动力学系统对称性的研究一直是分析力学的重要发展方向。1918年, Noether^[1]研究了Hamilton作用量在无限小变换下的不变性质, 揭示了力学系统的守恒量与其内在的动力学对称性之间的关系。Djukić等^[2]将Noether定理推广到完整非保守系统, 李子平^[3]、Bahar等^[4]和Liu^[5]进一步将Noether定理推广到非完整非保守系统。梅凤翔^[6]用Pfaff作用量代替Hamilton作用量, 通过研究Pfaff作用量在无限小变换的广义准对称性, 建立了Birkhoff系统的Noether理论。近年来, 对Noether对称性的研究取得一些重要成果^[6-10]。

分数阶微积分的概念最早出现在L’Hospital于1695年写给Leibniz的信中, 但是直到1974年, 第一本关于分数阶微积分理论的著作^[11]才问世。近20余年来, 随着分数阶微积分应用领域的不断拓展, 分数阶微积分及其应用研究有了很大的发展。1996年, Riewe^[12-13]首次将分数阶微积分应用于非保守系统动力学建模, 提出并初步研究了分数阶变分问题。之后, Agrawal^[14-15]、Baleanu等^[16-17]、Atanacković等^[18-19]和El-Nabulsi等^[20-22]对分数阶变分问题进行了深入研究。Frederico等^[23-26]最早开展分数阶Noether对称性与守恒量的研究, 基于Riemann-Liouville分数阶导数定义^[23-24]、Caputo分数阶导数定义^[25]以及Riesz-Caputo分数阶导数定义^[26], 分别考虑时间不变和时间变化的无限小变换作用, 得到分数阶Noether定理。此外, Frederico等^[27-28]基于El-Nabulsi动力学模型研究了类分数阶作用变分的不变性问题。近年来, 约束力学系统基于分数阶模型的Noether对称性与守恒量的研究已经取得一些重要成果^[29-35]。但是, 这些研究主要限于分数阶Lagrange系统和分数阶Hamilton系统。

本文基于Riesz分数阶导数的定义, 研究分数阶Birkhoff系统的分数阶Noether对称性。从分数阶Pfaff作用量在无限小变换下的不变性出发, 分别在时间不变和时间变化的无限小变换下, 研究分数阶Pfaff作用量的不变性, 建立分数阶Birkhoff系统的Noether定理。

1 分数阶导数

本节列出研究中涉及的Riemann-Liouville分数阶导数、Caputo分数阶导数和Riesz分数阶导数的定义, 以及Riesz分数阶导数下的分部积分公式。具体的证明和讨论可参见文献[36-37]。

Riemann-Liouville分数阶左导数定义为

$ {}_{{t_1}}D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{{\Gamma (m-\alpha )}}{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^m}\int_{{t_1}}^t {\frac{{f(\tau )}}{{{{(t-\tau )}^{\alpha-m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau } 。 $

(1)

Riemann-Liouville分数阶右导数为

$ {}_tD_{{t_2}}^\alpha f(t) = \frac{1}{{\Gamma (m-\alpha )}}{\left( {-\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^m}\int_t^{{t_2}} {\frac{{f(\tau )}}{{{{(\tau-t)}^{\alpha - m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau } 。 $

(2)

Caputo分数阶左导数定义为

$ _{{t_1}}^{\rm{C}}D_t^\alpha f(t) = \frac{1}{{\Gamma (m-\alpha )}}\int_{{t_1}}^t {\frac{{{f^{(m)}}(\tau )}}{{{{(t-\tau )}^{\alpha-m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau } 。 $

(3)

Caputo分数阶右导数为

$ _t^{\rm{C}}D_{{t_{\rm{2}}}}^\alpha f(t) = \frac{{{{(-1)}^m}}}{{\Gamma (m-\alpha )}}\int_t^{{t_2}} {\frac{{{f^{(m)}}(\tau )}}{{{{(\tau-t)}^{\alpha - m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau }, $

(4)

其中Γ (^*)是Euler Gamma函数, α是导数的阶, 且m-1≤α < m, m为正整数。如果α是整数, 上述分数阶导数成为整数阶导数, 有

$ \left\{ \begin{array}{l} {}_{{t_1}}D_t^\alpha f(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} = {}_{{t_1}}^CD_t^\alpha f(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^\alpha }f(t), \\ {}_tD_{{t_2}}^\alpha f(t){\kern 1pt} = {}_t^CD_{{t_2}}^\alpha f(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\left( {-\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^\alpha }f(t)\; \end{array} \right. $

(5)

Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数定义为

$ _{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha f(t) = \frac{1}{{2\Gamma (m-\alpha )}}{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^m}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{f(\tau )}}{{|t-\tau {|^{\alpha-m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau }, $

(6)

Riesz-Caputo分数阶导数定义为

$ {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha f(t) = \frac{1}{{{\rm{2}}\Gamma (m-\alpha )}}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{{f^{(m)}}(\tau )}}{{|t-\tau {|^{\alpha-m + {\rm{1}}}}}}{\rm{d}}\tau } 。 $

(7)

由上述定义可知, Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数与Riemann-Liouville分数阶导数之间的关系为

$ {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha f(t) = \frac{1}{2}\left[{{}_{{t_1}}D_t^\alpha f(t) + {{(-1)}^m}{}_tD_{{t_2}}^\alpha f(t)} \right]; $

(8)

Riesz-Caputo分数阶导数与Caputo分数阶导数之间的关系为

$ {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha f(t) = \frac{1}{2}\left[{{}_{{t_1}}^{\rm{C}}D_t^\alpha f(t) + {{(-1)}^m}{}_t^{\rm{C}}D_{{t_2}}^\alpha f(t)} \right]。 $

(9)

Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数下的分部积分公式^[15]为

$ \begin{array}{l} \int_{{t_1}}^{{t_2}} {g(t)({}_{{t_1}}^RD_{{t_{\rm{2}}}}^\alpha f(t)){\rm{d}}t} {\kern 1pt} \\ = {(- 1)^m}\int_{t1}^{{t_2}} {f(t)({}_{{t_1}}^RD_{{t_2}}^\alpha g(t)){\rm{d}}t + } \\ \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{m- 1} {{{\left. {\left[{{}_tD_{{t_2}}^{\alpha-k-1}g(t)\frac{{{{\rm{d}}^k}f(t)}}{{{\rm{d}}{t^k}}}} \right]} \right|}_{t = {t_2}}}} + \\ \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {{{( - 1)}^{k + m}}{{\left. {\left[{{}_{{t_1}}D_t^{\alpha-k-1}g(t)\frac{{{{\rm{d}}^k}f(t)}}{{{\rm{d}}{t^k}}}} \right]} \right|}_{t = {t_1}}}} 。 \end{array} $

(10)

Riesz-Caputo分数阶导数下的分部积分公式^[15]如下:

$ \begin{array}{l} \int_{t1}^{{t_2}} {g(t){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha f(t){\rm{d}}t} \\ = {(-1)^m}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {f(t){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha g(t){\rm{d}}t + } \\ \left. {\sum\limits_{k = 1}^{m-1} {{{(-1)}^k}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^{\alpha + k - m}g(t)\frac{{{{\rm{d}}^{m - 1 - k}}}}{{{\rm{d}}{t^{m - 1 - k}}}}f(t)} } \right|_{{t_1}}^{{t_2}}。 \end{array} $

(11)

2 Riesz-Riemann-Liouville导数下分数阶Birkhoff系统的Noether对称性

考虑由2n个Birkhoff变量${a^\mu }(\mu=1, \; 2, \; ..., \; 2n)$描述的Birkhoff系统。假设系统的Birkhoff函数$B=B (t{\rm{, }}\; {a^\nu })$, Birkhoff函数组为${R_\mu }={R_\mu }(t, {a^\nu })$, 分数阶导数的阶为α, 且0 < α < 1。积分

$ S({a^\mu }( \cdot )) = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {{R_\nu }(t, \;{a^\mu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }}-B(t, \;{a^\mu })} \right\}} {\rm{d}}t $

(12)

称为基于Riesz-Riemann-Liouville导数的分数阶Pfaff作用量。等时变分原理

$ \delta S = 0 $

(13)

带有交换关系

$ \begin{array}{l} \delta {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu } = {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha \delta {a^\nu }\\ (\nu = 1, 2, \;..., 2n) \end{array} $

(14)

以及端点条件

$ \begin{array}{l} {\left. {\delta {a^\nu }} \right|_{t = {t_1}}} = {\left. {\delta {a^\nu }} \right|_{t = {t_2}}} = 0\\ (\nu = 1, 2, \;..., 2n) \end{array} $

(15)

称为基于Riesz-Riemann-Liouville导数的分数阶Pfaff-Birkhoff原理。

由分数阶Pfaff-Birkhoff原理(13)~(15)容易导出如下方程^[38]:

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)-\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}}-{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = {\rm{0}}\\ (\mu = 1, \;2, \;..., \;2n) \end{array} $

(16)

以及相应的横截性条件

$ \frac{1}{2}\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {{{\left. {[({}_tD_{{t_2}}^{\alpha-1}{R_\nu })\delta {a^\nu }]} \right|}_{t = {t_2}}}} - \frac{1}{2}\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {{{\left. {[({}_{{t_1}}D_t^{\alpha-1}{R_\nu })\delta {a^\nu }]} \right|}_{t = {t_1}}}} = 0。 $

(17)

由端点条件(15)易知横截性条件(17)恒成立。方程(16)称为Riesz-Riemann-Liouville导数下分数阶Birkhoff系统的分数阶Birkhoff方程。

当α→1时, 方程(16)成为

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}-\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial {a^\nu }}}} \right)} {{\dot a}^\nu }-\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}} + \frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}} \right) = 0\\ (\mu = 1, \;2, \;..., \;2n), \end{array} $

(18)

方程(18)是经典的Birkhoff方程。因此, 经典Birk-hoff方程是Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff方程(16)的特例。

引进时间不变的单参数无限小变换群:

$ \begin{array}{l} {{\bar a}^\mu }(t) = {a^\mu }(t) + \varepsilon {\xi _\mu }(t, \;{a^\nu }) + o(\varepsilon )\\ (\mu = 1, \;2, \;..., \;2n), \end{array} $

(19)

下面, 定义Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff方程(16)在无限小变换(19)下的Noether对称性, 并给出相应的分数阶守恒量。

定义1 如果分数阶Pfaff作用量(12)在无限小变换(19)作用下, 对于任意子区间$\left[{{T_1}, \; {T_2}} \right] \subseteq ({t_1}, \; {t_2})$,

$ \begin{array}{l} \int_{{T_1}}^{T_2^{}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })} \right\}{\rm{d}}t} \\ = \int_{{T_1}}^{{T_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{{\bar a}^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(t, \;{{\bar a}^\nu })} \right\}\;{\rm{d}}t} \end{array} $

(20)

始终成立, 则称这种不变性为Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff系统(16)在时间不变的无限小变换下的Noether对称性。

定理1 对于Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff系统(16), 如果时间不变的无限小变换(19)对应于定义1意义下的Noether对称性, 那么

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }(t, \;{a^\nu })}-\\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })} = 0 \end{array} $

(21)

成立。

证明 由积分区间[T₁, T₂]的任意性, 通过式(20)可得

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })\\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{{\bar a}^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(t, \;{{\bar a}^\nu }), \end{array} $

(22)

将式(22)两边对ε求导, 然后令ε=0, 有

$ \begin{array}{l} 0 = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu })\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\varepsilon }}\left[{\frac{1}{{2\Gamma (m-\alpha )}}{{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)}^m} \cdot } \right.} \\ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t-\tau } \right|}^{m-\alpha - 1}}{a^\mu }(\tau ){\rm{d}}\tau + } \\ {\left. {\left. {\frac{\varepsilon }{{2\Gamma (m - \alpha )}}{{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)}^m}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t - \tau } \right|}^{m - \alpha - 1}}} {\xi _\mu }(\tau, \;{a^\nu })\;{\rm{d}}\tau } \right]} \right|_{\varepsilon = 0}} -\\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })} \\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu })} \frac{1}{{2\Gamma (m -\alpha )}}{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)^m} \cdot \\ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t -\tau } \right|}^{m - \alpha - 1}}{\xi _\mu }(\tau, \;{a^\nu }){\rm{d}}\tau } - \\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B(t, \;{a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, \;{a^\mu })}, \end{array} $

(23)

显然式(23)即为式(21)。

下面引入Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶守恒量的概念^[23-25]。

定义2 $I (t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })$是分数阶守恒量, 当且仅当沿着分数阶Birkhoff方程(16)的解曲线, 有

$ I(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) = \sum\limits_{i = 1}^r {I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) \cdot I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })}, $

(24)

其中r是任意整数, 对于每一组函数I_i¹和I_i²(i=1, 2, …, r), 满足

$ {}^{\rm{R}}D_t^\alpha (I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }), I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })) = 0 $

(25)

或

$ {}^{\rm{R}}D_t^\alpha (I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }), I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })) = 0, $

(26)

其中, 算子${}^{\rm{R}}D_t^\alpha \left ({f, g} \right)$定义为

$ {}^{\rm{R}}D_t^\alpha (f, g) = g{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha f + f{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha g。 $

(27)

当α=1时, 式(27)给出

$ {}^{\rm{R}}D_t^1(f, g) = g{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^1f + f{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^1g = \dot fg + f\dot g = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}(fg)。 $

(28)

定理2 对于Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff系统(16), 如果时间不变的无限小变换(19)对应于定义1意义下的Noether对称性, 那么

$ I(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){\xi _\mu }(t, \;{a^\nu })} $

(29)

是系统的分数阶守恒量。

证明 由分数阶Birkhoff方程(16)可得

$ \frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}} = \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)}-{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }, $

(30)

由于时间不变的无限小变换(19)相应于定义1意义下的Noether对称性, 故将式(30)代入式(21), 得

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }} } \right){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }}-\\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)} } \;{\xi _\mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{\xi _\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = 0, \end{array} $

(31)

化简得

$ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{\xi _\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = 0, $

(32)

即

$ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\{ {}^{\rm{R}}D_t^\alpha ({R_\mu }, \;{\xi _\mu })\} } = 0。 $

(33)

由定义2可知, (29)式是所论分数阶Birkhoff系统的分数阶守恒量。

下面, 考虑时间变化的单参数无限小变换群:

$ \left\{ \begin{array}{l} \bar t = t + \varepsilon \zeta (t, \;{a^\nu }) + o(\varepsilon ), \\ {{\bar a}^\mu }(t) = {a^\mu }(t) + \varepsilon {\xi _\mu }(t, {a^\nu }) + o(\varepsilon )\;\;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\mu = 1, \;2, \;..., \;2n), \end{array} \right. $

(34)

定义分数阶Birkhoff系统(16)在无限小变换(34)下的Noether对称性, 并给出相应的分数阶守恒量。

定义3 如果分数阶Pfaff作用量(12)在无限小变换(34)作用下, 对于任意的子区间$\left[{{T_1}, \; {T_2}} \right] \subseteq ({t_1}, \; {t_2})$,

$ \begin{array}{l} \int_{{T_1}}^{{T_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t\\ = \int_{{{\bar T}_1}}^{{{\bar T}_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(\bar t, \;{{\bar a}^\nu }){}_{{{\bar t}_1}}^{\rm{R}}D_{{{\bar t}_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(\bar t, \;{{\bar a}^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}\bar t \end{array} $

(35)

始终成立, 则称这种不变性为Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff系统(16)在时间变化的无限小变换(34)下的Noether对称性。

定理3 对于Riesz-Riemann-Liouville导数下的分数阶Birkhoff系统(16), 如果时间变化的无限小变换(34)对应于定义3意义下的Noether对称性, 那么

$ I(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{\xi _\mu }} + \left[{(1-\alpha )\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B} \right]\zeta $

(36)

是系统的分数阶守恒量。

证明 取关于时间t (t是独立变量)的李普希兹变换:

$ t \in \left[{{t_1}, \;\;{t_2}} \right] \mapsto \sigma f(\lambda ) \in \left[{{\sigma _1}, \;\;{\sigma _2}} \right], $

(37)

当λ=0时, 满足

$ {t'_\sigma } = \frac{{{\rm{d}}t(\sigma )}}{{{\rm{d}}\sigma }} = f(\lambda ) = 1。 $

在变换(37)作用下, 分数阶Pfaff作用量(12)成为

$ \begin{array}{l} \bar S(t( \cdot ), {a^\mu }( \cdot ))\\ = \int_{{\sigma _1}}^{{\sigma _2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))} } \right.} {}_{{\sigma _1}}^{\rm{R}}D_{{\sigma _2}}^\alpha {a^\mu }(t(\sigma ))-\\ \left. {B(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))} \right\}{{t'}_\sigma }{\rm{d}}\sigma, \end{array} $

(38)

其中, t (σ₁)=t₁, t (σ₂)=t₂,

$ \begin{array}{l} {}_{{\sigma _1}}^{\rm{R}}D_{{\sigma _2}}^\alpha {a^\mu }(t(\sigma )) = \frac{1}{{2\Gamma (m-\alpha )}}{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t(\sigma )}}} \right)^m} \cdot \\ \int_{\frac{{{t_1}}}{{f(\lambda )}}}^{\frac{{{t_2}}}{{f(\lambda )}}} {{{\left| {\sigma f(\lambda )-\tau } \right|}^{m-\alpha - 1}}{a^\mu }(\tau {f^{ - 1}}(\lambda ))} \;{\rm{d}}\tau \\ = \frac{{{{({{t'}_\sigma })}^{ - \alpha }}}}{{2\Gamma (m - \alpha )}}{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\sigma }}} \right)^m}\int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {|\sigma - s{|^{m - \alpha - 1}}{a^\mu }(s)} \;{\rm{d}}s\\ = {({{t'}_\sigma })^{ - \alpha }}{}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma )。 \end{array} $

(39)

将式(39)代入式(38), 得

$ \begin{array}{l} = \int_{\sigma 1}^{{\sigma _2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma ))){{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha }}} } \right.} \cdot \\ \left. {{}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma )-B(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))} \right\}{{t'}_\sigma }{\rm{d}}\sigma \\ \dot = \int_{\sigma 1}^{{\sigma _2}} {{{\bar B}_f}(t(\sigma ), {a^\nu }\left( {t(\sigma )} \right), {{t'}_\sigma }, {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma )){\rm{d}}\sigma } \\ = \int_{t1}^{{t_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t\\ = S({a^\mu }( \cdot ))。 \end{array} $

(40)

如果分数阶Pfaff作用量(12)在定义3意义下是不变的, 那么分数阶Pfaff作用量(38)在定义1意义下不变。由定理2可以得到

$ \begin{array}{l} {I_f}(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )), \;{{t'}_\sigma }, {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma ))\\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma )}}{\xi _\mu }} + \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {{t'}_\sigma }}}\zeta, \end{array} $

(41)

式(41)是系统的分数阶守恒量。当λ=0时, 有

$ {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma ) = {}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }(t), $

(42)

因此, 可以得到

$ \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma )}} = {R_\mu }(t, {a^\nu }(t)) $

(43)

以及

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {{t'}_\sigma }}} = \frac{\partial }{{\partial {{t'}_\sigma }}}\left[{\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\frac{{{{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha }}}}{{2\Gamma (m-\alpha )}}{{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)}^m}} } \right. \cdot \\ \left. {\int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {|\sigma-s{|^{m - \alpha - 1}}{a^\mu }(s)} \;{\rm{d}}s} \right]{{t'}_\sigma } + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma ))){{({{t'}_\sigma })}^{ - \alpha }}} \cdot \\ {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{\rm{R}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma ) - B(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\\ = \left[{-\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\frac{{\alpha {{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha-1}}}}{{2\Gamma (m - \alpha )}}{{\left( {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}} \right)}^m}} } \right. \cdot \\ \left. {\int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {{{\left| {\sigma - s} \right|}^{m - \alpha - 1}}{a^\mu }(s)\;{\rm{d}}s} } \right]{{t'}_\sigma } + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }(t)){}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }(t)} -B(t, {a^\nu }(t))\\ = -\alpha \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} -B。 \end{array} $

(44)

将式(44)和(43)代入式(41), 得到守恒量式(36)。

定理2和定理3称为Riesz-Riemann-Liouville导数下分数阶Birkhoff系统的分数阶Noether定理。显然, 当α=1时, 定理2和定理3给出经典Birkhoff系统的Noether定理。

3 Riesz-Caputo导数下分数阶Birk-hoff系统的Noether对称性

积分

$ A({a^\mu }( \cdot )) = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {{R_\nu }(t, {a^\mu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }}-B(t, {a^\mu })} \right\}} \;{\rm{d}}t $

(45)

称为基于Riesz-Caputo导数的分数阶Pfaff作用量。等时变分原理

$ \delta A = 0 $

(46)

带有交换关系

$ \begin{array}{l} \delta {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu } = {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha \delta {a^\nu }\\ (\nu = 1, \;2, \;\;..., \;2n) \end{array} $

(47)

以及端点条件

$ \begin{array}{l} {\left. {\delta {a^\nu }} \right|_{t = {t_1}}} = {\left. {\delta {a^\nu }} \right|_{t = {t_2}}} = 0\\ (\nu = 1, \;2, \;..., \;2n) \end{array} $

(48)

称为基于Riesz-Caputo导数的分数阶Pfaff-Birkhoff原理。

设${\rm{0 < }}\alpha < 1$, 由分数阶Pfaff-Birkhoff原理(46)~(48)容易导出如下方程^[38]:

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)-\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}}-{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = {\rm{0}}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} (\mu = 1, \;\;2, \;\;..., \;\;2n), \end{array} $

(49)

以及相应的横截性条件

$ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left. {{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^{\alpha-1}{R_\nu }\delta {a^\nu }} \right|_{{t_1}}^{{t_2}}} = 0。 $

(50)

由端点条件(48)易知横截性条件(50)恒成立。方程(49)称为Riesz-Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的分数阶Birkhoff方程。

当$\alpha \to 1$时, 方程(49)成为经典的Birkhoff方程(18)。因此, 经典Birkhoff方程是Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff方程(49)的特例。

下面定义Riesz-Caputo导数下的分数阶Birk-hoff方程(49)在无限小变换(19)下的Noether对称性, 并给出相应的分数阶守恒量。

定义4 如果分数阶Pfaff作用量(45)在无限小变换(19)作用下, 对于任意的子区间$\left[{{T_1}, \; {T_2}} \right] \subseteq ({t_1}, \; {t_2})$, 始终成立

$ \begin{array}{l} \int_{T1}^{{T_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, {a^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t\\ = \int_{{T_1}}^{{T_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {{\bar a}^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(t, {{\bar a}^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t, \end{array} $

(51)

则称这种不变性为Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff系统(49)在时间不变的无限小变换下的Noether对称性。

定理4 对于Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff方程(49), 如果时间不变的无限小变换(19)相应于定义4意义下的Noether对称性, 那么

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, {a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }(t, {a^\nu })}-\\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B\left( {t, {a^\nu }} \right)}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })} = 0 \end{array} $

(52)

成立。

证明 由积分区间[T₁, T₂]的任意性, 通过式(51)可得

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, {a^\nu })\\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {{\bar a}^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(t, {{\bar a}^\nu }), \end{array} $

(53)

将式(53)两边对ε求导, 然后令ε=0, 有

$ \begin{array}{l} 0 = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, {a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }) \cdot } \\ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\varepsilon }}\left[{\frac{1}{{2\Gamma (m- \alpha )}}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t- \tau } \right|}^{m- \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{\tau ^m}}}\left[{{a^\mu }(\tau )} \right]} \;{\rm{d}}\tau } \right. + \\ {\left. {\left. {\frac{\varepsilon }{{2\Gamma (m - \alpha )}}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t - \tau } \right|}^{m - \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{\tau ^m}}}\left[{{\xi _\mu }(\tau, {a^\nu })} \right]} \;\;{\rm{d}}\tau } \right]} \right|_{\varepsilon = 0}} - \\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B(t, {a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })} \\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }(t, {a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })} } \right){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu })} \cdot \frac{1}{{2\Gamma (m - \alpha )}} \cdot \\ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{{\left| {t - \tau } \right|}^{m - \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{\tau ^m}}}[{\xi _\mu }(\tau, {a^\nu })]} \;{\rm{d}}\tau -\\ \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial B(t, {a^\nu })}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }(t, {a^\mu })}, \end{array} $

(54)

显然, 式(54)即为式(52)。

下面引入Riesz-Caputo导数下的分数阶守恒量的概念^[25]。

定义5 $I (t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })$是分数阶守恒量当且仅当沿着分数阶Birkhoff方程(49)的解曲线, 有

$ = \sum\limits_{i = 1}^r {I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) \cdot } I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) $

(55)

其中r是任意整数, 对于每一组函数I_i¹和I_i²(i=1, 2, …, r), 满足

$ {}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }), I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })) = 0 $

(56)

或

$ {}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (I_i^2(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }), \;I_i^1(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })) = 0, $

(57)

其中, 算子${}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (f, g)$定义^[25]为

$ {}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (f, g) = g{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha f + f{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha g。 $

(58)

当α=1时, 式(58)给出

$ {}^{{\rm{RC}}}D_t^1(f, g) = g{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^1f + f{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^1g = \dot fg + f\dot g = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}(fg) $

(59)

此时, ${}^{{\rm{RC}}}D_t^1(f, g)={}^{{\rm{RC}}}D_t^1(g, f)$但是一般情况下, ${}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (f, g) \ne {}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha (g, f)$。

定理5 对于Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff系统(49), 如果时间不变的无限小变换(19)相应于定义4意义下的Noether对称性, 则

$ I(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }) = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }){\xi _\mu }(t, {a^\nu })} $

(60)

是系统的分数阶守恒量。

证明 由分数阶Birkhoff方程(49)可得

$ \frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}} = \sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)}-{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }, $

(61)

由于时间不变的无限小变换(19)相应于定义4意义下的Noether对称性, 故将式(61)代入式(52), 得

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\left( {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial {a^\nu }}}{\xi _\nu }} } \right){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }}-\\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\sum\limits_{\nu = 1}^{2n} {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu }} \right)} } \;{\xi _\mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{\xi _\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = 0, \end{array} $

(62)

化简得

$ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {\xi _\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{\xi _\mu }{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {R_\mu }} = 0, $

(63)

即

$ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\{ {}^{{\rm{RC}}}D_t^\alpha ({R_\mu }, \;{\xi _\mu })\} } = 0。 $

(64)

由定义5可知, 式(60)是所论分数阶Birkhoff系统(49)的分数阶守恒量。

下面, 定义Riesz-Caputo导数下的分数阶Birk-hoff方程(49)在时间变化的无限小变换(34)下的Noether对称性, 并给出相应的分数阶守恒量。

定义6 如果分数阶Pfaff作用量(45)在无限小变换(34)作用下, 对于任意子区间$[{T_1}, \; {T_2}] \subseteq ({t_1}, \; {t_2})$,

$ \begin{array}{l} \int_{{T_1}}^{{T_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t\\ = \int_{{{\bar T}_1}}^{{{\bar T}_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(\bar t, \;{{\bar a}^\nu }){}_{{{\bar t}_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{{\bar t}_2}}^\alpha {{\bar a}^\mu }}-B(\bar t, \;{{\bar a}^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}\bar t \end{array} $

(65)

成立, 则称这种不变性为Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff系统(49)在时间变化的无限小变换(34)下的Noether对称性。

定理6 对于Riesz-Caputo导数下的分数阶Birkhoff系统(49), 如果时间变化的无限小变换(34)相应于定义6意义下的Noether对称性, 则

$ \begin{array}{l} I(t, {a^\nu }, {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\nu })\\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{\xi _\mu }} + \left[{(1-\alpha )\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B} \right]\zeta \end{array} $

(66)

是系统的分数阶守恒量。

证明 取关于时间t(t是独立变量)的李普希兹变换

$ t \in [{t_1}, \;{t_2}] \mapsto \sigma f(\lambda ) \in [{\sigma _1}, \;{\sigma _2}], $

(67)

当$\lambda=0$时, 满足

$ {t'_\sigma } = \frac{{{\rm{d}}t(\sigma )}}{{{\rm{d}}\sigma }} = f(\lambda ) = 1。 $

在变换(67)作用下, 分数阶Pfaff作用量(45)成为

$ \begin{array}{l} \bar A(t( \cdot ), {a^\mu }( \cdot ))\\ = \int_{{\sigma _1}}^{{\sigma _2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), \;{a^\nu }(t(\sigma ))){}_{{\sigma _1}}^{{\rm{RC}}}D_{{\sigma _2}}^\alpha {a^\mu }(t(\sigma ))-} } \right.} \\ \left. {B(t(\sigma ), \;{a^\nu }(t(\sigma )))} \right\}{{t'}_\sigma }{\rm{d}}\sigma, \end{array} $

(68)

其中, $t ({\sigma _1})={t_1}$, $t ({\sigma _2})={t_2}$,

$ \begin{array}{l} {}_{{\sigma _1}}^{{\rm{RC}}}D_{{\sigma _2}}^\alpha {a^\mu }(t(\sigma ))\\ = \frac{1}{{2\Gamma (m- \alpha )}} \cdot \\ \int_{\frac{{{t_1}}}{{f(\lambda )}}}^{\frac{{{t_2}}}{{f(\lambda )}}} {{{\left| {\sigma f(\lambda )- \tau } \right|}^{m- \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{\tau ^m}}}[{a^\mu }(\tau {f^{-1}}(\lambda ))]} \;{\rm{d}}\tau \\ = \frac{{{{({{t'}_\sigma })}^{ - \alpha }}}}{{2\Gamma (m - \alpha )}}\int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {|\sigma - s{|^{m - \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{s^m}}}[{a^\mu }(s)]} \;{\rm{d}}s\\ = {({{t'}_\sigma })^{ -\alpha }}{}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma ) \end{array} $

(69)

将式(69)代入式(68), 得

$ \begin{array}{l} \bar A(t( \cdot ), {a^\mu }( \cdot ))\\ = \int_{{\sigma _1}}^{{\sigma _2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ){a^\nu }(t(\sigma ))){{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha }}} } \right.} \cdot \\ \left. {{}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma )-B(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))} \right\}{{t'}_\sigma }{\rm{d}}\sigma \\ \dot = \int_{{\sigma _1}}^{{\sigma _2}} {{{\bar B}_f}(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )), {{t'}_\sigma }, {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma ))} \;{\rm{d}}\sigma \\ = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, \;{a^\nu }){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }}-B(t, \;{a^\nu })} \right\}} \;{\rm{d}}t\\ = A({a^\mu }( \cdot ))。 \end{array} $

(70)

如果分数阶Pfaff作用量(45)在定义6意义下是不变的, 那么分数阶Pfaff作用量(68)在定义4意义下不变。由定理5可以得到

$ \begin{array}{l} {I_f}(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )), \;{{t'}_\sigma }, {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma ))\\ = \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {\frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma )}}{\xi _\mu }} + \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {{t'}_\sigma }}}\zeta, \end{array} $

(71)

式(71)是系统(49)的分数阶守恒量。当$\lambda=0$时, 有

$ {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma ) = {}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }(t), $

(72)

因此, 可以得到

$ \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\nu }(\sigma )}} = {R_\mu }(t, {a^\nu }(t)) $

(73)

以及

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {{\bar B}_f}}}{{\partial {{t'}_\sigma }}} = \frac{\partial }{{\partial {{t'}_\sigma }}}\left[{\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\frac{{{{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha }}}}{{2\Gamma (m-\alpha )}}} } \right. \cdot \\ \int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {{{\left| {\sigma-s} \right|}^{m - \alpha - 1}}} \;\left. {\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{s^m}}}{a^\mu }(s){\rm{d}}s} \right]{{t'}_\sigma } + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma ))){{({{t'}_\sigma })}^{ - \alpha }}} \cdot \\ {}_{{t_1}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}/{{({{t'}_\sigma })}^2}}^\alpha {a^\mu }(\sigma ) - B(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\\ = \left[{-\sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t(\sigma ), {a^\nu }(t(\sigma )))\frac{{\alpha {{({{t'}_\sigma })}^{-\alpha-1}}}}{{2\Gamma (m - \alpha )}}} } \right. \cdot \\ \left. {\int_{\frac{{{t_1}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}}^{\frac{{{t_2}}}{{{{({{t'}_\sigma })}^2}}}} {{{\left| {\sigma - s} \right|}^{m - \alpha - 1}}\frac{{{{\rm{d}}^m}}}{{{\rm{d}}{s^m}}}{a^\mu }(s)} \;{\rm{d}}s} \right]{{t'}_\sigma } + \\ \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }(t, {a^\nu }(t)){}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }(t)} -B(t, {a^\nu }(t))\\ = -\alpha \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} + \sum\limits_{\mu = 1}^{2n} {{R_\mu }{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^\mu }} -B。 \end{array} $

(74)

将式(74)和(73)代入式(71), 得到守恒量式(66)。

4 算例

例1 已知四阶分数阶Birkhoff系统在Riesz-Riemann-Liouville导数下的Pfaff作用量为

$ \begin{array}{l} S({a^\mu }( \cdot )) = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {{a^2}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^1} + {a^{\rm{4}}}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^3}-} \right.} \\ \left. {\frac{1}{2}({{({a^4})}^2}-2{a^2}{a^3})} \right\}{\rm{d}}t, \end{array} $

(75)

试研究该系统的分数阶Noether对称性与分数阶守恒量。

从作用量(75)可知, 系统的Birkhoff函数和Birkhoff函数组为

$ \left\{ \begin{array}{l} B = \frac{1}{2}({({a^4})^2}-2{a^2}{a^3}), \\ {R_1} = {a^2}, \\ {R_2} = 0, \\ {R_3} = {a^4}, \\ {R_4} = 0, \end{array} \right. $

(76)

取无限小变换(34)的生成元为

$ \left\{ \begin{array}{l} \zeta = \frac{2}{3}t, \;\\ {\xi _1} = {a^1}, \;\\ {\xi _2} =-{a^2}, \;\\ {\xi _3} = \frac{1}{3}{a^3}, \;\\ {\xi _4} =-\frac{1}{3}{a^4}, \end{array} \right. $

(77)

由定义3, 生成元(77)对应于系统的Noether对称性。根据定理3, 得到

$ \begin{array}{l} I = {a^1}{a^2} + \frac{1}{3}{a^3}{a^4} + \frac{2}{3}t\left[{(1-\alpha ){a^2}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^1} + } \right.\\ \left. {(1-\alpha ){a^4}{}_{{t_1}}^{\rm{R}}D_{{t_2}}^\alpha {a^3}-\frac{1}{2}({{({a^4})}^2} - 2{a^2}{a^3})} \right], \end{array} $

(78)

式(78)是该系统的一个分数阶守恒量。

例2 已知四阶分数阶Birkhoff系统在Riesz-Caputo导数下的分数阶Pfaff作用量为

$ \begin{array}{l} A({a^\mu }( \cdot )) = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {{a^3}{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^1} + {a^4}{}_{{t_1}}^{{\rm{RC}}}D_{{t_2}}^\alpha {a^2}- } \right.} \\ \left. {\frac{1}{2}[{{({a^3})}^2} + {{({a^4})}^2}]} \right\}{\rm{d}}t, \end{array} $

(79)

试研究该系统的分数阶Noether对称性与分数阶守恒量。

如取生成元为

$ \left\{ \begin{array}{l} \zeta = 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ {\xi _1} = 1, {\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ {\xi _2} = 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ {\xi _3} = 0, {\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ {\xi _4} = 0, \end{array} \right. $

(80)

由定义4, 生成元(80)相应于分数阶Birkhoff系统(79)的Noether对称性。因此, 由定理5得到

$ I = {a^3}, $

(81)

式(81)是该分数阶Birkhoff系统的一个守恒量。

5 结论

Birkhoff力学是Hamilton力学的推广, 对Birk-hoff力学的研究是近代分析力学的一个重要发展方向。由于应用分数阶模型可以更准确地描述复杂系统的动力学行为, 因此对分数阶Birkhoff系统动力学的研究具有重要意义。本文提出并研究了分数阶Birkhoff系统在Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数和Riesz-Caputo分数阶导数下的Noether对称性与守恒量问题, 建立了分数阶Noether定理。定理的证明分成两步:首先在时间不变的无限小变换下给出证明; 然后利用时间重新参数化技术, 得到一般情况下的分数阶Noether定理。分数阶Noether定理揭示了分数阶Noether对称性与分数阶守恒量之间的内在联系。由于求解Riemann-Liouville导数下的分数阶微分方程与求解Caputo导数下的分数阶微分方程所伴随的初始条件的形式不同, 后者仅涉及整数阶导数的初始条件, 因此, Riesz-Caputo导数下的结果更易于应用。当然, 两者都以经典Birkhoff系统的Noether定理作为其特例。因此, 本文研究的方法和结果具有普遍意义。