1935年哥本哈根高等技术学校理论力学教授Nielsen^[1]给出一类完整系统的动力学方程, 后人称其为Nielsen方程。文献[2-7]推广了Nielsen方程。然而, 至今没有一个有效方法来积分Nielsen方程, 或研究其解的稳定性。分析力学一般都研究力学系统的稳定性, 如文献[8-9]。梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究^[10]。McLachlan等^[11]研究了各类梯度系统。有关约束力学系统与梯度系统关系的研究已有一些结果, 如文献[12-15]。但是, 在这些研究中, 梯度系统中的矩阵和函数都不含时间。如果梯度系统中的矩阵或函数包含时间t, 则称其为广义梯度系统。有两类广义梯度系统对研究系统解的稳定性特别有用:一类是广义斜梯度系统, 另一类是具有对称负定矩阵的广义梯度系统。本文将完整系统和非完整系统的Nielsen方程在一定条件下化成这两类广义梯度系统, 并利用广义梯度系统的性质来研究Nielsen方程解的稳定性。

1 两类广义梯度系统

一类是广义斜梯度系统, 其微分方程为

$ {\dot x_i} = {b_{ij}}(t, x)\frac{{\partial V(t, x)}}{{\partial {x_j}}}(i, \;j = 1, \;2, \;..., \;m), $

(1)

其中$\mathit{\boldsymbol{x}}=({x_1}, \; {x_2}, \; ..., \; {x_m})$, ${b_{ij}}(t, \; \mathit{\boldsymbol{x}})=-{b_{ji}}(t, \mathit{\boldsymbol{x}})$, 这里及以后同一项中相同的活动指标表示对其求和。如果b_ij和V都不含时间, 那么式(1)给出文献[2]的斜梯度系统。按方程(1)求$\dot V$, 得

$ \dot V = \frac{{\partial V}}{{\partial t}} + \frac{{\partial V}}{{\partial {x_i}}}{b_{ij}}\frac{{\partial V}}{{\partial {x_j}}} = \frac{{\partial V}}{{\partial t}}。 $

(2)

因此, 若V可以成为Lyapunov函数, 例如, 在有解的邻域内是正定的, 且有$\partial V/\partial t < 0, $则由Lyapunov定理知, 解是稳定的。这个重要性质可用来研究可化成广义斜梯度系统的非定常力学系统的解的稳定性。

另一类重要的广义梯度系统是具有对称负定矩阵的广义梯度系统, 其微分方程为

$ {\dot x_i} = {S_{ij}}(t, \;\mathit{\boldsymbol{x}})\frac{{\partial V(t, \;\mathit{\boldsymbol{x}})}}{{\partial {x_j}}}(i, j = 1, 2, \;...\;, m), $

(3)

其中矩阵$ ({S_{ij}}(t, \; \mathit{\boldsymbol{x}}))$是对称负定的。若${S_{ij}}$和$V$都不含时间t, 则式(3)给出文献[2]的梯度系统。按方程(式(3))求$\dot V$, 得

$ \dot V = \frac{{\partial V}}{{\partial t}} + \frac{{\partial V}}{{\partial {x_i}}}{S_{ij}}\frac{{\partial V}}{{\partial {x_j}}}, $

(4)

其中, 右端第二项小于零。因此, 若$V$正定, 且$\partial V/\partial t < 0$负定, 则解是渐近稳定的。这个性质可用来研究可化成广义梯度系统(式(3))的非定常力学系统的解的稳定性。

2 方程的广义梯度表示

研究受有双面理想完整约束的力学系统, 其位形由n个广义坐标${q_s}(s=1, \; 2, \; ..., \; n)$来确定。Nielsen方程为

$ \frac{{\partial \dot T}}{{\partial {{\dot q}_s}}}-2\frac{{\partial T}}{{\partial {q_s}}} = {Q_s}\;\;\;(s = 1, 2, ..., n), $

(5)

其中, $T=T ({q_s}, {\dot q_s}, t)$为系统的动能, $\dot T$为动能对时间的导数, ${Q_s}={Q_s}({q_k}, {\dot q_k}, t)$为广义力。设由方程可解出所有广义加速度, 记为

$ {\ddot q_s} = {\alpha _s}({q_k}, {\dot q_k}, t)\;\;(s, \;k = 1, \;2, \;..., \;n), $

(6)

令

$ {a^s} = {q_s}{\rm{, }}{a^{n + s}} = {\dot q_s}\;\;\;(s = 1, \;2, \;..., \;n), $

(7)

则方程(6)可写成一阶形式:

$ {\dot a^\mu } = {F_\mu }(t, {a^\nu })\;\;\;(\mu, \nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(8)

其中,

$ {F_s} = {a^{n + s}}{\rm{, }}{F_{n + s}} = {\alpha _s}。 $

(9)

如果系统还受有g个双面理想Chetaev型非完整约束:

$ {f_\beta }(t, {q_s}, {\dot q_s}) = 0\;\;\;(\beta = 1, \;2, \;..., \;g), $

(10)

那么运动微分方程有形式

$ \frac{{\partial \dot T}}{{\partial {{\dot q}_s}}}-2\frac{{\partial T}}{{\partial {q_s}}} = {Q_s} + {\lambda _\beta }\frac{{\partial {f_\beta }}}{{\partial {{\dot q}_s}}}\;\;(s = 1, \;2, \;..., \;n), $

(11)

其中${\lambda _\beta }$为约束乘子。由方程(10)和(11), 可在运动微分方程积分之前求出${\lambda _\beta }$为$t, \; \mathit{\boldsymbol{q}}, \; \mathit{\boldsymbol{\dot q}}$的函数:

$ {\lambda _\beta } = {\lambda _\beta }(t, \;\mathit{\boldsymbol{q}}, \;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})\;\;\;\;(\beta = 1, \;2, \;..., \;g), $

(12)

将其代入方程(11), 得

$ \frac{{\partial \dot T}}{{\partial {{\dot q}_s}}}-2\frac{{\partial T}}{{\partial {q_s}}} = {Q_s} + {\mathit{\Lambda} _s}\;\;\;(s = 1, 2, \cdots, n), $

(13)

其中,

$ {\mathit{\Lambda} _s} = {\mathit{\Lambda} _s}(t,\;\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}}) = {\lambda _\beta }(t,\;\mathit{\boldsymbol{q}},\;\mathit{\boldsymbol{\dot q}})\frac{{\partial {f_\beta }}}{{\partial {{\dot q}_s}}} 。 $

(14)

称方程(13)为与非完整系统(10)和(11)相应的完整系统的方程。若运动初始条件满足约束方程(10), 则相应完整系统(13)的解就给出非完整系统的运动。因此, 只需研究方程(13)。由方程(13)可解出所有广义加速度, 记为

$ {\ddot q_s} = {\gamma _s}({q_k}, {\dot q_k}, t)\;\;(s, \;k = 1, \;2, \;..., \;n), $

(15)

令

$ {a^s} = {q_s}, {a^{n + s}} = {\dot q_s}\;\;(s = 1, \;2, \;..., \;n), $

(16)

则方程(15)可写成一阶形式：

$ {\dot a^\mu } = {G_\mu }(t, {a^\nu })\;\;(\mu, \;\nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(17)

其中,

$ {G_s} = {a^{n + s}}{\rm{, }}{G_{n + s}} = {\gamma _s}。 $

(18)

一阶方程(8)或(17)一般还不能成为广义梯度系统(1)或(3)。对于方程(8), 若存在反对称矩阵$({b_{\mu \nu }}(t, \; \mathit{\boldsymbol{a}}))$和函数$V (t, \; \mathit{\boldsymbol{a}})$, 使得

$ {F_\mu } = {b_{\mu \nu }}\frac{{\partial V}}{{\partial {a^\nu }}}\;\;\;(\mu, \;\nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(19)

则它可成为广义斜梯度系统(1)。若存在对称负定矩阵$({S_{\mu \nu }}(t, \; \mathit{\boldsymbol{a}}))$和函数$V (t, \; \mathit{\boldsymbol{a}})$, 使得

$ {F_\mu } = {S_{\mu \nu }}\frac{{\partial V}}{{\partial {a^\nu }}}\;\;\;(\mu, \;\nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(20)

则它可成为广义梯度系统(3)。类似地, 若有

$ {G_\mu } = {b_{\mu \nu }}\frac{{\partial V}}{{\partial {a^\nu }}}\;\;(\mu, \;\nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(21)

则方程(17)可成为广义斜梯度系统(1)。若有

$ {G_\mu } = {S_{\mu \nu }}\frac{{\partial V}}{{\partial {a^\nu }}}\;\;(\mu, \;\nu = 1, \;2, \;..., \;2n), $

(22)

则方程(17)可成为广义梯度系统(3)。

如果条件(19)~(22)不满足, 可选其他一阶形式, 例如, 取

$ {a^s} = {q_s}{\rm{, }}{a^{n + s}} = A(t){q_s} + B(t){\dot q_s}, $

(23)

其中A和B待定, 以便化成广义梯度系统。

3 算例

例1  单自由度系统的动能和广义力分别为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{1}{2}{{\left[{\dot q(2 + \sin t) + q\cos t} \right]}^2}, }\\ {Q = \left\{ { -q{{(2 + \sin t)}^3}\left( {1 + \frac{1}{{1 + t}}} \right) + 3\dot q\cos t -q\sin t} \right\}(2 + \sin t), } \end{array} $

其中各量已无量纲化, 试建立Nielsen方程并研究零解的稳定性。

解  经计算, 有

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\dot T = [\dot q(2 + \sin t) + q\cos t][\ddot q(2 + \sin t) + 2\dot q\cos t-q\sin t], }\\ \begin{array}{l} \frac{{\partial \dot T}}{{\partial \dot q}} = 2[\dot q(2 + \sin t) + q\cos t]\cos t + [\ddot q(2 + \sin t) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;2\dot q\cos t-q\sin t](2 + \sin t), \end{array}\\ {\frac{{\partial T}}{{\partial q}} = [\dot q(2 + \sin t) + q\cos t]\cos t, } \end{array} $

Nielsen方程

$ \frac{{\partial \dot T}}{{\partial \dot q}}-2\frac{{\partial T}}{{\partial q}} = Q $

给出

$ \ddot q =-q{(2 + \sin t)^2}\left( {1 + \frac{1}{{1 + t}}} \right) + \dot q\frac{{\cos t}}{{2 + \sin t}}。 $

令

$ {a^1} = q{\rm{, }}{a^2} = \frac{{\dot q}}{{2 + \sin t}}, $

则有

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot a}^1} = {a^2}(2 + \sin t)\;, }\\ {{{\dot a}^2} =-{a^1}(2 + \sin t)\left( {1 + \frac{1}{{1 + t}}} \right)}。 \end{array} $

它可写成形式

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot a}^1}}\\ {{{\dot a}^2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{2 + \sin t}\\ {-(2 + \sin t)}&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^1}}}}\\ {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^2}}}} \end{array}} \right), $

其中矩阵是反对称的, 而

$ V = \frac{1}{2}{({a^1})^2}\left( {1 + \frac{1}{{1 + t}}} \right) + \frac{1}{2}{({a^2})^2}, $

这是一个广义斜梯度系统。$V$在${a^1}={a^2}=0$的邻域内正定, 且有

$ \frac{{\partial V}}{{\partial t}} =-\frac{1}{2}{({a^1})^2}\frac{1}{{{{(1 + t)}^2}}} < 0。 $

因此, 零解${a^1}={a^2}=0$稳定。

例2  单自由度系统的动能和广义力分别为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{1}{2}{{\left[{\dot q(1 + t) + q} \right]}^2}, }\\ \begin{array}{l} Q = 2\dot q(1 + t) - {(1 + t)^2}\{ q(1 + t)[(2 + t)(2 + \sin t) + \cos t] + \\ \;\;\;\;\;\dot q[(1 + t)(2 + \sin t) + 2 + t]\}, \end{array} \end{array} $

试建立Nielsen方程并研究零解的稳定性。

解    Nielsen方程

$ \frac{{\partial \dot T}}{{\partial \dot q}}-2\frac{{\partial T}}{{\partial q}} = Q $

给出

$ \begin{array}{l} \ddot q =- q(1 + t)[(2 + t)(2 + \sin t) + \cos t] - \\ \;\;\;\;\;\dot q[(1 + t)(2 + \sin t) + 2 + t]\;。 \end{array} $

令

$ {a^1} = q{\rm{, }}{a^2} = \dot q + q(1 + t)(2 + \sin t), $

则方程可写成一阶形式

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot a}^1} =-{a^1}(1 + t)(2 + \sin t) + {a^2}, }\\ {{{\dot a}^2} = {a^1}(2 + \sin t)-{a^2}(2 + t)\;}。 \end{array} $

它可写成形式

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot a}^1}}\\ {{{\dot a}^2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-(1 + t)}&1\\ 1&{-(2 + t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^1}}}}\\ {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^2}}}} \end{array}} \right), $

其中矩阵是对称负定的, 函数$V$为

$ V = \frac{1}{2}{({a^1})^2}(2 + \sin t) + \frac{1}{2}{({a^2})^2}, $

这是一个广义梯度系统(3)。$V$在${a^1}={a^2}=0$的邻域内正定, 且$\dot V$负定。因此, 零解${a^1}={a^2}=0$是渐近稳定的。

例3  系统的动能, 广义力和非完整约束分别为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{1}{2}(\dot q_1^2 + \dot q_2^2), }\\ {{Q_1} =-\frac{{15}}{4}{q_1}{{(1 + t)}^2}-5{{\dot q}_1}(1 + t) + \frac{{5{{\dot q}_1}}}{{4(1 + t)}}{\rm{, }}{Q_2} =-\frac{1}{2}{{\dot q}_1}, }\\ {f = {q_1} + {{\dot q}_1} + 2{{\dot q}_2} = 0, } \end{array} $

试建立Nielsen方程, 并研究零解的稳定性。

解  Nielsen方程(11)给出

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\ddot q}_1} =-\frac{{15}}{4}{q_1}{{(1 + t)}^2}-5{{\dot q}_1}(1 + t) + \frac{{5{{\dot q}_1}}}{{4(1 + t)}} + \lambda, }\\ {{{\ddot q}_2} =-\frac{1}{2}{{\dot q}_1} + 2\lambda, } \end{array} $

解得

$ \lambda = \frac{3}{4}{q_1}{(1 + t)^2} + {\dot q_1}(1 + t)-\frac{{{{\dot q}_1}}}{{4(1 + t)}}。 $

将之代入第一个方程, 得

$ {\ddot q_1} =-3{q_1}{(1 + t)^2}-4{\dot q_1}(1 + t) + \frac{{{{\dot q}_1}}}{{1 + t}}。 $

令

$ {a^1} = {q_1}{\rm{, }}{a^2} = 2{q_1} + \frac{{{{\dot q}_1}}}{{1 + t}}, $

则有

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot a}^1} = (1 + t)({a^2}-2{a^1}), }\\ {{{\dot a}^2} =-(1 + t)(2{a^2}-{a^1}), } \end{array} $

它可写成形式

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot a}^1}}\\ {{{\dot a}^2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-(1 + t)}&0\\ 0&{-(1 + t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^1}}}}\\ {\frac{{\partial V}}{{\partial {a^2}}}} \end{array}} \right), $

其中矩阵是对称负定的, 函数V为

$ V = {({a^1})^2} + {({a^2})^2}-{a^1}{a^2}, $

这是一个广义梯度系统(3)。V在${a^1}={a^2}=0$的邻域内正定, 且$\dot V$负定。因此, 零解${a^1}={a^2}=0$是渐近稳定的。

4 结论

本文将非定常Nielsen方程, 无论完整的, 还是非完整的, 在一定条件下化成广义梯度系统(1)或(3), 并使梯度系统中的函数V成为Lyapunov函数, 这样就可借助广义梯度系统的性质来研究这类力学系统的解的稳定性。