to adaptively adjust the algorithm's parameters based on the distribution deviation of the population fitness. This strategy helps balance the exploration and exploitation capabilities of the algorithm. To validate the algorithm's performance, experiments are conducted on two publicly available benchmark test sets: IEEE CEC2017 and IEEE CEC2021. The results demonstrate that the proposed algorithm effectively balances exploration and exploitation capabilities and exhibits superior optimization performance compared with other 23 different types of algorithms.
Key words slime mould algorithm; genetic algorithm; oscillation contraction; random walk; self-diffusion; hybrid algorithm