1927年, Birkhoff ^[1]在《Dynamical systems》(动力系统)一书中给出一类新型的积分变分原理和运动微分方程, Santilli^[2]称之为Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff方程。Birkhoff系统动力学是Hamilton力学的自然推广。近年来, 对Birkhoff系统动力学的研究非常活跃, 取得一些重要进展, 主要集中在Birkhoff系统的积分理论^[3]、逆问题^[4]、稳定性^[5]和对称性^[6]等方面。1993年, 梅凤翔^[7]研究了Birk-hoff方程增加一个附加项的情形, 称为广义Birk-hoff方程。广义Birkhoff系统动力学也取得丰富的研究成果, 同样集中在广义Birkhoff系统的逆问题^[8]、积分理论^[9]、对称性^[10]、稳定性^[11]等方面, 但很少涉及系统分岔的问题。开展广义Birkhoff系统的分岔研究, 可将非线性动力学相关理论推广应用到广义Birkhoff系统, 探讨该系统的动力学行为, 进一步完善Birkhoff系统的理论体系。因此, 对广义Birkhoff系统分岔问题的研究有重要意义。

非线性动力学的分岔是动力系统的重要性质, 是流体力学、电力学、非线性振动理论、控制理论、生态学等领域研究的重点内容^[12-14]。2000年, 陈向炜等^[15-16]首次研究Birkhoff系统的分岔问题, 分析了二阶自治Birkhoff系统的极限点分岔、跨临界分岔以及叉形分岔。梅凤翔^[17]研究了二阶自治广义Birkhoff系统平衡点分岔的相关问题, 也讨论了系统的极限点分岔、跨临界分岔以及叉形分岔。但是, 这些研究仅针对自治Birkhoff系统, 未涉及非自治情形。

梯度系统是一类重要的动力学系统^[18], 在研究运动稳定性问题时具有很好的应用价值。一旦动力学系统能够转化成梯度系统, 便可以借助梯度系统的性质研究动力学系统的稳定性。文献[19‒23]研究了各类力学系统的梯度表示, 利用梯度系统的性质分析了这些系统的平衡稳定性。Mei等^[24]利用梯度系统的性质, 研究了自治广义Birkhoff系统的分岔。

在上述研究的基础上, 本文利用梯度系统的性质, 进一步研究含参数非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔。研究表明, 当系统所含的某个参数发生变化时, 系统平衡点的数目和稳定性将会随参数的变化而发生改变, 从而产生分岔现象。

1 广义Birkhoff系统

广义Birkhoff系统的运动微分方程^[17]为

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{\mathit{\Omega }}_{\mu \nu }}{{{\dot{a}}}^{\mu }}=\left( \frac{\partial B}{\partial {{a}^{\nu }}}+\frac{\partial {{R}_{\nu }}}{\partial t}-{{\mathit{\Lambda }}_{\nu }} \right) \\ (\mu ,\nu =1,\ 2,\ ...,\ \ 2n) \\ \end{array} $

可以写成如下形式:

$ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\dot{a}}}^{\mu }}={{\mathit{\Omega }}^{\mu \nu }}\left( \frac{\partial B}{\partial {{a}^{\nu }}}+\frac{\partial {{R}_{\nu }}}{\partial t}-{{\mathit{\Lambda }}_{\nu }} \right) \\ (\mu ,\nu =1,\ 2,\ ...,\ \ 2n) \\ \end{array} $

(1)

其中,

$ {{\mathit{\Omega }}_{\mu \nu }} = \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial {a^\mu }}}-\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial {a^\nu }}} $

(2)

为Birkhoff协变张量, ${\Omega ^{\mu \nu }}$为Birkhoff逆变张量, 它们之间有关系:

$ \begin{array}{l} {\mathit{\Omega }^{\mu \nu }}{\mathit{\Omega } _{\nu \rho }} = \delta _\rho ^\mu \\ (\mu, \nu, \rho = 1, \;2, \;..., \;2n) \end{array} $

(3)

对于方程(1), $B=B (t, \; \boldsymbol{a})$为Birkhoff函数, ${R_v}={R_v}(t, \; \boldsymbol{a})$为Birkhoff函数组, ${\mathit{\Lambda } _v}={\mathit{\Lambda }_v}(t, \; \boldsymbol{a})$为附加项。当函数$B, \; {R_v}, \; {\mathit{\Lambda }_v}$中都显含t时, 我们将系统(1)称为非自治广义Birkhoff系统。

2 梯度系统

梯度系统的微分方程有以下形式^[17]:

$ \begin{array}{l} {{\dot x}_i} =-\frac{{\partial V}}{{\partial {x_i}}}\\ (i = 1, \;2, \;..., \;m) \end{array} $

(4)

其中, V=V(x)称为势函数。

梯度系统有以下两个重要性质。

性质1 对于系统(4)所有的x, 都有$\dot V=0$, 当且仅当x为系统的平衡点时, $\dot V=0$。

性质2 对于系统(4)的线性化系统, 在任意平衡点处其特征方程只有实根。

由Lyapunov一次近似理论可得如下命题。

命题1 如果梯度系统(4)的一次近似特征方程的根皆为负数, 则平衡位置是渐近稳定的; 如果有正根, 则平衡位置是不稳定的; 如果存在单根0且无正根, 则平衡位置是稳定的, 但不是渐近稳定的; 如果存在重根0, 则平衡位置是不稳定的。

3 系统的梯度表示

一般情况下, 非自治广义Birkhoff系统(1)并不是梯度系统。如果系统(1)满足

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial {a^\rho }}}\left[{{\mathit{\Omega } ^{\mu \nu }}\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\nu }}} + \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial t}}-{\mathit{\Lambda }_\nu }} \right)} \right]\\ = \frac{\partial }{{\partial {a^\mu }}}\left[{{\mathit{\Omega } ^{\rho \nu }}\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\nu }}} + \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial t}}-{\mathit{\Lambda } _\nu }} \right)} \right], \end{array} $

(5)

同时有

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left[{{\mathit{\Omega } ^{\mu \nu }}\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\nu }}} + \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial t}}-{\mathit{\Lambda } _\nu }} \right)} \right] = 0\\ (\mu, \nu, \rho = 1, \;2, \;..., \;2n) \end{array} $

(6)

此时, 方程(1)可以找到势函数$V=V (\boldsymbol{a})$, 使得

$ \frac{\partial }{{\partial {a^\mu }}}\left[{{\mathit{\Omega } ^{\mu \nu }}\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\nu }}} + \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial t}}-{\mathit{\Lambda }_\nu }} \right)} \right] = -\frac{{\partial V}}{{\partial {a^\mu }}}, $

(7)

这样, 非自治广义Birkhoff系统(1)便成为一个梯度系统。于是, 我们利用梯度系统的性质研究该系统的分岔。

4 系统平衡点的静态分岔

假设非自治广义Birkhoff系统(1)的Birkhoff函数B, Birkhoff函数组R_v或附加项${\mathit{\Lambda } _\nu }$含有某一个常参数μ, 则可以将非自治广义Birkhoff系统(1)写成如下形式:

$ \boldsymbol{\dot a} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{a}{\rm{, }}\;\mu ) $

(8)

其中,

$ \begin{array}{l} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{a}, \;\mu ) = {\mathit{\Omega }^{\mu \nu }}\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a^\nu }}} + \frac{{\partial {R_\nu }}}{{\partial t}} - {\mathit{\Lambda }_\nu }} \right)\\ (\mu, v = 1, 2, \ldots 2n), \end{array} $

且等式右端满足式(6)。

设$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$是方程

$ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{a}{\rm{, }}\;\mu ) = \boldsymbol{0} $

(9)

的解。本文研究的内容是: 1)随着参数μ的变化, 点$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$对应的方程(8)的平衡点稳定性变化情况; 2)随着参数μ的变化, 在点$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$附近, 方程(9)的解对应的方程(8)的平衡点个数变化情况。

当μ固定时, 方程(9)在$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$的足够小邻域内解的个数记为m。当μ发生变化经过μ₀时, m发生改变或者点$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$对应的方程(8)的平衡点稳定性发生改变, 则称$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$是一个静态分岔点, μ₀称为分岔值。

对于研究内容1, 若非自治广义Birkhoff系统(8)能够成为一个梯度系统, 那么平衡点的稳定性由命题1判定, 随着参数μ的变化, 梯度系统的一次近似特征方程的根的正负性可能发生变化。

对于研究内容2, 当F(a, μ)=0的解是一些曲线时, 分岔点$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$是某两条解曲线的交点。下面给出系统(8)发生研究内容2情况的一个必要条件。

定理1 对于系统(8), 设点$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$处有F$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$=0, 在$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$的邻域内F(a, μ)对a可微, 且F(a, μ)和DF(a, μ)对a, μ连续。假如$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$是F(a, μ)=0的一个分岔点, 则|DFμ|=0。其中DF(a, μ)表示F(a, μ)关于a的Jacobian矩阵。

证明:假设|DF$({\boldsymbol{a}_0}, \; {\mu _0})$|≠0, 那么由隐函数定理, 可以得到当|μ-μ₀| < < 1时, F(a, μ)=0唯一地确定了一条解曲线a=a(μ), 使得a₀=a(μ₀)。此时, (a, μ₀)不能成为分岔点与(a₀, μ₀)是分岔点矛盾。定理1得证。

下面利用两个算例, 分别从系统(8)的平衡点稳定性的变化和平衡点个数的变化, 说明系统(8)的静态分岔。

5 算例

例1 非自治广义Birkhoff系统:

$ \begin{array}{l} B = \mu {a^1}{a^2}\sin t, {R_1} = 0, {R_2} = {a^1}\sin t, \\ {\mathit{\Lambda }_1} = \mu {a^2}\sin t + {a^1}\sin t + {a^2}\sin t + {({a^2})^3}\sin t\\ {\mathit{\Lambda } _2} = {a^1}\cos t-{a^2}\sin t, \end{array} $

其中μ是参数。

下面, 试写出该系统的运动微分方程, 并分析μ对系统平衡位置稳定性的影响。

由方程(8), 得到系统的微分方程:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot a}^1} =-\mu {a^1}-{a^2}, }\\ {{{\dot a}^2} =-{a^1} - {a^2} - {{({a^2})}^3}, } \end{array}} \right. $

(10)

显然这是一个梯度系统。此时系统的一次近似特征方程为

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda + \mu }&1\\ 1&{\lambda + 1} \end{array}} \right| = {\lambda ^2} + \left( {\mu + 1} \right)\lambda + \mu-1 = 0。 $

(11)

当μ>1时, 方程(11)有两个负实根, 此时平衡位置是渐近稳定的; 当μ=1时, 方程(11)有一个根是0, 一个根是-2, 此时平衡位置是稳定的; 当μ < 1时, 方程(11)两个根一正一负, 此时平衡位置是不稳定的。因此, 当μ=1时, 系统发生分岔, μ=1是系统的分岔值。

例2 非自治广义Birkhoff系统:

$ \begin{array}{l} {R_1} = {a^2}{e^t}, {R_2} = 0, B = {a^1}{a^2}{e^t}, \\ {\mathit{\Lambda } _1} = {a^2}{e^t}, {\Lambda _2} = {e^t}{a^1} + {a^1}({a^1}-\mu )(2{a^1}-\mu ){e^t}. \end{array} $

其中μ是参数。

下面, 试写出该系统的运动微分方程, 并分析μ对系统平衡位置稳定性的影响。

由方程(8)得到系统的微分方程:

$ \left\{ \begin{align} & {{{\dot{a}}}^{1}}=-{{a}^{1}}({{a}^{1}}-\mu )(2{{a}^{1}}-\mu ), \\ & {{{\dot{a}}}^{2}}=-{{a}^{2}} 。\\ \end{align} \right. $

(12)

显然, 方程(12)满足式(5)和(6), 是一个梯度系统。系统(12)的平衡点个数与参数μ的取值有关。

对于任意的μ, (0, μ)总是方程(12)的解, 且

$ \begin{array}{l} {\rm{D}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{0}, \;\mu ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-{\mu ^2}}&0\\ 0&{-1} \end{array}} \right)\\ {\rm{|D}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{0}, \;0)| = 0。 \end{array} $

由定理1可知, 点(0, 0)可能成为系统(12)的分岔点。下面具体分析分岔情况。

当μ=0时, 方程(12)有一个平衡点(0, 0), 方程(12)在(0, 0)点处的一次近似特征方程为

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0\\ 0&{\lambda + 1} \end{array}} \right| = \lambda (\lambda + 1) = 0, $

(13)

此方程有根λ=0和λ=-1, 由命题1可知此时平衡点是稳定的, 但不是渐近稳定的。

当μ≠0时, 方程(12)有3个平衡点, 分别为点(0, 0), (μ, 0)和$\left ({\frac{\mu }{2}, 0} \right)$。

1)平衡点(0, 0)处的一次近似特征方程为

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda + {\mu ^2}}&0\\ 0&{\lambda + 1} \end{array}} \right| = (\lambda + {\mu ^2})\;(\lambda + 1) = 0, $

(14)

此方程有根$\lambda=-{\mu ^2}$和$\lambda=-1$, 由命题1可知此平衡点是渐近稳定的。

2)我们对平衡点(μ, 0)做如下处理:令

$ {a^1} = \mu + {\zeta ^1}, {a^2} = {\zeta ^2}, $

则方程(12)变成

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\dot{\zeta }}}^{1}}=-({{\zeta }^{1}}+\mu )\ {{\zeta }^{1}}(2{{\zeta }^{1}}+\mu ), \\ {{{\dot{\zeta }}}^{2}}=-{{\zeta }^{2}}, \\ \end{array} \right. $

(15)

此时平衡点(μ, 0)成为$({\zeta ^1}, \; {\zeta ^2})=(0, \; 0)$。方程(15)在$({\zeta ^1}, \; {\zeta ^2})=(0, \; 0)$处的一次近似特征方程为

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda + {\mu ^2}}&0\\ 0&{\lambda + 1} \end{array}} \right| = (\lambda + {\mu ^2})(\lambda + 1) = 0, $

(16)

同样, 此平衡点是渐近稳定的。

3)我们对平衡点$\left ({\frac{\mu }{2}, 0} \right)$做如下处理:令

$ \begin{array}{l} {a^1} = \frac{\mu }{2} + {\zeta ^1}, \\ {a^2} = {\zeta ^2}, \end{array} $

那么方程(12)变成

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot \zeta }^1} =-2\left( {\frac{\mu }{2} + {\zeta ^1}} \right)\left( {{\zeta ^1}-\frac{\mu }{2}} \right){\zeta ^1}, }\\ {{{\dot \zeta }^2} =-{\zeta ^2}, } \end{array}} \right. $

(17)

此时平衡点$\left ({\frac{\mu }{2}, 0} \right)$成为$({\zeta ^1}, \; {\zeta ^2})=(0, \; 0)$。方程(17)在$({\zeta ^1}, \; {\zeta ^2})=(0, \; 0)$处的一次近似特征方程为

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda - \frac{{{\mu ^2}}}{2}}&0\\ 0&{\lambda + 1} \end{array}} \right| = \left( {\lambda - \frac{{{\mu ^2}}}{2}} \right)(\lambda + 1) = 0, $

(18)

方程(18)有根$\lambda=\frac{{{\mu ^2}}}{2}$和$\lambda=-1$。由命题1可知此平衡点是不稳定的。

我们发现, 含有参数μ的系统(12), 当μ=0时, 平衡点只有1个, 当μ≠0时, 平衡点有3个, 平衡点的个数发生了改变, 并且对于同一平衡点(0, 0), 两种情况下其稳定性并不相同。因此, (0, 0)成为系统(12)的分岔点, μ=0是该系统的分岔值。

6 结论

本文把利用梯度系统研究稳定性的方法推广应用到一类非自治广义Birkhoff系统, 该系统在满足条件(5)和(6)情况下就可转化为一个梯度系统, 于是可以利用梯度系统的性质研究这类非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔。本文的例子说明, 随着参数的变化, 系统平衡位置的稳定性以及平衡点的个数会随之变化, 系统发生分岔。当然, 这里的分岔指系统平衡点处的静态分岔。