如式(1)所示:北京大学学报(自然科学版) 第62卷 第1期 2026年1月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 62, No. 1 (Jan. 2026)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2025.054
收稿日期: 2025–01–24;
修回日期: 2025–05–08
摘要 在多项 Logit (MNL)模型中, 属性自变量变动幅度较大情况下, 采用属性自变量原值处点弹性值近似实际弹性时, 预测选择概率变化幅度存在不可忽略的一阶余项误差。针对这一问题, 首先基于方式选择概率函数的一阶 Taylor 公式, 推导出实际弹性的一阶 Lagrange 余项, 并求得一阶余项绝对值的最大值及最值点; 然后在给定余项–点弹性比误差限的情况下, 在属性自变量原值邻域, 以一阶余项–点弹性比绝对值上限不超误差限为约束, 系统地推导出采用自身及交叉点弹性值近似实际弹性时, 预测选择概率变化幅度的适用邻域解析形式, 充分保证选择概率变化幅度的预测精度; 最后通过数值实验, 选取公交车、小汽车和自行车 3 种备选方式, 以公交票价为属性自变量, 验证了适用邻域理论推导的正确性。
关键词 MNL模型; 点弹性; 属性变量; 误差分析; Taylor公式
多项 Logit (Multinomial Logit, MNL)模型是广泛应用于交通出行行为研究领域的离散选择模型[1], 点弹性分析是模型应用中的关键内容[2], 可用于定量分析交通方式、出行路径等选择概率对效用函数中属性自变量的边际敏感性, 其公式解析形式简单, 计算便捷[3]。弹性分析对交通运营者预判与决策起关键作用, 故在兼顾预测便捷性和考虑预测精度限制的前提下, 在属性自变量原值点邻域处采用点弹性值近似实际弹性时, 明确预测选择概率变化幅度的属性自变量变动限值, 成为理论研究和实践应用的核心问题之一。
当前, 离散选择模型弹性研究集中于广义极值模型框架内, 这类模型具有封闭形式的选择概率表达式[4], 易于导出相关模型弹性解析式。相关研究主要着眼于特定广义极值离散选择模型弹性解析式的理论推导[5]和单属性自变量变动情况下方式选择概率敏感性的度量[6]。对于弹性解析式的理论推导, 研究者主要关注自身点弹性[7]和交叉点弹性[8], 反映属性自变量对选择概率的相对影响。
在离散选择模型弹性解析式理论推导方面, McFadden[9]运用积分理论, 导出 MNL 模型的选择概率解析形式, 为后续广义极值系列模型弹性理论奠定了基础。随后, 研究者开始探讨层次结构对弹性估计的影响, 并衍生出分层弹性的概念。Wen 等[10]运用一阶导数理论, 导出具有一般形式的交叉嵌套 Logit (Crossed Nested Logit, CNL)模型的弹性解析式, 建立兼容 MNL 和嵌套 Logit(Nested Logit, NL)模型的通用弹性理论体系。
在单属性自变量变动情况下方式选择概率敏感性度量方面, 尹超英等[11]运用弹性分析法, 采用MNL 模型并通过弹性分析, 研究土地混合度对居民出行行为的影响。姚恩建等[12]运用弹性分析法, 针对采用 NL 模型的通勤出行行为模型, 以票价费用为自变量, 开展方式选择概率–费用弹性分析。肖清榆等[13]运用弹性分析法, 针对采用 CNL 模型的货车出行行为模型, 以出行费用为自变量, 开展方式选择概率–费用弹性分析。此类弹性应用研究为运营方和相关政策制定方提供了重要参考。
上述研究聚焦于 MNL 模型点弹性理论推导与特定应用场景的点弹性值测算, 但未对给定预测相对精度下, 在属性自变量原值点邻域采用点弹性值与自变量变化幅度之积来近似地预测选择概率变化幅度适用的邻域半径予以定量化推导, 忽略了实际弹性一阶 Taylor 公式余项的误差效应。同时, 对于特定属性自变量微小变动值, 往往凭借工程经验来判定是否采用点弹性值近似地计算选择概率变动幅度, 缺乏定量依据, 预测值的精度亦不能保证。
本文首先基于 Taylor 展开法, 推导实际弹性公式的一阶余项解析式、最值点与绝对值的最大值, 继而在给定余项–点弹性比误差限的情况下, 考虑富裕精度, 推导在属性自变量原值邻域采用点弹性值近似实际弹性, 近似地预测选择概率变化幅度的适用邻域解析形式; 最后用一个简单的交通出行案例, 验证理论推导的正确性。
MNL 模型是交通出行行为研究领域广泛应用的经典离散选择模型。基于随机效用最大化理论, 若各备选方式效用误差项服从独立同分布(indepen-dent and identically distributed, IID)的 Gumbel 分布, 备选方式间满足独立不相关(independence of irrele-vant alternatives, IIA)假设, 则备选方式 i 的被选择概率如式(1)所示:
, (1)
其中, u为方式i效用函数的系统效用
中某个属性自变量, 
为方式j效用函数的系统效用, 
为不同于方式i和j的某方式k的效用函数的系统效用。备选方式j的被选择概率
的计算公式为
。 (2)
通常用线性形式表示:
, (3)
其中, q和a 为线性效用函数中的参数。
为便于表示选择概率函数 Taylor 展开的一阶余项形式, 进而刻画在属性自变量原值点邻域采用点弹性近似实际弹性时预测选择概率变化幅度的相对误差, 令
,
,
则备选方式i的被选择概率可简化为
, (4)
备选方式j的被选择概率可简化为
。 (5)
记属性自变量原值为
, 变化后的值为 x。自身选择概率弹性实际值
如式(6)所示:
; (6)
交叉选择概率弹性实际值
如式(7)所示:
(7)
当
→
时, 自身选择概率弹性实际值→
, 因此可采用近似自身选择概率弹性实际值, 并预测 Pi(x)相对于 Pi(x0)的变化幅度。的计算方法[10]如下:
(8)
当 x→时, 交叉选择概率弹性实际值→
, 因此可采用近似交叉选择概率弹性实际值, 并预测 Pj(x)较 Pj(x0)的变化幅度。的计算方法[10] 如下:
(9)
记的一阶余项为
, 则与的定量关系为
=
+
; (10)
记的一阶余项为
, 则与的定量关系为
=+。 (11)
在属性自变量原值邻域, 采用
近似自身选择概率弹性实际值并预测 Pi(x)相对于 Pi(x0)的变化幅度时, 预测结果误差值与近似计算值之比为/。为使余项–点弹性比绝对值位于预测精度限定的e(e>0)内, 需找到e下可忽略影响的最大属性自变量值邻域半径 δi(δi>0), 使得式(12) 成立:
, (12)
则当 x∈[x0−δi, x0+δi]邻域时, 可用公式(x−x0)/x0× 100%, 近似地计算自身选择概率变化幅度[Pi(x)− Pi(x0)]/Pi(x0)×100%, 且保证近似计算结果满足预测精度要求。
在属性自变量原值邻域, 采用近似交叉选择概率弹性实际值
并预测 Pj(x)相对于 Pj()的变化幅度时, 预测结果误差值与近似计算值之比为/。为使余项–点弹性比绝对值位于预测精度限定的e内, 需找到e下可忽略影响的最大属性自变量值邻域半径 δj(δj>0), 使得式(13)成立:
, (13)
则当 x∈[x0-δj,x0+δj]邻域时, 可用公式(x- x0)/x0× 100%, 近似地计算交叉选择概率变化幅度[Pj(x)− Pj(x0)]/Pj(x0)×100%, 且保证近似计算结果满足预测精度要求。
为定量地评估实际弹性公式一阶余项对在属性自变量原值点邻域处采用点弹性近似实际弹性时预测选择概率变化幅度相对误差的影响, 记
[min(x, x0), max(x, x0)], 基于含 Lagrange 余项的 Tay-lor 公式, 引入自身选择概率一阶 Taylor 公式:
(14)
其中, 
由自身选择概率实际弹性定义式可知, 实际弹性基于选择概率 Taylor 公式的计算方法如下:
(15)
则自身选择概率实际弹性一阶余项函数形式如下:
(16)
因 θ2/2 和 x0 (x−x0)/Pi(x0)在给定属性自变量原值、变化后值及参数值下均为定值, 故自身选择概率实际弹性一阶余项函数性质由函数
决定。
交叉选择概率一阶 Taylor 公式为
(17)
由交叉选择概率实际弹性定义式可知, 实际弹性基于选择概率 Taylor 公式的计算公式如下:
(18)
则交叉选择概率实际弹性一阶余项函数形式为
(19)
因 θ2/2 和
(x-)/[1-Pi(x0)]在给定属性自变量原值、变化后值及参数值下均为定值, 故交叉选择概率实际弹性一阶余项函数性质由函数
决定。
通过分析
的导数
,
可知最值点为
和
,
其中, 
为最大值点, 
为最小值点, 与的关系满足
(20)
当 θ>0 时, 的性质如表 1 所示; 当 q<0 时,的性质如表 2 所示。
通过获得一阶余项函数的绝对值的最大值 1/
, 可获得在属性自变量原值点邻域采用点弹性值近似实际弹性时预测选择概率变化幅度的误差上限, 为该预测法适用的属性自变量值邻域建模奠定了基础。
表1 θ>0 时
的性质
Table 1 Property of ri(v) when θ>0
取值单调性 +↑ 0(最大值) −↓ 0(最小值) +↑
表2 θ<0 时的性质
Table 2 Property of ri(v) when θ<0
取值单调性 −↓ 0(最小值) +↑ 0(最大值) −↓
将所得实际弹性一阶余项解析式代入式(12)和(13), 求解对应的不等式, 即可得到在属性自变量原值点邻域采用点弹性值近似实际弹性时预测选择概率变化幅度的适用邻域解析形式。因 Ri(x)/Ti与Rj(x)/Tj形式相似, 可统一表示为
(21)
其中,
采用点弹性近似x0邻域 U(x0)内实际弹性时, 若对于
值, 实际弹性一阶余项–点弹性比绝对值存在上限
, 使得
且 D(x)不超过限值e, 即式
(22)
成立时, 则可保证
亦在 e限值内, 同时充分保证采用点弹性近似实际弹性预测选择概率变化幅度的精度。
基于式(22), 若大正数 M 及
存在, 则在属性自变量原值邻域采用点弹性近似实际弹性的一阶余项–点弹性比绝对值满足
(23)
求解式(23), 可知属性自变量值的适用邻域为
(24)
根据表 1 和表 2 得到的选择概率实际弹性一阶余项函数的性质, 对于
, 总$M>0 使得最值点
, 故有式
(25)
成立, 则在给定
下, 在属性自变量原值邻域, 若采用或
近似地选择概率实际弹性并预测选择概率变化幅度, 适用邻域为
(26)
适用邻域半径为
。 (27)
通过分析解析式的形式可知, 适用邻域半径 δ值只与属性自变量原值、参数值及e值有关, 与属性自变量值无关, 且在邻域采用自身选择概率点弹性近似实际弹性, 或采用交叉选择概率点弹性近似实际弹性, 预测选择选择概率变化幅度适用的邻域半径值相同。
实际工程应用中, 在给定属性自变量原值、参数值及e值后, 若采用处点弹性值与属性变量变化幅度之积来近似地预测选择概率变化幅度, 首先需要计算适用邻域半径 δ值, 并且判断属性自变量变化后的值是否处于适用邻域中, 若是, 方可开展 预测。
作为交通需求弹性分析的前置环节, 适用邻域分析应用的典型案例是公交票价调节政策效果的评估, 能明确弹性分析结果的适用范围, 从而确保票价调节效果结论的科学性及政策建议的有效性。在此考虑公交车、小汽车及自行车 3 种备选方式。这3 种方式间差异性强, 效用随机项相互独立, 构成MNL 模型选择案例。以公交车的票价 x为被调节属性变量, 其余各方式属性变量及参数均不变, 开展数值实验来验证理论的有效性。如表 3 所示, 设定公交车的效用函数的系统效用形式为 V1(x)=qx+a, 小汽车的效用函数的系统效用形式为 V2, 自行车的效用函数的系统效用形式为 V3。
当公交车的票价优惠或提升较小的值时, 可以通过自身和交叉选择概率–公交票价点弹性值与公交车票价变动幅度之积, 近似地预测公交车选择概率和小汽车选择概率的变化幅度。依据该方法的适用邻域理论, 公交车票价变动值不宜过大。通过式(27)求得适用邻域半径值为 0.0307, 即 1.9693 元≤x≤ 2.0307 元, 当 x处于原值和上下临界值时, 公交车分担率(P1)、小汽车分担率(P2)及自行车分担率(P3)的情况如表 4 所示。继而, 可验证当公交票价提升或降低至适用邻域临界值时, 公交车方式选择概率实际弹性一阶余项–点弹性比的绝对值是否在设定e值范围内, 结果如表 5 所示。
当公交票价处于适用邻域的边界值时, 根据自身点弹性值近似地预测公交车选择概率变化幅度的精度较好, 且均未超过e设定的精度限制, 验证了采用点弹性值近似自身选择概率弹性实际值的适用邻域理论的正确性。
同理, 可验证当公交票价提升或降低至临界值时, 小汽车方式选择概率实际弹性一阶余项–点弹性比的绝对值是否在设定e值范围内, 结果如表 6 所示。
表3 数据设定
Table 3 Data setting
变量或参数设定值 q−1.5385 x0/元2 a−0.1 V2−3.0435 V3−3.5135 e0.01
表4 临界票价下的方式分担率
Table 4 Mode share under critical fare
邻域半径值/元 x0=20.35000.40400.2500 x = 1.9693(下临界值)0.36080.39330.2458 x = 2.0307(上临界值)0.33930.40660.2541
表5 根据自身点弹性值近似地预测选择概率变化幅度的适用邻域理论验证结果
Table 5 Theoretical verification of applicable neighborhood for approximately predicting change amplitude of choice probability by own point elasticity value
公交票价/元/%/% 1.9693−2.000−2.0139|0.0070|<ε 2.0307−2.000−1.9856|−0.0072|<ε
说明:
。
表6 根据交叉点弹性值近似地预测选择概率变化幅度的适用邻域理论验证结果
Table 6 Theoretical verification of applicable neighborhood for approximately predicting change amplitude of choice probability by cross point elasticity value
公交票价/元Tj/%/% 1.96931.07721.0845|0.0068|<ε 2.03071.07721.0692|−0.0074|<ε
说明:
。
当公交票价处于适用邻域的边界值时, 根据交叉点弹性值, 近似地预测小汽车选择概率变化幅度精度好, 且均未超过设定的精度限制, 验证了采用点弹性值近似交叉选择概率弹性实际值的适用邻域理论的正确性。至此验证了在属性自变量原值邻域, 采用点弹性值近似实际弹性, 预测选择概率变化幅度的适用邻域理论的正确性。
1)适用邻域半径值只与属性自变量原值、参数值及设定的相对误差限值有关, 与变动的属性自变量值无关。
2)在 MNL 模型属性自变量原值邻域, 采用自身选择概率点弹性值近似实际弹性, 或采用交叉选择概率点弹性值近似实际弹性, 两者预测的选择概率变化幅度的适用邻域半径相同。
参考文献
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Applicable Neighborhood of Point Elasticity Approximating Actual Elasticity in Multinomial Logit Model
Abstract When the variation range of attribute independent variables is large in the Multinomial Logit (MNL) model, using the point elasticity value at the original value of the attribute independent variable to approximate the actual elasticity leads to a non-negligible first-order remainder error in the predicted change range of the choice probability. To address this issue, the first-order Lagrange remainder of the actual elasticity is derived based on the first-order Taylor formula of the mode choice probability function, and the maximum value and the extremum point of the absolute value of the first-order remainder are obtained. Then, given the error limit of the remainder-point elasticity ratio, within the neighborhood of the original value of the attribute independent variable, with the constraint that the upper limit of the absolute value of the first-order remainder-point elasticity ratio does not exceed the error limit, the analytical form of the applicable neighborhood for predicting the change range of the choice probability is systematically derived when using the own- and cross-point elasticity values to approximate the actual elasticity, which fully ensures the prediction accuracy of the change range of the choice probability. Finally, through numerical experiments, by taking three alternative modes of bus, car, and bicycle, and by using the bus fare as the attribute independent variable, the correctness of the theoretical derivation of the applicable neighborhood is verified.
Key words MNL model; point elasticity; attribute variable; error analysis; Taylor formula