在分析动力学中, 物体之间的相互作用通过力和约束这两个基本元素来表达^[1]。基于各类力学基本原理, 通过分析系统的能量函数(动能、势能、内/外力所做的功等), 或者对具有特定物理意义的泛函进行变分运算, 形成具有统一格式的动力学建模范式。这一理论框架充分利用约束力不做功的性质, 极大地简化了模型的复杂性, 并且给深刻揭示自然规律以及发展对应的数学理论带来重要的影响。

回顾分析动力学的发展历史, 容易发现其理论体系的建立与对约束性质的讨论紧密相关。早期建立的d’Almbert-Lagrange Principle (DLP)主要处理一类只包含几何约束的力学系统^[2]。Hertz^[3]首次认识到, 特定条件下的相互作用需要定义在速度或加速度水平上的非完整约束方程来表示。围绕非完整系统, 分析动力学形成了各种各样的基本理论和方法。这些理论和方法存在细微差异, 并在不同程度上影响着非完整力学理论的完备性^[4-5]。

系统地梳理200多年来分析动力学所取得的丰硕成果并非易事, 关于分析动力学发展史较为系统的描述可以参阅文献[5-10]及其所引用文献。大体上, 分析动力学理论体系的建立主要基于如下力学原理:

1) DLP原理。在处理静力学问题的虚功(虚位移)原理(Bernoulli原理)基础上, 结合d’Almebert动力学普遍方程, DLP原理建立了受约束力学系统的分析基础。对完整约束系统来说, DLP不仅实现了降低动力学方程维数的目的, 而且能够利用乘子理论, 有效地表征与约束方程对应的约束力。但是, 当将DLP拓展应用到非完整系统时, 对如何理解非完整约束导致的虚位移限制^[1]以及Lagrange乘子与实际约束力之间的关系^[11], 仍然存在诸多需要释疑的地方^[12-13]。

2) Gauss原理^[14]和Jourdain原理^[15]。这两类原理拓展了静力学中关于虚位移的定义, 分别将虚变更定义为虚加速度和虚速度, 使得动力学分析不是分析系统的虚功, 而是通过分析加速度能量(Gibss函数)和虚功率, 建立系统的动力学方程。这两类原理可以不加区分地统一处理完整和非完整力学系统。

3) Hamilton原理^[16]。该原理的基本思想是将力学系统的动力学演化过程, 归纳为寻求某个积分作用量满足极值条件的动态优化问题。但是, 应用Hamilton原理处理非完整约束系统时, 发现变分非完整系统动力学(Vakonomic方程^[17])并不能与基于DLP所得到的动力学方程相协调^{[4-5, 18]}。

随着现代微分几何理论的发展, 李群、流形、射丛和拓扑等现代数学概念广泛应用于非完整系统运动方程的几何分析中^[19-20]。虽然这些理论丰富了非完整系统动力学的研究内涵, 但其应用范围仍然局限于传统描述方法能够完全涵盖的非完整系统。因此, 本文只针对各类经典非完整动力学方程进行讨论, 期望梳理各类方程建立的条件及其内在联系, 为非完整系统动力学建模分析和控制提供指导作用。

1 约束的基本类型与虚位移限制方程

作为描述物体之间相互作用的基本要素之一, 约束表现为多种不同的数学形式。我们限定约束方程是关于构型空间或相空间中的连续函数, 时间t是约束方程的独立变量。这一限定源于约束的本质在于对物体之间相对运动的限制, 因此, 高于一阶的微分约束方程通常不会出现在力学系统的约束描述中。

在讨论约束类型之前, 需要对理想约束的概念予以澄清。

Goldstein^[13]在其教科书中写到: “This [total work done by forces of constraint equal to zero] is no longer true if sliding friction is present, and we must exclude such systems from our [Lagrangian] formu-lations”。类似的描述也可在Pars^[12]的经典分析动力学教科书中发现: “There are in fact systems for which the principle enunciated [D’Alembert’s Principle] … does not hold. But such system will not be considered in this book”。

以上经典教科书对理想约束概念的解释, 在一定程度上混淆了约束方程与物体真实相互作用之间的差异。事实上, 当考虑到摩擦、材料黏性等非理想因素时, 部分相互作用不能被所定义的约束方程涵盖, 这时需要将约束之外的相互作用与特定物理规律紧密关联。对包含摩擦相互作用的界面, 给定的约束方程只是限定了法向相互作用满足约束的性质, 对界面的切向作用并没有给出相应的限制。这时, 不能将滑动摩擦归结为法向约束所定义的范畴, 需要通过嵌入恰当的摩擦定律, 给出法向约束力与切向摩擦力之间的关联效应。在这个意义上, 一旦给定系统运动应满足的约束方程, 如同主动力所做的虚功为零一样, 约束力对应的虚功同样为零。主动力与约束力的区别在于, 主动力具有明确的力函数关系, 而约束力需要与所规定的约束运动相协调。

约束的引入在很大程度上降低了系统动力学模型的复杂性, 根据约束方程的数学性质, 约束主要分为构型约束和速度约束。在构型空间中, 约束方程表现为以下两种基本类型:

$ f({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;\;{q_n}) = 0, $

(1)

$ f({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;\;{q_n}, \;\;t) = 0, $

(2)

其中, 方程(1)为时不变构型约束, 方程(2)为时变的构型约束, (q₁, q₂, …, q_n)为能够完全描述系统构型的广义坐标。

在相空间中, 约束方程为关于广义坐标的一阶微分形式:

$ g = {A_i}(q, \;t){\dot q_i} = 0, $

(3)

$ g = {A_i}(q, \;t){\dot q_i} + B(q, \;t) = 0, $

(4)

$ g = \varphi ({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;{q_n}, \;\;{\dot q_1}, \;\;{\dot q_2}, \;\;..., \;{\dot q_n}, \;\;t) = 0。 $

(5)

方程(3)和(4)分别表示一阶线性齐次和线性非齐次约束方程。以上两种类型统称为Pfaff型约束。根据Frobenius定理^[1]可以判定Pfaff型约束的完整性, 即判定表达为相空间内的一阶线性速度约束是否存在对应的构型约束。如果一阶线性齐次约束方程存在对应的完全可积形式, 则这类微分约束为完整约束; 否则, 该微分约束为非完整约束。经典力学中由物体相互接触引起的速度约束大都属于Pfaff型, 但并不排除由于系统约束冗余等因素导致的如方程(5)所示的一阶非线性速度约束。同样, 在满足一定数学条件下, 一组非线性约束组也可能呈现不同的大范围性质^[21-22]。

围绕以上不同的约束类型, 人们所关注的是这些约束如何引发构型空间中虚位移的限制方程。这里, 首先明确经典教科书中关于可能位移和虚位移的定义^[23]。

可能位移  满足约束方程无穷小位移。

虚位移  任意两个可能位移之差。

对于方程(1)和(2)所示的定常和时变构型约束, 其对应的虚位移限制方程可以直接转换为对该约束方程的等时变分运算。采用符号δ替换微分算符d来区分虚位移与实际位移, 由方程(1)和(2)可得到如下统一的虚位移限制方程:

$ \frac{{\partial f({q_1}, \;{q_2}, \; \cdots, \;{q_n})}}{{\partial {q_i}}}{\rm{\delta }}{q_i} = 0\;\;\;\;(i = 1, \;..., \;n), $

(6)

上式中的重复下标表示爱因斯坦求和约定, 该规则适应于以下所有的表达式。

对构型约束进行变分运算得到的虚位移限制方程的方法, 并不能自然地推广到表达在相空间中的速度约束方程中。例如, 对方程(3)所示的约束方程采用符合微分运算法则的变分运算, 可以得到

$ \frac{{\partial {A_i}(q, \;t)}}{{\partial {q_j}}}{\dot q_i}{\rm{\delta }}{q_j} + {A_i}(q, \;t){\rm{\delta }}{\dot q_i} = 0。 $

(7)

容易发现, 如果方程(3)所示的一阶约束方程具有可积性, 则方程(7)中左端第一项系数必定为零。方程(7)退化为$ {A_i}(q, \;t){\rm{\delta }}{\dot q_i} = 0 $, 并可采用dq_i替换$ {\rm{\delta }}{\dot q_i} $表示虚位移限制方程。当方程(3)为非可积一阶约束时, 对应的变分表达式(方程(7))不能给出有效的虚位移限制方程, 并由此引发是否能够在非完整约束方程上进行变分运算的讨论^[24-27]。事实上, 以上讨论主要源于人们对虚位移概念的模糊理解。

陈滨^[1]注意到约束的局部微变性质, 对可能位移和虚位移的概念给出新的定义。

可能位移  在给定时刻、给定位型、给定时间微变间隔下, 满足约束方程的位移。

虚位移  在同一时刻、同一位型、且在相同时间间隔内完成的可能位移之差。

以上虚位移概念涉及微变时间间隔内的微小位移之差。因此, 当确定由约束方程所带来的虚位移限制时, 需要首先对约束方程求关于时间的导数, 进而确定在dt趋于零时, 由约束方程带来的微小位移的变化。显然, 如果对完整约束(1)和(2)求关于时间的导数, 然后遵循以上虚位移的定义, 可得到满足式(6)的虚位移限制方程。对Pfaff型一阶线性约束来说, 基于新的虚位移概念, 对应的虚位移限制方程为

$ {A_i}(q, \;t){\rm{\delta }}{q_i} = 0。 $

(8)

对一阶线性非完整约束来说, 方程(8)与Ferrers^[28]提出的虚位移限制方程一致。对一般的一阶约束来说, 虚位移限制方程应满足下式^[29]:

$ \frac{{\partial \varphi ({q_1}, \;{q_2}, \; \cdots, \;{q_n}, \;{{\dot q}_1}, \;{{\dot q}_2}, \; \cdots, \;{{\dot q}_n}, \;t)}}{{\partial {{\dot q}_i}}}{\rm{\delta }}{q_i} = 0, $

(9)

该方程对应于经典力学中的Chetaev条件^[30]。Kir-getov^[31]将一般非线性速度约束映射到加速度水平上, 证明了Chetaev条件的合理性。式(6), (8)和(9)说明, 无论完整约束还是一阶非完整约束, 约束所导致的虚位移限制方程总是定义在一个微变的线性空间中。该微变特性源于“在微变时间间隔dt内所导致的可能位移之差”^[1], 并可以通过先求出约束方程关于时间的微分, 将虚位移限制方程表达在关于广义坐标的最高阶微分上。

采用类似的概念, Li等^[29]将虚位移定义为速度确定(velocity-determined)的虚位移, 分析了具有一阶非线性非完整约束的Apell-Hamel系统, 发现基于Chetaev非完整系统动力学方程能够与基于Newton定律的矢量力学结果一致, 说明基于一阶线性约束的Chetaev虚位移限制方程适应于一阶非线性非完整约束。Flannery^[5]采用类似文献[1]的方法, 系统讨论一阶非完整约束诱导的虚位移限制方程, 并证明了Chetaev虚位移限制方程的合理性。Udwadia等^[32]对虚位移的概念给出新的解释, 并从另一个侧面解释了Chetaev虚位移限制方程适应于一般的一阶非线性非完整约束方程。事实上, 以上结论均可以在文献[1]中得到更加严格的说明。

2 以DLP为基础的各类非完整系统动力学方程

对N个质点组成的系统, DLP原理^{[1, 33]}表达为如下形式:

$ \mathop \sum \limits_{i = 1}^N ({m_i}{\mathit{\boldsymbol{r}}_i}-{\mathit{\boldsymbol{F}}_i}) \cdot {\rm{ \mathsf{ δ} }}{\mathit{\boldsymbol{r}}_i} = 0, $

(10)

其中, δr_i为质点i的虚位移, m_ir_i为质点i的惯性力, F_i为质点i受到的主动力。DLP原理表征系统动力学过程的演化, 满足惯性力和质点受到的力所做的虚功和为零的条件。

从DLP原理出发, 将N质点系统嵌入构型约束后, 系统的构型可以用一组独立的广义坐标[q₁, q₂, …, q_n] (n≤3N)充分表示。将质点的受力分解为主动力和约束力, 并考虑约束力不做功的性质, 可得到Lagrange力学的基本方程:

$ \left[{\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial T}}{{\partial {q_j}}}-{Q_j}} \right]{\rm{\delta }}{q_j} = 0\;\;\;(j = 1, \;..., \;n), $

(11)

其中, T为系统的动能, Q_j为广义力。

式(11)不要求虚位移坐标是独立的, 因此, 允许系统在该q-空间中受到其他完整约束或非完整约束。一旦给定这些约束带来的虚位移限制方程, 结合式(11), 可通过以下两类方法建立系统动力学方程: 1) 利用乘子理论, 结合虚位移限制方程, 形成增广的动力学方程(方程的维数高于系统独立坐标的数目); 2) 将完整或非完整约束嵌入到动能表达式中, 形成不包含乘子的降维动力学模型。

2.1 基于乘子理论的动力学方程

假设系统受到m个式(4)所示的Pfaff型一阶约束, 以及k个如式(5)所示的一般一阶约束。假设虚位移限制方程分别满足式(8)和(9), 引入Lagrange乘子, 并考虑虚位移的独立性, 于是, 方程(11)退化为下式^{[1, 31]}:

$ \begin{array}{l} \;\;\;\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial T}}{{\partial {q_j}}}-{Q_j}-\mathop \sum \limits_{r = 1}^m {\lambda _r}A_j^r(q, \;t) - \mathop {\sum \;}\limits_{v = 1}^k {\mu _v}\frac{{\partial {\varphi ^v}}}{{\partial {{\dot q}_j}}}\\ = 0\;\;\;\;(j = 1, \;..., \;n)\;。 \end{array} $

(12)

方程(12)是包含(n+m+k)个独立变量的n个二阶微分方程组。结合(m+k)个一阶线性和非线性微分方程组, 利用初始条件, 可以确定系统的动力学状态以及(m+k)个Lagrange乘子。

基于乘子理论的DLP方程具有如下特点^[34]。

1) 动力学方程的维数由广义坐标所确定的构型空间的维数n扩展到(n+m+k)维。

2) 可以得到额外(m+k)个Lagrange乘子的信息。

3) 对一阶约束方程求一次关于时间的导数, 并通过代数运算, 可以消去乘子, 得到n维的动力学二阶动力学方程。

2.2 非完整动力学方程的约化

在分析动力学理论发展中, 人们期望得到最约化的动力学方程。虽然这类系统动力学方程在具体实现方式上存在很大不同, 但基本思路相同, 即如何将一阶约束方程嵌入到系统的动能表达式中, 从而达到不包含任何乘子, 并使系统动力学方程的维数为最小的目的。在约化非完整动力学时, 曾经出现著名的Lindelöf错误^[35]。该错误主要是直接将速度约束嵌入到动能表达式, 并继续沿用Lagrange第二类方程推导系统的动力学方程。梅凤翔^[36]对Lindelöf错误在分析动力学发展中所起的作用给出了系统的阐述。

源于对线性速度约束应具有线性虚位移限制条件的理解, Maggi^[37-38]提出基于DLP原理建立一阶线性非完整系统动力学方程的基本思路, 该方法在文献[9]中得到系统阐述。基本思路如下:对于式(11)所表示的Lagrange基本方程, 当该系统受到h个一阶线性非完整约束时, Maggi认为可以选择m(=n-h)个独立的虚位移来完整地表述虚位移空间。假设q-空间中的虚位移与m个独立的虚位移之间满足如下的线性关系:

$ {\rm{\delta }}\;{q_j} = {M_{ji}}{\rm{\delta }}{\varepsilon _i}\;\;(i = 1, \;..., \;m\;j = 1, \;..., \;n)。 $

将上式代入式(11), 并考虑δε_i的独立性, 可得到Maggi方程:

$ \left[{\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial T}}{{\partial {q_j}}}-{Q_j}} \right]{M_{ji}} = 0\;\;\;(i = 1, \;..., \;m;\;j = 1, \;..., \;n)。 $

(13)

利用Maggi方程约化非完整动力学方程时, 经典分析动力学理论针对一些特殊的一阶线性约束系统, 得到一系列特殊的方程形式。最典型的是Chaplygin系统^[39-41], 该系统规定非完整约束具有以下一阶线性齐次形式:

$ {\dot q_j} = {B_{ji}}{\dot q_i}\;\;(i = 1, \;..., \;m;\;j = m + 1, \;..., \;n)。 $

(14)

在以上约束方程的限制下, 选择前m个广义坐标构造独立的虚位移空间: δδ_i=δq_i (i=1, m)。Chaplygin对系统做出进一步的限定: 1) 速度约束方程中对应${\dot q_j}$的广义坐标q_j为循环坐标; 2) 系数B_ji不包含循环坐标变量和时间t。

在以上假设条件的基础上, 将约束方程(14)嵌入到系统的动能表达式中, 得到动能函数:

$ {T^*} = {T^*}({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;{q_m}, \;\;{\dot q_1}, \;\;{\dot q_2}, \;\;..., \;{\dot q_m}, \;\;t)。 $

利用Maggi方程(13), 结合动能T与T^*之间的显式关系, 得到不包含乘子, 并使约化系统具有m维的Chaplygin方程:

$ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial {T^*}}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial {T^*}}}{{\partial {q_j}}} + \mathop \sum \limits_{v = 1}^{n-m} \mathop \sum \limits_{l = 1}^m \frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_{m + v}}}}\left( {\frac{{\partial {B_{m + v, l}}}}{{\partial {q_j}}}-\frac{{\partial {B_{m + v, l}}}}{{\partial {q_l}}}} \right){{\dot q}_l}\\ = {Q_j}\;。 \end{array} $

(15)

按照类似的思路, 针对其他类型的一阶线性约束和一阶非线性约束, 可以得到Woronetz方程^[42]及其推广形式。类似地, 引入准坐标和准速度的概念, 从Maggi方程出发, 得到具有约化形式的Boltzmann-Hamel (B-H)方程^[43-44]。与Chaplygin方程(15)不同, Woronetz方程和B-H方程虽然不再引入Lagrange乘子, 但必须与非完整约束联立, 才能完整地表达系统的动力学过程^[45]。

基于Maggi方程建立的各类约化系统动力学模型丢失了约束力的信息。为克服这一困难, Papastavridis^[46]和Kurdila等^[47]讨论如何从Maggi方程出发, 得到约束方程对应的约束力。

约化非完整系统动力学方程的另外一条途径是基于Lagrange-Volterra方程^[48-49]。假设n维q-空间的广义速度可以用(m=n-v)个独立的准速度${{\rm{\dot \pi }}_j}$表示, 约束嵌入后的动能表达式为$ {T^*}({q_1}, \;{q_2}, \;...., \;{q_n}, {{\dot \pi }_1}, \;{{\dot \pi }_2}, \;..., \;{{\dot \pi }_m}, \;t) $。非完整系统的Lagrange-Volterra方程为

$ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial {T^{\rm{*}}}}}{{\partial {{\dot \pi }_j}}}} \right)- \frac{{\partial {T^*}}}{{\partial {\pi _j}}} + \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \frac{{\partial {T^*}}}{{\partial {{\dot \pi }_i}}}\left[{\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {{\rm{\delta }}{\pi _j}} \right)-{\rm{\delta }}\left( {\frac{{{\rm{d}}{\pi _j}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)} \right] = {Q_j}\\ (i = 1, \;..., \;n;\;j = 1, \;..., \;m)。 \end{array} $

(16)

该方程需要对$\frac{{\partial {T^*}}}{{\partial {\pi _j}}}$给出专门的定义, 同时需求出对准坐标虚位移的d-δ的交换差。该交换差与约束方程的数学性质紧密相关, 并可统一地表示为

$ \begin{array}{l} \left[{\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}({\rm{\delta }}{\pi _j})-{\rm{\delta }}\left( {\frac{{{\rm{d}}{\pi _j}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)} \right] = \gamma _{jk}^i{{\dot \pi }_j}{\rm{\delta }}{\pi _k}\\ (i = 1, \;..., \;n;\;s, \;k = 1, \;..., \;m)。 \end{array} $

(17)

当一阶约束完全可积时, 系数γ_jkⁱ为零, 说明对完整系统来说, d-δ交换具有互易性。但对不可积的非完整约束来说, 系数γ_jkⁱ不为零, 说明将约束方程嵌入到动能时, 适应于完整约束的d-δ交换性将被破坏。

与从Maggi方程出发得到非完整系统约化方程的方法相比, Lagrange-Volterra方程并没有带来计算上的便利, 但是该方程充分展示了将非完整约束嵌入到动能表达式并对其进行变分运算时, 适用于完整系统虚位移的d-δ互易运算法则不再成立。

3 基于Guass原理和Jourdian原理的非完整动力学

不同于基于虚功概念的DLP原理, Gauss和Jourdian分别从最小拘束和虚功率的概念, 建立系统的动力学方程。

在理想约束假定下, Gauss认为由N个质点组成的力学系统, 其真实运动满足如下条件:

$ \min \{ Z\} = \min \left\{ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^N \frac{1}{{2{m_i}}}||{m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}-{\mathit{\boldsymbol{F}}_i}||\;_2^2} \right\}, $

(18)

其中, Z为拘束函数, $ {{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}} $为质点i的惯性力, F_i为质点受到的主动力。在变分意义上Gauss原理可以表现为

$ \Delta Z = \mathop \sum \limits_{i = 1}^N ({m_\mathit{\boldsymbol{i}}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}-{\mathit{\boldsymbol{F}}_i}) \cdot \Delta {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} = 0, $

(19)

上式中D表示对加速度的虚变分。

从Gauss原理出发, 非完整系统显式动力学方程主要是Gibbis-Appel方程^[50]。考虑n维q-空间中的非完整系统, 按照如下方式引入m个准速度:

$ {\dot \pi _j} = {A_{ij}}{\dot q_i} + {B_j}\;\;(i = 1, \;..., \;n;\;j = 1, \;..., \;m, \;m < n)。 $

在准坐标下, Gibbis定义如下的加速度能量函数:

$ S = \frac{1}{2}\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {m_i}({{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}) = S({{\ddot \pi }_1}, \; \ldots, \;{{\ddot \pi }_m}, \;{{\dot \pi }_1}, \ldots, \;{{\dot \pi }_m}, \;{q_1}, \; \ldots, \;{q_n}, \;t)。 $

(20)

注意到

$ \mathop \sum \limits_{i = 1}^N ({m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}) \cdot \Delta {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} = \frac{{\partial S}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j}, $

并且

$ \mathop \sum \limits_{{\rm{i}} = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} \cdot \Delta {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} = \mathop \sum \limits_{{\rm{i}} = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{F}}_i}{\rm{.}}\frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j} = \mathop \sum \limits_{j = 1}^m {P_j}\Delta {{\ddot \pi }_j}, $

其中,

$ {P_j} = \mathop \sum \limits_{{\rm{i}} = 1}^N {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} \cdot \frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}\;\;\;\;(j = 1, \;..., \;m)。 $

利用Gauss原理, 在准坐标空间内的Gibbis-Appell方程为

$ \frac{{\partial S}}{{\partial {{\ddot \pi }_{\rm{j}}}}} = {P_j}\;\;(j = 1, \;..., \;m)。 $

(21)

对完整系统或一阶非完整系统来说, Kane等^[51]发现系统的运动学总满足如下关系:

$ \frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}} = \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_i}}}{{\partial {{\dot \pi }_j}}}。 $

(22)

考虑以上关系, 则

$ \begin{array}{l} (-{m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}) \cdot \Delta {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} = (-{m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}) \cdot \frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j} = (-{m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_\mathit{\boldsymbol{i}}}) \cdot \frac{{\partial {r_i}}}{{\partial {{\dot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j}\\ = {{P'}_j}\Delta {{\ddot \pi }_j}\;\;\;\;(i = 1, \;..., \;N;\;j = 1, \;..., \;m), \end{array} $

(23)

同时,

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} \cdot \Delta {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} \cdot \frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j} = {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} \cdot \frac{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}}}{{\partial {{\dot \pi }_j}}}\Delta {{\ddot \pi }_j} = {P_j}\Delta {{\ddot \pi }_j}\\ (i = {\rm{1}}, \;..., \;N;\;j = {\rm{1}}, \;..., \;m)。 \end{array} $

(24)

将式(23)和(24)代入Gauss原理所表示的式(19)中, 并注意到准坐标的独立性, Kane方程可表示为

$ {P_j} + {P'_j} = 0\;\;\;\;(j = 1, \;..., \;m)。 $

(25)

比较式(21)和(25)容易发现, Gibbis-Appell方程与Kane方程具有完全等价的性质。这两组方程左、右端项分别对应惯性力和主动力在准坐标π_j定义的切向基向量的分量和。

Gibbis-Appell方程与Kane方程均从Gauss原理出发, 不需要引入任何乘子, 能够处理完整和非完整约束系统, 并得到系统的显式方程。Kane方程的优点在于避免了关于加速度能量函数的繁杂计算。但是, 以上两类方程不能提供关于约束力的任何信息^[52-53]。

20世纪90年代, Udwadia等^[54]从Gauss原理出发, 得到U-K方程, 并指出该方程不仅能够得到系统显式的动力学方程, 而且能够对相互作用力给出合理的度量。基本思路如下:假设在n维q-空间系统受到任意的c个完整或一阶非完整约束。在这些约束方程连续可微的条件下, 约束方程可表达为二阶线性微分约束:

$ \mathit{\boldsymbol{A}}(q, \;\dot q, \;t)\ddot q = \mathit{\boldsymbol{b}}(q, \;\dot q, \;t), $

(26)

其中, $ \mathit{\boldsymbol{A}}(q, \;\dot q, \;t) $为c×n矩阵, $ \mathit{\boldsymbol{b}}(q, \;\dot q, \;t) $为c维列矩阵。

将系统受力分解为广义主动力$ \mathit{\boldsymbol{Q}}(q, \;\dot q, \;t) $和广义约束力$ \mathit{\boldsymbol{Q}}_c(q, \;\dot q, \;t) $, 受约束系统的动力学方程为

$ \mathit{\boldsymbol{M}}(q, \;t)\ddot q = \mathit{\boldsymbol{Q}}(q, \;\dot q, \;t) + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_c}(q, \;\dot q, \;t), $

(27)

其中, M(q, t)为约束系统的质量矩阵。需要注意的是, 方程(27)在q-空间中将广义力直接分解为主动广义力和约束广义力的形式, 并不能保证界面接触约束处的滑动摩擦力的有效嵌入。姚文莉等^[55]对此给出合理的说明。

针对式(26)所示的二阶线性微分约束方程, 定义其满足如下的虚位移限制方程:

$ \mathit{\boldsymbol{A}}(q, \;\dot q, \;t)v = 0。 $

(28)

结合Moore-Penrose伪逆的数学概念, 系统的动力学方程在q-空间中可显式表示为

$ \mathit{\boldsymbol{M}}(q, \;t)\mathit{\boldsymbol{\ddot q}} = \mathit{\boldsymbol{Q}} + {\mathit{\boldsymbol{M}}^{\frac{1}{2}}}{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^{-\frac{1}{2}}}} \right)^ + }(\mathit{\boldsymbol{b}}-\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^{-1}}\mathit{\boldsymbol{Q}}), $

(29)

上角标+表示伪逆。对照式(27), 系统的广义约束力可显式表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_c} = {\mathit{\boldsymbol{M}}^{\frac{1}{2}}}{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^{-\frac{1}{2}}}} \right)^ + }(\mathit{\boldsymbol{b}}-\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^{-1}}\mathit{\boldsymbol{Q}})。 $

(30)

从以上过程中容易发现, U-K方程符合式(8)或(9)给定的虚位移限制方程, 只是采用矩阵伪逆的代数计算技巧, 将基于乘子的DLP方程中的Lagrange乘子显式表达出来。这一处理方法涉及繁杂的伪逆计算, 不能带来任何计算上的便利, 但可有效地应用于与轨迹规划等相关的控制问题^[56-57]。U-K方程^[54]对受约束运动提供了一个全新的解释:类似于一个自然选择的反馈控制器的作用, 完整和非完整约束起到限制约束运动加速度的作用。虽然这一解释有助于对Gauss原理的理解, 但是Barhorst^[58]认为U-K方程等价于基于DLP原理得到的约束动力学方程, Foster^[59]提供了有效的例子, 进一步诠释Barhorst的观点。

Jourdian原理是从惯性力和外力的虚功率的角度, 理解完整和非完整系统的动力学过程, 其定义如下:

$ \mathop \sum \limits_{i = 1}^N ({m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_i}-{\mathit{\boldsymbol{F}}_i}) \cdot {\Delta _J}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_i} = 0, $

(31)

其中$ {\Delta _J}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_i} $为关于速度的变分。从该原理出发, 通过约束嵌入的方式, 将对系统状态的描述表达在独立坐标上, 得到完整和非完整约束系统的显式方程。事实上, 基于Gauss原理的Kane方程, 可以更直接地从Jourdian原理去理解^[60]。

Gauss原理往往被认为是更具普适性的分析动力学的基本原理。也就是说, 从Gauss原理可以逻辑推演出Jordian原理和DLP原理。事实上, Gauss原理与Jordian原理的等价性可以从以下角度理解:当将任意质点对应的速度${\dot r_i}$和加速度${\ddot r_i}$映射到压缩的准坐标空间π_j时, Gauss原理和Jourdian原理意义下的变分分别为

${{\rm{\Delta }}_G}{\ddot r_i} = \frac{{\partial {{\ddot r}_i}}}{{\partial {{\ddot \pi }_j}}}{{\rm{\Delta }}_G}{\ddot \pi _j}, \;\;\;{{\rm{\Delta }}_J}{\dot r_i} = \frac{{\partial {{\dot r}_i}}}{{\partial {{\dot \pi }_j}}}{{\rm{\Delta }}_J}{\dot \pi _j}$

(32)

注意式(22)对任意的完整或一阶非完整系统总成立。Gauss原理可以自然地退化到Jourdian原理的形式。虽然这两类原理蕴含的物理本质明显不同, 但对满足式(22)所表征的力学系统来说, 它们完全等价。

DLP原理涉及对虚位移δr_i的定义。如果将虚位移定义为:在同一时刻、同一位型、且在相同时间间隔内完成的可能位移之差, 那么需要将系统所受到的约束方程(完整或非完整)先对时间微分运算, 然后确定满足约束方程的虚位移限制方程。基于以上虚位移定义建立的DLP原理, 与Gauss原理和Jourdian原理具有完全等价的形式。但是, 当将虚位移的定义限定在构型空间约束方程所允许的位移(即采用Bernoulli处理静力学问题时建立的虚位移)时, 从DLP原理出发建立的非完整系统动力学方程需要正确考虑d-δ交换差。关于各类微分变分原理及其建立的各类方程的等价性讨论, 可参考文献[61-62]。

4 Hamilton原理

Hamilton原理针对理想、完整、有势的力学系统, 将系统的动力学过程表达为某一积分作用量取驻值的变分问题。具体表达为

$\delta \mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} L({q_1}, \; \ldots, \;{q_n}, \;{\dot q_1}, \; \ldots, \;{\dot q_n}, \;t){\rm{d}}t = 0, $

(33)

其中, $L({q_1}, \; \ldots, \;{q_n}, \;{\dot q_1}, \; \ldots, \;{\dot q_n}, \;t)$为q-空间中系统的Lagrange函数。

Hamilton原理可有效地拓展到受完整约束的力学系统, 将式(33)转换为条件变分问题, 并得到从DLP原理出发, 包含Lagrange乘子的动力学方程的等价形式^[4]。设系统受到如下的完整约束:

${f^r}({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;\;{q_n}, \;\;t) = 0\;\;\;\;\;(r = 1, \;..., \;s), $

(34)

引入Lagrange乘子, 将约束方程嵌入到被积分作用量中, 则方程(33)变为

$ \begin{array}{l} {\rm{\delta }}\mathop {\;\smallint }\limits_{{t_1}}^{{t_2}} (L({q_1}, \; \ldots, \;{q_n}, \;{{\dot q}_1}, \; \ldots, \;{{\dot q}_n}, \;t) + \\ \mathop \sum \limits_{r = 1}^s {\lambda _r}{f^r}({q_1}, \;{q_2}, \; \cdots, \;{q_n}, \;t)){\rm{d}}t\\ = 0。 \end{array} $

(35)

根据满足d-δ互易规则的变分运算, 从式(35)可以得到包含乘子和约束方程的动力学方程:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial L}}{{\partial {q_j}}} + \mathop \sum \limits_{r = 1}^s {\lambda _r}\frac{{\partial {f^r}}}{{\partial {q_j}}} = 0\;\;(j = 1, \;..., \;n), }\\ {{f^r}({q_1}, \;\;{q_2}, \;\;..., \;{q_n}, \;t) = 0\;\;(r = 1, \;..., \;s)。\;} \end{array}} \right. $

(36)

容易发现, 方程(36)与基于DLP得到的包含乘子的完整约束系统的动力学方程完全等价。Kozlov^[63]直观地认为该积分变分原理同样适应于非完整动力学, 并得到一组完全不同的动力学方程, 称之为变分非完整系统或Vakonomic方程。

设系统受到s个如式(3)所示的Pfaff型一阶齐次线性约束组:

$A_i^r(q){\dot q_i} = 0\;\;(r = 1, \;..., \;s;\;\;i = 1, \;..., \;n), $

(37)

Kozlov将非完整系统系统归结为对如下作用量的条件变分问题:

$ \begin{array}{l} {\rm{\delta }}\;\mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} (L({q_1}, \; \ldots, \;{q_n}, \;{{\dot q}_1}, \; \ldots, \;{{\dot q}_n}, \;t) + \mathop \sum \limits_{r = 1}^s {\lambda _r}(A_i^r(q){{\dot q}_i})){\rm{d}}t\\ = 0。 \end{array} $

(38)

根据满足d-δ互易规则的变分运算, 从式(38)可以得到包含乘子和约束方程的动力学方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_j}}}} \right)-\frac{{\partial L}}{{\partial {q_j}}} + {{\dot \lambda }_r}A_j^r + {\lambda _r}\left( {\frac{{\partial A_j^r}}{{\partial {q_k}}}{{\dot q}_k}-\frac{{\partial A_k^r}}{{\partial {q_j}}}{{\dot q}_k}} \right) = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(j, \;\;k = 1, \;..., \;n;\;r = 1, \;..., \;s), \\ A_i^r(q){{\dot q}_i} = 0\;\;\;(r = 1, \;..., \;s)。 \end{array} \right. $

(39)

上式表明, 只有当条件

$ \frac{{\partial A_j^r}}{{\partial {q_k}}} = \frac{{\partial A_k^r}}{{\partial {q_j}}}, $

成立时, 方程(39)能够与基于DLP原理得到的乘子方程相一致, 否则, Vakonomic方程不能得到与DLP方程一致的结果。

本质上, Vakonomic方程源于对包含非完整约束的广义Hamilton积分作用量进行了满足d-δ互易法则的变分运算。如同著名的Lindelof错误, Kozlov^[63]错误地将非完整约束直接嵌入到积分作用量的变分运算, 必然导致错误的动力学方程。

为使积分形式的变分原理适应于非完整系统, 出现对变分运算规则的讨论^[64-65], 如Hölder变分法则^[66]、Suslov变分法则^[45]以及Kozlov采用的Vakonomic变分等。Hölder变分规定对约束方程的变分满足Chetaev条件, 即, 不能直接对约束方程进行变分运算, 在此基础上, 才允许d-δ互易法则应用到积分形式的变分原理中。Suslov变分允许约束方程嵌入到积分形式的变分原理, 即可以对约束方程进行变分运算, 但需要定义对应的d-δ交换差。Vakonomic变分在允许约束方程嵌入到积分形式的变分原理的同时, 要求d-δ互易法则同时成立。无论Hölder变分法则或Suslov变分, 都考虑了非完整约束特有的不可积性质, 因此, 可得到正确的动力学方程。然而, Vakonomic变分不加区分地处理完整和非完整系统动力学方程, 必然导致错误的动力学方程。如同Lindelof错误促使人们深入认识非完整系统的Lagrange力学一样, 错误的Vakonomic力学使人们认识到积分形式的Hamilton原理并不适用于非完整系统。也就是说, 受非完整约束的力学系统, 其动力学演化过程并不遵从Lagrange积分作用量取驻值的条件^[65]。

5 讨论

自1788年Lagrange创立分析动力学以来, 200多年的发展极大地丰富了分析动力学的研究内涵。由于分析非完整系统的角度不同, 出现了多种多样的理论和方法。这些理论和方法大部分是协调兼容的, 但源于对虚位移概念理解上的差异, 也出现一些不协调的方法, 如Vakonomic方程。陈滨^[1]关于虚位移微变空间的深刻理解, 合理地解释了导致这些不协调性的原因。

本文系统梳理了基于DLP, Gauss, Jourdian, Hamilton等不同力学原理建立的各类非完整系统动力学方程, 比较了各类方程的特点。这些方程都是从最一般的力学原理出发, 通过讨论具有一般形式的完整和非完整约束, 揭示其动力学的内在演化规律, 因此都具有普适性。在分析具体的机械系统中的非完整力学问题时, 以下几点值得重视。

1) 如同表征物体相互作用的力函数具有丰富的本构特征方程一样, 分析力学中表征物体相互作用的另一基本要素--约束, 同样也具有丰富的表现形式。从分析物体之间相互作用的物理性质出发, 理解约束方程的表现形式是值得关注的内容。

2) 约束一定是理想的。一旦给定了物体之间相对运动的规律, 对应的约束力虚功一定为零, 因为约束力的本质代表物体满足相对运动规律的一对相互作用力。非光滑界面处的摩擦力, 只是不受约束方程限制的切向相对运动导致的必然结果。因此, 接触界面上的滑动摩擦力不能归结为给定运动约束方程导致的必然结果。

3) 基于不同原理得到的各类非完整系统约化动力学方程, 虽然达到降低系统维数的目的, 但同时也导致了关于约束力信息的丢失。基于DLP建立包含乘子的Lagrange一般方程, 为分析接触约束的真实作用力提供了有效的工具。

4) Vakonomic方程不能用来分析非完整系统动力学。部分学者认为Vakonomic方程可以用来处理受伺服约束的最优控制问题, 这一观点仍然值得存疑, 原因如下:当将力学系统的控制目标等价为受非完整约束的力学系统时, 采用Vakonomic方程所确定的Lagrange乘子, 不一定保证与该乘子等效的控制输入, 能够产生符合控制目标要求的运动轨线。

虽然非完整力学是一门略显古老的学科, 但不同物理对象中可能展现出来的多种多样的约束性质, 必将为这门学科提供源源不断的发展动力, 并在不同程度上对非完整力学的基本理论产生影响。基础理论的进展必定反馈到与之关联的各个应用学科, 并起到重要的推动作用。