电力变换器是一种不可或缺的技术, 影响着现代社会的各个方面, 不仅在传统工业领域中, 而且在新能源领域中都有重要的应用。在过去的30多年里, 电力变换器的建模、设计和控制技术受到极大的关注^[1]。虽然电力变换器在现代电力系统的很多应用中扮演了重要的角色, 但是对于电力变换器的分析和设计研究并不是很充分, 这是由于对变换器的主要元件--电力电子器件在运行时内在开关行为的分析是非常困难的^[2-3], 因此, 在很多应用中, 控制器的设计往往都是基于线性化的模型。目前, 大多数文献针对电力变换器的建模方法都是基于基本电路定理--基尔霍夫定律进行的^[4-6]。在最近的研究中, 有国外学者为了进行控制器设计, 开始从系统储存能量的角度对电力变换器进行建模, 这种模型需要考虑电力变换器的非线性特点, 文献[7-8]将平均PWM模型用于典型的Buck, Boost, Buck-Boost和更为复杂的Ćuk变换器的建模中。平均PWM模型由经典的欧拉-拉格朗日方程得到, 它为控制器的设计提供了一个非常有用的工具。目前, 国内研究电力电子变换电路较少采用欧拉-拉格朗日方程进行建模分析, 只有在对电力系统非线性控制、无源控制的研究中有部分学者利用了欧拉-拉格朗日模型^[9-11], 但总体来说, 在电力系统的建模中, 运用欧拉-拉格朗日方程作为建模和研究工具还并不是很普遍。

欧拉-拉格朗日方程是分析力学的重要研究内容, 最初在力学系统或机械系统的建模和分析中得到广泛应用, 并建立了较为成熟的理论框架^[12-13]。实际上, 对于电力变换器, 可以看成是一个由电力电子器件、电感器、电容器、电阻、约束元件和电源等元件组成的系统, 选取合适的广义电荷和广义电流坐标, 就可以描述系统的动态行为。这样, 运用机电比拟的方法, 可以将欧拉-拉格朗日方程推广到电力变换器的建模中。其优点是, 从能量观点上统一建立起来的系统能量与功之间的标量关系, 简化了动力学中关于约束的问题, 能精简地描述系统的方程以及未知量的个数, 并且具有统一的方程形式, 分析的步骤规范、统一。在得到电力变换器的欧拉-拉格朗日方程后, 就可以运用分析力学中的各种积分方法^[13], 比如运用对称性方法来研究系统的对称性, 并利用得到的守恒量构造系统的精确解, 从而更好地优化电力变换器的设计和控制。在电力变换器的分析中, 通常需要选取电容电压和电感电流为状态变量。为了得到状态方程模型, 需要利用电路的节点电流约束。这时, 采用约束形式的欧拉-拉格朗日方程将会更为方便。

在本文的研究中, 考虑到电力变换器的拓扑结构, 将受基尔霍夫电流约束的欧拉-拉格朗日方程应用到电力变换器的动力学建模中, 其中的欧拉-拉格朗日方程实际上代表基尔霍夫电压定律(KVL), 约束方程则代表基尔霍夫电流定律(KCL)。同时, 给出一种由欧拉-拉格朗日方程得到电力变换器状态方程模型的方法。这种方法以系统中所有的储能元件为研究对象, 通过约束欧拉-拉格朗日方程消除多余的中间变量而得到系统的状态方程, 不仅对于电力变换器, 而且对于一般电气网络的建模都是适用的。文中给出两个电力变换器的应用实例, 并利用本文方法得到的状态方程模型, 仿真分析Ćuk型电力变换器的工作过程, 从而验证了该方法的有效性。

1 受基尔霍夫电流约束的欧拉-拉格朗日方程

假定一个电力变换器N如图 1所示, 其中的元件可能为电力电子开关器件、电感器、电容器、电阻器、电压源、电流源、受控源、理想二极管、晶体管、回转器和变压器等。元件可能为线性元件或非线性元件, 其中电感器(电容器)可能会彼此间发生耦合。为了对元件进行合理的划分, 图 1中将所有的电感器和电容器从外部连接到电阻性子网M上, 由于电感器(电容器)之间可能发生相互的耦合, 多端口的电感器和电容器也包括到电阻性子网中。电阻和电源由静态电流和电压决定, 所以本质上可以看成同一类元件。同样地, 其他的一端口或多端口元件(如理想二极管、电力电子开关、晶体管、回转器和变压器等), 由于它们本构方程都是关于电流和电压代数方程, 所以都可以看成是电阻, 因此都包括在子网M中。

根据机电比拟的方法, 可以将经典力学系统的欧拉-拉格朗日方程推广到电气领域, 表示为下面的非线性微分方程组^[14]:

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{q}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = - \frac{{\partial F}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}}(\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) + \mathit{\boldsymbol{q}}, $

(1)

这里, $\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$是电流向量, q是电量向量。电量向量构成描述电力变换器的广义坐标, 假定选取n个广义电荷量, 表示为$\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_1}, \; {q_2}, \; ..., \; {q_n}]^{\rm{T}}}$。L为系统的拉格朗日函数, 定义为电路的磁共能与电场能之差, 即

$ L(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = {W'_{{\rm{mag}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) - {W_e}(\mathit{\boldsymbol{q}}), $

(2)

其中, ${W'_{{\rm{mag}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \; \mathit{\boldsymbol{\dot q}})$为电感元件的磁共能之和, ${W_e}(\mathit{\boldsymbol{q}})$为所有电感元件电场能之和。$ F (\mathit{\boldsymbol{\dot q}})$为电路的瑞利耗散函数, 向量${\mathit{\boldsymbol{u}}_{\bf{q}}}={[{u_{{\bf{q}}1}}, \; ...\; ,{u_{{\bf{q}}n}}]^{\rm{T}}}$表示与每个广义电量坐标对应的外加电压源, 类似于力学系统中的广义力函数。在力学系统中, 欧拉-拉格朗日方程表示广义力的平衡。同样地, 这里方程(1)反映了电压平衡, 相应于基尔霍夫电压定律(KVL), 而支路连接关系已经代入方程中。

方程(1)要求选取的广义电荷和广义电流是独立的。对于一些复杂的系统, 系统中存在约束条件, 这时选取的广义电荷不一定是独立的。并且, 对于一些非线性系统, 要得到依赖变量和独立变量之间的关系是非常麻烦的工作。因此, 在电学问题中, 为了在方程中包括基尔霍夫电流定律等约束条件, 可以考虑具有约束形式的欧拉-拉格朗日方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{q}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}},\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = - \frac{{\partial F}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}}(\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) + A(\mathit{\boldsymbol{q}})\lambda + {\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{q}}},\\ A{(\mathit{\boldsymbol{q}})^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = 0\;。 \end{array} \right. $

(3)

这里, l是拉格朗日乘子。方程(3)表示一般形式的约束欧拉-拉格朗日方程, 对于由基尔霍夫电流定律给出的约束方程, A(q)不再是电量的函数, 而是n×c维常数矩阵, 其中c为约束方程的个数。利用约束方程可以消去多余的广义坐标。

对于所有拓扑结构完备的电子电路, 不论是否含有理想开关, 是否存在耦合和非线性, 约束形式的欧拉-拉格朗日方程完全适用。对于具有电力电子开关的电力变换器, 可以通过约束方程, 利用基尔霍夫电流定律(KCL)进行处理。假如电力变换器中包括多个电力电子开关, 用$u=({u_1}, \; ..., \; {u_m})$表示开关函数, 其中${u_i} \in \{ 0, \; 1\}, \; i=1, \; ..., \; m$, 代表开或关的状态。

2 由约束欧拉-拉格朗日方程得到系统状态方程模型的建立过程

对于一个电力变换器, 利用系统的状态方程模型, 可以对系统进行分析求解或者控制的设计。通过分析系统的能量, 可以采用如下步骤建立欧拉-拉格朗日方程, 方便地得到系统状态方程模型。

1)选择广义电荷和广义电流:对于电气网络中的每个动态元件, 选择相应的电量和电流坐标, 即${q_i}, \; {\dot q_i}\; (i=1, \; ..., \; n)$。

2)拉格朗日函数:确定所有相应理想元件的能量, 即电感性元件的磁共能${W'_{{\rm{mag}}}}(\mathit{\boldsymbol{q}}, \; \mathit{\boldsymbol{\dot q}})$和电容性元件的电场能$ {W_e}(\mathit{\boldsymbol{q}})$, 给出电气网络的拉格朗日函数。

3)耗散函数:对于电阻性元件, 确定其相应的瑞利耗散函数$F (\mathit{\boldsymbol{\dot q}}, \; u)$, 函数中有可能包括开关的位置u。

4)外加电源:确定外加电压源${u_\mathit{\boldsymbol{q}}}(u)$。这与力学系统中的广义力函数类似, 也可能取决于开关的位置。

5)约束方程:根据电气网络的网络拓扑结构, 利用节点的基尔霍夫电流定律, 确定约束方程。如果没有约束方程, 则${A_u}=0$, 这与无约束的拉格朗日模型一致。

6)运动微分方程:将上面步骤中的有关项代入约束欧拉-拉格朗日方程(3), 选择电感电流和电容电压作为系统的状态变量, 进而得到系统的状态空间模型。

需要指出的是, 在上面的步骤中, 由于选取所有的动态元件作为研究对象, 对于常态电路, 电感电流和电容电压都是独立的, 都可以作为电路的状态变量, 这时, 状态变量数即等于电路中的电容元件和电感元件的总数。但是, 对于非常态电路, 具有纯电容回路或者纯电感割集(或者二者兼而有之)的电路, 电路的状态变量数小于电路中的电容元件和电感元件的总数, 利用约束方程可以得到系统的最低阶状态描述^[15]。

3 应用举例 3.1 Ćuk型变换器

Ćuk型变换器也称为直流升压-降压变换器, 既能实现DC/DC升压变换, 又可实现降压变换, 广泛地应用于分布式电源、功率因数校正和电机拖动中^[16], 其主电路如图 2(a)所示, 由电感器L₁和L₂、电容器C₁和C₂、半导体开关器件T (IGBT)以及二极管D组成。为了简化分析, 这里假设电流连续模式(CCM), 这时将开关器件T和二极管D用单开关u来表示, 取值为1或0, 各元件的电流参考方向如图 2(b)中所示。通过这个例子, 拟说明约束欧拉-拉格朗日方程在含有单开关的电力变换器网络中的应用。

第1步, 选择广义坐标, $\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_{{L_1}}}, \; {q_{{C_1}}}, \; {q_{{L_2}}}, \; {q_{{C_2}}}]^{\rm{T}}}$和$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}={[{\dot q_{{L_1}}}, \; {\dot q_{{C_1}}}, \; {\dot q_{{L_2}}}, \; {\dot q_{{C_2}}}]^{\rm{T}}}$, 其中q表示广义电荷向量, $\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$表示电流向量。

第2步, 求拉格朗日函数:

$ \begin{array}{c} L(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = {{W'}_{{\rm{mag}}}}({{\dot q}_{{L_1}}},{{\dot q}_{{L_2}}}) - {W_e}({q_{{C_1}}},\;{q_{{C_2}}})\\ = \frac{1}{2}{L_1}\dot q_{{L_1}}^2 + \frac{1}{2}{L_2}\dot q_{{L_2}}^2 - \frac{1}{{2{C_1}}}q_{{C_1}}^2 - \frac{1}{{2{C_2}}}q_{{C_2}}^2。 \end{array} $

第3步, 计算瑞利耗散函数, 即负载电阻所损失的能量为

$ F({\dot q_{{L_2}}},{\dot q_{{C_2}}}) = \frac{1}{2}R{({\dot q_{{L_2}}} - {\dot q_{{C_2}}})^2}。 $

第4步, 外加电源分别为

$ {u_{{q_{{L_1}}}}}{\rm{ = }}\;E,\;{u_{{q_{{C_1}}}}}{\rm{ = }}\;{u_{{q_{{L_2}}}}}{\rm{ = }}\;{u_{{q_{{C_1}}}}}{\rm{ = }}\;0。 $

第5步, 由基尔霍夫电流定律, 可得约束方程

$ - \;(1 - u){\dot q_{{L_1}}} + {\dot q_{{C_1}}} + u{\dot q_{{L_2}}} = 0。 $

可知,

$ \mathit{\pmb{A}}_u^{\rm{T}} = [ - (1 - u),\;1,\;u] $

第6步, 对广义电荷$\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_{{L_1}}}, \; {q_{{C_1}}}, \; {q_{{L_2}}}, \; {q_{{C_2}}}]^{\rm{T}}}$, 分别应用约束欧拉-拉格朗日方程(3), 可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {L_1}{{\ddot q}_{{L_1}}} = - (1 - u)\lambda + E,\\ \frac{1}{{{C_1}}}{q_{{C_1}}} = \lambda ,\\ {L_2}{{\ddot q}_{{L_2}}} = - {R_1}({{\dot q}_{{L_2}}} - {{\dot q}_{{C_2}}}) + u\lambda ,\\ \frac{1}{{{C_2}}}{q_{{C_2}}} = {R_1}({{\dot q}_{{L_2}}} - {{\dot q}_{{C_2}}}),\\ 0 = - (1 - u){{\dot q}_{{L_1}}} + {{\dot q}_{{C_1}}} + u{{\dot q}_{{L_2}}}。 \end{array} \right. $

(4)

如果取状态变量

$ \mathit{\boldsymbol{x}} = {({x_1},{x_2},{x_3},{x_4})^{\rm{T}}} = {\left( {{{\dot q}_{{L_1}}},\frac{1}{{{C_1}}}{q_{{C_1}}},{{\dot q}_{{L_2}}},\frac{1}{{{C_2}}}{q_{{C_2}}}} \right)^{\rm{T}}}, $

由方程(4)可以得到电路的状态方程:

$ \left\{ \begin{array}{c} {{\dot x}_1} = - (1 - u)\frac{{{x_2}}}{{{L_1}}} + \frac{E}{{{L_1}}},\\ {{\dot x}_2} = (1 - u)\frac{1}{{{C_1}}}{x_1} - u\frac{1}{{{C_1}}}{x_3},\\ {{\dot x}_3} = u\frac{1}{{{L_2}}}{x_2} - \frac{1}{{{L_2}}}{x_4},\\ {{\dot x}_4} = \frac{1}{{{C_2}}}{x_3} - \frac{1}{{{R_1}{C_2}}}{x_4}\;。 \end{array} \right. $

(5)

3.2 三相三线PWM整流器

随着PWM变流技术的发展, 在应用领域已经出现多种类型的PWM变换器。三相三线PWM整流器是电压型PWM变换器, 其主电路的拓扑结构如图 3(a)所示。为了建立数学模型, 做如下假设: 1)电压为三相平衡正弦电压; 2)滤波电感是线性的, 不考虑饱和; 3)开关管为理想开关, 无导通关断延时, 无损耗。这样, 可以得到如图 3(b)所示的等效电路, 图中u₁, u₂和u₃表示整流器的开关函数,

${u_i}(i={\rm{a, b, c}})=1$(上桥臂导通, 下桥臂关断),

${u_i}(i={\rm{a, b, c}})=0$(下桥臂导通, 上桥臂关断)。

这样, 3个桥臂导通和关断组合起来有8种开关状态, 可采用矢量形式表示:

$ \begin{array}{c} \mathit{\boldsymbol{u}}_s^3 = [{U_0},\;...,\;{U_7}]\\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&0&0&0&1&1\\ 0&0&1&1&1&0&0&1\\ 0&0&0&0&1&1&1&1 \end{array}} \right]\;. \end{array} $

(6)

图 3中, u_a, u_b和u_c为三相对称的电源相电压, 考虑到三相电压的平衡。即有

$ \left\{ \begin{array}{l} {u_{\rm{a}}} = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t)\;,\\ {u_{\rm{b}}} = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t - \phi )\;,\\ {u_{\rm{c}}} = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t + \phi )\;, \end{array} \right. $

(7)

和

$ {u_{\rm{a}}} + {u_{\rm{b}}} + {u_{\rm{c}}} = 0, $

(8)

其中, $\phi=(2{\rm{\pi }}/3)(rad)$, U_m是交流相电压的幅值, ω为交流角频率。由于三相对称, ${R_1}={R_2}={R_3}=R$和${L_1}={L_2}={L_3}=L$分别为滤波电抗器的电阻和电感, C为直流侧电容; R_L为负载。图 3中没有画出中性线, 暗含了基尔霍夫电流约束。下面, 仍然采取给出的约束欧拉-拉格朗日方程模型的建立过程来讨论。

选择广义电荷$\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_{{L_1}}}, \; {q_{{L_2}}}, \; {q_{{L_3}}}, \; {q_C}]^{\rm{T}}}$和广义电流$\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_{{L_1}}}, \; {q_{{L_2}}}, \; {q_{{L_3}}}, \; {q_C}]^{\rm{T}}}$。电路的拉格朗日函数为

$ \begin{array}{c} L(\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = {{W'}_{{\rm{mag}}}}({{\dot q}_{{L_1}}},\;{{\dot q}_{{L_2}}},\;{{\dot q}_{{L_3}}}) - {W_e}({q_C})\\ = \frac{1}{2}L\sum\limits_{k = 1}^3 {{{\dot q}_{{L_k}}}} - \frac{1}{{2C}}q_C^2, \end{array} $

瑞利耗散函数为

$ F = \frac{1}{2}{R_L}{\left( {\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}{{\dot q}_{{L_k}}}} - {{\dot q}_C}} \right)^2} + \frac{1}{2}R\sum\limits_{k = 1}^3 {\dot q_{{L_k}}^2} , $

外加电源分别为

$ {u_{{q_{{L_1}}}}}{\rm{ = }}\;{u_{\rm{a}}},\;\;{u_{{q_{{L_2}}}}}{\rm{ = }}\;{u_{\rm{b}}},\;\;{u_{{q_{{L_3}}}}}{\rm{ = }}\;{u_{\rm{c}}},\;\;{u_{{q_C}}}{\rm{ = }}\;0。 $

约束方程有两个:第一个为电压源约束, 由于三相电压平衡, 有

$ {u_{\rm{a}}} + {u_{\rm{b}}} + {u_{\rm{c}}} = 0; $

第二个为基尔霍夫电流约束, 对于中性线在三相对称时, 没有电流流过, 有

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = {\dot q_{{L_1}}} + {\dot q_{{L_2}}} + {\dot q_{{L_3}}} = 0。 $

因此有

$ {A^{\rm{T}}}({\mathit{\pmb{q}}}) = [1,\;1,\;1,\;0]。 $

对广义电荷$\mathit{\boldsymbol{q}}={[{q_{{L_1}}}, \; {q_{{L_2}}}, \; {q_{{L_3}}}, \; {q_C}]^{\rm{T}}}$, 分别应用约束欧拉-拉格朗日方程(3), 可得

$ \left\{ \begin{array}{l} L{{\ddot q}_{{L_1}}} = - R{{\dot q}_{{L_1}}} - {R_L}\left( {\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}{{\dot q}_{{L_k}}}} - {{\dot q}_C}} \right){u_1} + \lambda + {u_{\rm{a}}},\\ L{{\ddot q}_{{L_2}}} = - R{{\dot q}_{{L_2}}} - {R_L}\left( {\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}{{\dot q}_{{L_k}}}} - {{\dot q}_C}} \right){u_2} + \lambda + {u_{\rm{b}}},\\ L{{\ddot q}_{{L_3}}} = - R{{\dot q}_{{L_3}}} - {R_L}\left( {\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}{{\dot q}_{{L_k}}}} - {{\dot q}_C}} \right){u_3} + \lambda + {u_{\rm{c}}},\\ \frac{1}{C}{q_C} = {R_L}\left( {\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}{{\dot q}_{{L_k}}}} - {{\dot q}_C}} \right),\\ 0 = {{\dot q}_{{L_1}}} + {{\dot q}_{{L_2}}} + {{\dot q}_{{L_3}}},\\ 0 = {u_{\rm{a}}} + {u_{\rm{b}}} + {u_{\rm{c}}}\;。 \end{array} \right. $

(9)

由方程(9), 可以得到

$ \lambda = \frac{1}{{3C}}{q_C}\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}} 。 $

如果取状态变量

$ {\mathit{\pmb{x}}} = {({x_1},\;{x_2},\;{x_3},\;{x_4})^{\rm{T}}} = {\left( {{{\dot q}_{{L_1}}},\;{{\dot q}_{{L_2}}},\;{{\dot q}_{{L_3}}},\;\frac{1}{C}{q_C}} \right)^{\rm{T}}}, $

由方程(9)可以得到电路的状态方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = \frac{1}{L}\left[ {{u_{\rm{a}}} - R{x_1} - \left( {{u_1} - \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}} } \right){x_4}} \right],\\ {{\dot x}_2} = \frac{1}{L}\left[ {{u_{\rm{b}}} - R{x_2} - \left( {{u_2} - \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}} } \right){x_4}} \right],\\ {{\dot x}_3} = \frac{1}{L}\left[ {{u_{\rm{c}}} - R{x_3} - \left( {{u_3} - \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 1}^3 {{u_k}} } \right){x_4}} \right],\\ {{\dot x}_4} = \frac{1}{C}{u_1}{x_1} + \frac{1}{C}{u_2}{x_2} + \frac{1}{C}{u_3}{x_3} - \frac{1}{{{R_L}C}}{x_4}\;。 \end{array} \right. $

(10)

其中, 对于三相三线PWM整流器, $\frac{1}{3}{x_4}\sum\limits_{k=1}^3 {{u_k}} $相当于零序电压, 不产生电流, 也不产生功率, 可忽略不计。

4 Ćuk型电力变换器工作波形仿真分析

为了证明本文给出的由约束欧拉-拉格朗日方程得到系统状态方程模型方法的有效性, 在MAT-LAB中利用式(5)对Ćuk型电力变换器进行仿真, 仿真参数见表 1。

运用状态方程模型(式(5)), 数值计算采用四阶Runge-Kutta方法, 设定好初始条件和开关器件的占空比D, 就可以得到变换器的动态响应数据。控制变换器运行时, 需要改变开关器件占空比D, 变换器会经历一段暂态过程, 最终达到稳定状态。

设置占空比D=5/12=0.417, 这时的仿真工作波形如图 4所示。从图 4中的电感电流波形可以看出变换器工作于电流连续模式(CCM)下, 在一个周期中, 随着电力电子开关的通断, 储能元件要经历充电和放电阶段。输出电压U_o实际上就是电容U_C2两端的电压, 是有一定脉动的直流电压, 由仿真结果计算U_o平均值为71.26 V, 而由理论公式^[17]

计算的结果为

$ {U_{\rm{o}}} = \frac{D}{{1 - D}}{U_{\rm{d}}} = \frac{{5/12}}{{1 - 5/12}} \times 100 = 71.42\;{\rm{V}}。 $

此时, 由于占空比D < 0.5, 输出电压低于输入电压, 为电压降低的情况。输出电压仿真结果与理论计算的结果的相对误差为0.22%。

设置占空比D=2/3=0.667, 这时的工作波形如图 5所示。同样, 变换器也是工作于电流连续模式(CCM)下, 由仿真结果计算U_o平均值为201.16 V, 而由常用的理论公式计算的结果为

$ {U_{\rm{o}}} = \frac{D}{{1 - D}}{U_{\rm{d}}} = \frac{{2/3}}{{1 - 2/3}} \times 100 = 200\;{\rm{V}}{\rm{。}} $

这时, 由于占空比D > 0.5, 输出电压高于输入电压, 为电压升高的情况。输出电压仿真结果与理论计算的结果的相对误差为0.58%。

从图 4和5给出的两种占空比下的仿真计算结果可以看出, 由约束欧拉-拉格朗日方程给出的状态方程模型与理论计算的结果基本上吻合, 证明了这种建模方法的有效性。需要指出的是, 我们在讨论时, 为了便于说明建模过程, 分析的是比较典型的电力变换器的运行的情况, 在实际应用中, 运用这种方法还可以根据需要建立更为复杂的模型, 从而满足电力变换器的控制要求。

5 结论

本文提出一种通用的适用于具有开关电路的电力变换器的动力学模型, 利用受基尔霍夫电流约束的欧拉-拉格朗日方程, 研究系统动态元件的储存能量, 最终可以得到状态方程模型。通过将此方法运用于两个实际的电力变换器的建模分析中, 可以看出, 不论是具有单开关还是多个开关的电力变换器建模过程都是统一的, 步骤清晰, 同时得到状态方程模型结果, 可以进一步应用于电力变换器的控制中。最后, 由建模方法得到的状态方程模型, 对Ćuk型电力变换器进行仿真, 给出有关的工作波形, 仿真结果与理论计算的结果基本上吻合, 验证了该方法的有效性。因此, 本文给出的方法可以为研究复杂电力变换器的动力学问题提供一种有效的建模工具。