图1 未考虑时滞路径跟踪控制系统在时滞影响下的响应原理
Fig. 1 Response principle of the path tracking control system without considering the time delay under the influence of the time delay
北京大学学报(自然科学版) 第62卷 第2期 2026年3月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 62, No. 2 (Mar. 2026)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2025.075
国家重点研发计划(2023YFC3806603)和中国博士后科学基金(2022M710354)资助
收稿日期: 2025–02–05;
修回日期: 2025–08–02
摘要 为提高信号时滞影响下类车机器人路径跟踪控制的精确性, 提出一种基于多步运动补偿的控制方法。首先, 通过分析现有路径跟踪控制系统和单步运动补偿路径跟踪控制系统在信号时滞影响下的响应原理, 提出多步运动补偿原理和基于多步轨迹预测的运动补偿算法。然后, 将多步运动补偿方法分别与模型预测控制方法(MPC)和 PID 控制算法相结合, 构建面向类车机器人的路径跟踪控制系统。最后, 利用 MATLAB 与Carsim 联合仿真, 在不同工况下对所提控制系统进行仿真验证。在所有仿真结果中, 所提控制系统的位移误差幅值不超过 0.0787m, 具有较高的精确性。相比单步运动补偿方法, 在随机信号时滞的平均长度为 0.2s 时, 多步运动补偿方法可将位移误差幅值减小 20.61%以上; 在随机信号时滞的平均长度为 0.4s 时, 则可以减小53.04%以上。此外, 对于定位误差等外界扰动, 基于多步运动补偿的路径跟踪控制方法具有较强的鲁棒性, 缩短控制周期可以进一步提升多步运动补偿方法的效果。
关键词 类车机器人; 路径跟踪; 信号时滞; 运动补偿; 预测控制
近年来, 移动机器人的应用日渐广泛[1]。相较于差动机器人等其他类型的移动机器人, 类车机器人具有行驶速度快、承重能力强等优势[2–3], 已在制造、物流、建筑、采矿和军事等领域得到非常广泛的应用。路径跟踪控制模块是类车机器人控制系统中至关重要的部分, 其功能是使类车机器人行驶时尽量靠近参考路径。从理论上讲, 由于运动结构的相似性, 面向无人驾驶车辆的路径跟踪控制方法都可以用于类车机器人。然而, 类车机器人还具有零部件标准化程度低、行驶路径曲率大等特点[4–5], 因此专门针对类车机器人路径跟踪控制的研究逐渐增多[4–11]。这些研究成果对提高类车机器人路径跟踪控制的精确性和平顺性具有重要意义, 但尚未探讨信号时滞带来的影响。
信号时滞, 也就是控制系统中信号传递所需时间[12–13], 会导致路径跟踪控制系统误差增大, 甚至控制失败。在针对无人驾驶车辆或其他类型移动机器人的路径跟踪控制研究领域, 已经有一些研究者针对信号时滞问题展开研究。这些工作大多旨在解决某种特定路径跟踪控制方法受信号时滞影响的问题, 涉及的控制方法包括纯跟踪控制[14–15]、模型预测控制(model predictive control, MPC)[16–19]、LQR (linear quadratic regulator)控制[20]、滑模控制(sli-ding mode control, SMC)[21–22]、鲁棒控制[23–25]、状态反馈控制[26]、异步增益调度控制(asynchronous gain-scheduled control)[27]和 PID(proportional integral derivative)控制[28]等。因此, 大多数针对信号时滞的处理方法不具备面向不同控制方法的通用性, 只有单步运动补偿方法同时在纯跟踪控制系统和 MPC系统中得到应用[14,16–17]。单步运动补偿方法可被视为常用于其他时滞系统控制的 Smith 预估器[29–32]的时域变体。该方案认为被控对象在时滞期间内会继续运行, 因此将上一控制周期得到的控制信号代入被控对象模型, 预测被控对象在时滞后的位置, 并将该位置代入控制器, 求解控制信号。这种方法一般假设控制信号在时滞期间不发生改变, 但忽略了在实际路径跟踪控制系统中, 控制器在每个控制周期都会产生新的控制信号, 因此预测获得的被控对象在时滞后的位置通常不够精确, 以致基于单步运动补偿的路径跟踪控制器精确性较差[19]。
针对上述问题, 本研究首先通过引入时滞期间的多个控制信号, 提出多步运动补偿算法, 然后将其分别与 MPC 和 PID 控制方法相结合, 形成考虑时滞影响的类车机器人路径跟踪控制系统, 最后通过MATLAB 与 Carsim 联合仿真, 验证多步运动补偿方法的有效性。
未考虑信号时滞影响的路径跟踪控制系统和单步运动补偿算法是多步运动补偿算法的理论基础。在时滞的影响下, 现有路径跟踪控制系统会出现图1 所示现象, 即当参考路径从直线变为弯道时, 类车机器人继续向前直行一段距离后才开始转弯。产生这种现象的原理是, 类车机器人行驶至 A 点时, 控制器产生的控制信号, 在其行驶至 D 点时才起作用, 而只有当类车机器人行驶到 C 点时, 控制器才产生转弯的控制信号, 类车机器人行驶至 F 点时才会转弯。
单步运动补偿方法是将上一控制周期得到的控制信号代入被控对象, 通过数学模型预测被控对象时滞后所在位置, 并使用该位置求解新的控制信号。如图 2 所示, 当类车机器人行驶到 A 点时, 单步运动补偿算法利用上一个控制周期的直行控制信号, 预测类车机器人时滞后的位置为 A′, 此时控制器产生左转的控制信号。进入下一个控制周期, 即类车机器人行驶到 B 点时, 单步时滞算法利用上一个控制周期的左转控制信号, 预测类车机器人时滞后的位置为 B′, 此时控制器产生右转的控制信号。当类车机器人行驶到 E 点和 F 点时, 由于控制器在B 点和 C 点产生的控制信号的作用, 可能出现误差增大乃至蛇行和失控现象。
多步运动补偿方法是按照时滞范围内的控制周期数进行多次迭代预测, 并根据预测获得的时滞后类车机器人所在位置, 求解新的控制信号。如图 3所示, 当类车机器人行驶到 A 点时, 多步运动补偿算法利用过去的多个直行控制信号, 预测时滞后类车机器人到达 A′点, 随后控制器产生左转控制信号。当类车机器人行驶到 B 点时, 多步运动补偿算法利用过去的多个直行信号和上一步产生的左转控制信号, 预测时滞后类车机器人到达 B′点, 控制器再次产生左转信号。依此类推, 当类车机器人行驶到 E 点和 F 点时, 由于控制器在 B 点和 C 点产生的控制信号的作用, 会持续左转, 因此比在一般路径跟踪控制系统和基于单步运动补偿的路径跟踪控制系统控制下更接近参考路径。
图1 未考虑时滞路径跟踪控制系统在时滞影响下的响应原理
Fig. 1 Response principle of the path tracking control system without considering the time delay under the influence of the time delay
图2 单步运动补偿路径跟踪控制系统在时滞影响下的响应原理
Fig. 2 Response principle of the single-step motion compensation path tracking control system under the influence of the time delay
图3 多步运动补偿路径跟踪控制系统在时滞影响下的响应原理
Fig. 3 Response principle of the multi-step motion compensation path tracking control system under the influence of the time delay
由于类车机器人通常采用非标轮胎, 其轮胎刚度等参数较难获取, 且类车机器人行驶速度相对较小, 一般不会进入轮胎的非线性区域, 因此可以采用运动学模型作为运动补偿算法的设计基础。考虑到类车机器人左右侧运动特性一致, 可以将运动学模型简化为图 4 所示单轨运动学模型, 其公式表达形式为
, (1)其中, l为前后轴之间的轴距。模型可以被抽象为矢量形式:
(2)
其中,
参考非线性 MPC 的轨迹预测方法[33–34], 利用欧拉法将上述抽象模型离散为如下形式:
, (3)
其中, t表示时刻, 
表示类车机器人当前位置, 
表示类车机器人在一个控制周期之后的位置, 
表示当前起作用的控制信号, T表示控制周期。
由于时滞的影响, t时刻实际起作用的控制信号是控制器在 t−τ时刻产生的, 即在离散系统中,
, (4)其中, 
表示当前已经被暂存的控制信号, τ表示时滞。
δ表示前轮转角, θ表示航向角, v表示速度, P表示控制点(即后轴中心), x和y分别表示控制点的横坐标和纵坐标, XoY表示全局坐标系
图4 类车机器人运动学模型
Fig. 4 Kinematic model of car-like robots
若时滞与控制周期的比值取整后为 n, 则共需要迭代 n步:
(5)其中, 
是时滞后类车机器人的位置,
是
时刻产生的控制信号。暂存控制信号与控制器在各时刻产生的控制信号的对应关系为
(6)
在多种 MPC 路径跟踪控制方法中, LMPC 具有实时性好的优势[35–36], 并且可以通过引入预瞄距离来提高其性能[37]。因此, 本文以引入预瞄距离的LMPC 为基础, 构建 MPC 路径跟踪控制系统。在与多步运动补偿算法相结合时, 采用多步运动补偿算法预测的时滞后类车机器人位置作为控制点, 然后以距离该点最近的参考路径点为基础, 选取其前方一段距离的参考路径点作为关键参考点来进行线性展开:
(7)其中,
下角标 lr 表示 LMPC 控制系统中的关键参考点信息。对式(7)进行离散化, 并且为了保证平顺性, 对状态量进行扩增, 可得
(8)其中,
I 表示单位矢量。对式(8)进行迭代, 即可获得预测模型:
(9)
其中, i表示第 i次预测, p为预测步数, c为控制步数。式(9)可以改变为如下矩阵形式:
(10)其中，
对于 LMPC 控制器, 其优化目标是使得预测状态的加权平方和最小。因此, 可将优化目标函数设计为
, (11)其中, Q为权重。将式(10)转化为标准型并加入系统约束, 可得
(12)
其中,
下角标 lim 表示极限值。求解优化目标函数(式(12))获取的最优序列的第一个值与上一个控制信号之和, 即为当前控制周期的控制信号。
PID 控制是一种经典路径跟踪控制方法[31,38]。为了提高其精确性, 本文引入预瞄信息, 即寻找距离控制点最近的参考路径点前方一段距离的参考路径点作为关键参考点, 并以控制点和关键参考点之间的位移误差和航向误差作为计算控制律的依据。
PID 控制律一般包含两部分, 其中一部分由航向误差解算获得:
, (13)式中, 
表示航向偏差权重;下角标 h 表示航向, pr表示 PID 控制系统中的关键参考点信息。另一部分由位移误差解算获得:
(14)
其中,
表示位移偏差权重, e表示偏差, 下角标 d表示位移。最终, PID 控制的控制律为
。 (15)
为验证本文提出的基于多步运动补偿的路径跟踪控制系统的性能, 我们基于 MATLAB R2020a 和CarSim 2017.1 开展联合仿真测试, 测试软件部署于处理器型号为 Intel(R) Core(TM) i5-10200H CPU @ 2.40GHz 的 Dell G15 5510 型计算机上。在仿真系统中, 被控的类车机器人模型由 CarSim 提供, 其轴距设置为 2m, 前轮转角极限为 0.524rad, 前轮转角速度极限为 0.262rad/s。控制器采用 MATLAB 搭建。仿真测试中采用直线和圆弧组成的 U 型弯道作为参考路径, 圆弧部分的直径为 30m。联合仿真测试结果分为两组, 第一组为对多步运动补偿 MPC 控制系统的测试结果, 第二组为对多步运动补偿 PID 控制系统的测试结果。
考虑到不同的路径跟踪控制系统可能存在不同长度的信号时滞, 因此第一组仿真测试结果再分为两个部分, 其中第一部分的平均信号时滞长度为0.2s, 第二部分的平均信号时滞长度为 0.4s。
由于实际信号时滞具有动态性, 路径跟踪控制系统搭建完成后, 其信号时滞常在固定范围内波动, 因此在信号时滞中加入随机量, 使实际信号时滞值保持在 0.18～0.22s 或 0.38～0.42s, 结果如图 5所示。
3.1.1 平均信号时滞长度为 0.2s 时 MPC 控制系统仿真结果(第一组)
本组仿真引入多组对照, 包括基于单步运动补偿的 MPC 控制系统和无运动补偿的 MPC 控制系统。此外, 为了证明无运动补偿 MPC 控制算法在时滞系统中性能较差的主要影响因素是信号时滞, 给出无运动补偿的 MPC 控制算法在无信号时滞理想系统中的仿真结果。各 MPC 控制器的预测步数均设置为 30, 控制步数均设置为 2, 权重矩阵均设置为 diag{5, 5, 10, 1}, 预瞄距离设置为 0.15m。考虑到外界扰动的影响, 在时滞系统仿真中加入随机定位误差, 误差范围为−0.01～0.01m。控制系统的控制周期设置为 0.05s。
本组仿真结果如图 6 所示。其中, 将基于多步运动补偿的控制系统标记为“多步补偿”, 将基于单步运动补偿的控制系统标记为“单步补偿”, 将无运动补偿的控制系统标记为“无补偿”, 将无运动补偿MPC 控制算法在无时滞理想系统中的仿真结果标记为“无补偿无时滞系统”。
图 6(a)和(b)显示, 基于多步运动补偿和单步运动补偿的 MPC 控制器均能够控制类车机器人在信号时滞的影响下完成路径跟踪, 而无运动补偿的MPC 控制下的类车机器人偏离参考路径, 被认定为控制失败。同时, 无运动补偿的 MPC 控制算法在无时滞的理想系统中可以控制类车机器人完成路径跟踪。
位移误差是类车机器人控制点与参考路径的最小距离, 航向误差是类车机器人与最近参考点之间的航向差值。图 6(c)和(d)显示, 多步运动补偿 MPC控制器的位移误差幅值和航向误差幅值均较小, 作为主要精度指标的位移误差幅值不超过 0.0408m, 平均绝对值为 0.0108m, 比单步运动补偿MPC 控制系统的对应指标分别减小 25.55%和 38.29%。同时, 多步运动补偿 MPC 控制器的位移误差与无运动补偿 MPC 控制器在无时滞理想系统中的位移误差接近, 表明多步运动补偿很好地消除了信号时滞的影响。此外, 仿真结果表明定位误差等外界扰动对多步运动补偿方法影响较小。图 7 展示多步运动补偿MPC 和单步运动补偿 MPC 的控制信号, 直观地显示随机信号时滞对控制信号的影响。
图5 随机时滞影响下的方波信号以及各时刻对应的时滞量
Fig. 5 Square wave signals under the influence of random time delay and the corresponding time delay at each moment
图6 多步运动补偿 MPC 控制系统第一组仿真结果
Fig. 6 Results of the first group of simulations of MPC system with multi-step motion compensation
3.1.2 平均信号时滞长度为 0.4s 时 MPC 控制系统仿真结果(第二组)
本组仿真的对照组设置及参数设置与第一组基本上一致。为了测试不同控制周期的影响, 本组的主要仿真工作采用 0.1s 的控制周期。由于 MPC 的预测步数与控制周期构成预测时域, 预测时域对MPC 性能的影响较大, 为保障较好的控制性能, 将预测步数改成 10。
图7 运动补偿 MPC 控制系统第一组仿真控制信号
Fig. 7 Control signal of the first group of simulations of MPC system with motion compensation
图8 多步运动补偿 MPC 控制系统第二组仿真结果
Fig. 8 Results of the second group of simulations of MPC system with multi-step motion compensation
图9 运动补偿 MPC 控制系统第二组仿真控制信号
Fig. 9 Control signal of the second group of simulations of MPC system with motion compensation
本组仿真结果(图 8)显示, 基于多步运动补偿和单步运动补偿的 MPC 控制器均能够控制类车机器人在信号时滞的影响下完成路径跟踪, 然而, 无运动补偿的 MPC 控制下的类车机器人偏离参考路径, 被认定为控制失败。
图 8(c)和(d)显示, 多步运动补偿 MPC 控制器的位移误差幅值和航向误差幅值均较小, 作为主要精度指标的位移误差幅值不超过 0.0787m, 平均绝对值为 0.0133m, 比单步运动补偿 MPC 控制系统的对应指标分别减小 53.04%和 61.89%。同时, 多步运动补偿 MPC 控制器的位移误差与无运动补偿MPC 控制器在无时滞理想系统中的位移误差接近, 表明多步运动补偿很好地消除了信号时滞的影响。从误差的角度还可以发现, 单步运动补偿 MPC 控制系统的蛇行振荡较明显, 与图 2 所示原理相吻合。此外, 对照第二组与第一组仿真的结果可知, 系统的信号时滞长度越大, 多步运动补偿方案相对于单步运动补偿方案的优势就越明显。图 9 展示多步运动补偿 MPC 和单步运动补偿 MPC 的控制信号, 直观地显示随机信号时滞对控制信号的影响。
为了进一步厘清信号时滞长度和控制周期的影响, 我们还测试了平均信号时滞长度为 0.4s, 控制周期为 0.05s 时多步运动补偿与单步运动补偿的效果, 限于篇幅, 只对位移误差进行对比(图 10)。多步运动补偿 MPC 控制器的位移误差幅值较小, 最大值为 0.0448m, 平均绝对值为 0.0118m, 比单步运动补偿 MPC 控制系统的对应指标分别减小 82.09%和 89.38%。结合图 8 可知, 当信号时滞长度固定时, 控制周期越小, 多步运动补偿方案相对于单步运动补偿方案的优势就越明显。结合第一组仿真测试结果可知, 多步运动补偿方案对信号时滞长度的鲁棒性较强, 在不同长度的信号时滞影响下均可实现较高精度的路径跟踪控制。单步运动补偿方案的效果则随着信号时滞长度的增加而迅速恶化。同时, 取较小的控制周期有助于使多步运动补偿方案实现更好的效果, 但是会对单步运动补偿方案产生不利的影响。
图10 多步运动补偿 MPC 控制系统附加仿真结果
Fig. 10 Additional simulation results of MPC system with multi-step motion compensation
3.2.1 平均信号时滞长度为 0.2s 时 PID 控制系统仿真结果(第一组)
本组仿真引入基于单步运动补偿的 PID 控制系统和无运动补偿的 PID 控制系统作为对照组, 也给出无运动补偿的 MPC 控制算法在无信号时滞理想系统中的仿真结果。各 PID 控制器的 k1 值取为 3, k2 值取为 1.8, 预瞄距离取 0.5m。考虑到外界扰动的影响, 在时滞系统仿真中加入随机定位误差, 误差范围为−0.01～0.01m。控制系统的控制周期设置为 0.05s。
图 11(a)和(b)显示, 基于多步运动补偿和单步运动补偿的 PID 控制器均能够控制类车机器人在信号时滞的影响下完成路径跟踪, 而无运动补偿的PID 控制下的类车机器人偏离参考路径, 被认定为控制失败。同时, 无运动补偿的 PID 控制算法在无时滞的理想系统中可以控制类车机器人完成路径跟踪。图 11(c)和(d)显示, 多步运动补偿 PID 控制器的位移误差幅值和航向误差幅值均较小, 作为主要精度指标的位移误差幅值不超过 0.0416m, 平均绝对值为 0.0089m, 比单步运动补偿 PID 控制系统的对应指标分别减小 20.61%和 37.76%。同时, 多步运动补偿 PID 控制器的位移误差与无运动补偿 PID控制器在无时滞理想系统中的位移误差接近, 表明多步运动补偿很好地消除了信号时滞的影响。据此可知, 定位误差等外界扰动对多步运动补偿方法的影响较小。
3.2.2 平均信号时滞长度为 0.4s 时 PID 控制系统仿真结果(第二组)
本组仿真的对照组设置和参数设置与第一组基本上一致, 只将控制周期改为 0.1s。
图 12(a)和(b)显示, 基于多步运动补偿和单步运动补偿的 PID 控制器均能够控制类车机器人在信号时滞的影响下完成路径跟踪, 而无运动补偿的PID 控制下的类车机器人偏离参考路径, 被认定为控制失败。图 12(c)和(d)显示, 多步运动补偿 PID控制器的位移误差幅值和航向误差幅值均较小, 作为主要精度指标的位移误差幅值不超过 0.0599m, 平均绝对值为 0.0132m, 比单步运动补偿 PID 控制系统的对应指标分别减小 61.20%和 66.07%。同时, 多步运动补偿 PID 控制器的位移误差与无运动补偿PID 控制器在无时滞理想系统中的位移误差接近, 表明多步运动补偿很好地消除了信号时滞的影响。从误差的角度还可以发现, 单步运动补偿 PID 控制系统的蛇行振荡较明显, 与图 2 所示原理相吻合。此外, 对照两组仿真测试结果可知, 系统的信号时滞长度越大, 多步运动补偿方案相对于单步运动补偿方案的优势就越明显。
图11 多步运动补偿 PID 控制系统第一组仿真结果
Fig. 11 Results of the first group of simulations of PID system with multi-step motion compensation
图12 多步运动补偿 PID 控制系统第二组仿真结果
Fig. 12 Results of the second group of simulations of PID system with multi-step motion compensation
本文提出具有较强通用性的基于多步运动补偿的类车机器人时滞路径跟踪控制方法, 构建基于多步运动补偿的 MPC 路径跟踪控制系统和基于多步运动补偿的 PID 路径跟踪控制系统, 并在时滞环境下对两种系统进行联合仿真测试。根据仿真结果, 得到以下结论。
1 )信号时滞对路径跟踪控制存在较严重的影响。无运动补偿的 MPC 控制方法和 PID 控制方法均可以在无时滞理想系统中取得较好的控制效果, 但在有时滞的仿真系统中, 无运动补偿的 MPC 控制方法和 PID 控制方法无法完成路径跟踪。
2 )基于多步运动补偿的路径跟踪控制方法能够在信号时滞的影响下控制类车机器人完成路径跟踪, 并且取得较高的控制精确性。其中, 基于多步运动补偿的 MPC 路径跟踪控制系统的位移误差幅值不超过 0.0787m, 基于多步运动补偿的 PID 路径跟踪控制系统的位移误差不超过 0.0599m。这些结果表明, 本文提出的多步运动补偿方法能够保证基于MPC 和 PID 等不同控制方法的类车机器人路径跟踪控制系统在信号时滞影响情况下具有较高的精确性。
3 )基于多步运动补偿的路径跟踪控制方法比基于单步运动补偿的路径跟踪控制方法具有更高的精确性。相对于基于单步运动补偿, 基于多步运动补偿的 MPC 控制系统可以在平均信号时滞长度为0.2s 时将位移误差幅值减小 25.55%, 在平均信号时滞长度为 0.4s 时将位移误差幅值减小至少 53.04%, 基于多步运动补偿的 PID 控制系统则可以在这两种工况下将位移误差幅值分别减小 20.61%和 61.20%。此外, 多步运动补偿可以较好地避免单步运动补偿可能导致的振荡, 进而导致的精度恶化问题。
4 )对于不同的路径跟踪控制方法、不同的信号时滞长度、一定范围内的信号时滞长度随机性以及定位误差等外界扰动, 基于多步运动补偿的路径跟踪控制方法具有较强的鲁棒性。因此, 相对于对信号时滞长度比较敏感的单步运动补偿方案, 信号时滞长度越大, 多步运动补偿的优势就越明显。同时, 选取较小的控制周期有助于使多步运动补偿方案实现更好的效果, 但是会对单步运动补偿方案产生不利的影响。
虽然本文提出的基于多步运动补偿的路径跟踪控制方法在 MATLAB-Carsim 联合仿真中展现出良好的效果, 但是尚需在复杂环境下进行实物验证, 以便进一步评估其实时性能以及系统的资源消耗。
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Time-Delay Path Tracking of Car-Like Robots Based on Multi-Step Motion Compensation
Abstract A control method based on multi-step motion compensation is proposed to enhance the accuracy of path tracking control for car-like robots in the presence of signal time delay. By analyzing the response of existing path tracking control systems and those based on single-step motion compensation to signal time delay, we propose the multi-step motion compensation principle and develop a motion compensation algorithm based on multi-step trajectory prediction. Subsequently, integrating the multi-step motion compensation method with model predictive control (MPC) and proportional-integral-derivative (PID) control algorithms, we develop two distinct path tracking control systems for car-like robots. Joint simulations using MATLAB and Carsim under various working conditions show that the displacement error amplitude of the proposed systems remains below 0.0787 m, indicating high accuracy. When the average signal time delay is 0.2 s, the multi-step method reduces the displacement error amplitude by over 20.61% compared with the single-step method. When the delay is 0.4 s, the reduction exceeds 53.04%. Additionally, the path tracking control method based on multi-step motion compensation is robust against external disturbances like positioning errors, and shortening the control period can further improve its performance.
Key words car-like robot; path tracking; signal time delay; motion compensation; predictive control