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北京大学学报(自然科学版) 第62卷 第1期 2026年1月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 62, No. 1 (Jan. 2026)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2025.122
国家自然科学基金(U2541232, U24B6005)资助
收稿日期: 2024–11–26;
修回日期: 2024–12–10
摘要 针对螺栓连接结构在装配拧紧过程中复杂的螺纹接触造成的理论建模困难问题, 提出一个精细化建模方法。通过建立装配扭矩模型, 得出拧紧扭矩与预紧力之间的关系。根据拧紧过程中螺栓拉伸和扭转平衡微元分析, 获得螺栓本体的拉伸和扭转微分方程。结合拧紧过程中螺栓与螺母螺纹接触点的变形协调条件和边界条件, 得到完整的螺栓拧紧应力分布模型。针对正向设计需要解析模型的需求, 基于小变形假设, 在初始构形保持不变的情况下得到螺栓载荷和变形分布的解析解, 并进一步推导获得简化的解析解。通过仿真拧紧过程中的应力分布, 得到指定扭矩下的螺杆载荷和位移分布曲线。通过对比, 数值解结果与解析解高度一致, 可为紧固件的正向设计提供理论基础。
关键词 螺栓拧紧; 装配扭矩模型; 载荷分布; 螺杆变形
在航空航天等高精度工程中, 多螺栓法兰因其优异的连接刚度和密封性能, 成为不可或缺的关键基础部件。多螺栓法兰盘螺栓规格的选择以及在法兰盘上的布局对装配和工作过程中的应力分布有重要影响。为了缓解应力集中现象, 需依据力学模型进行螺栓及其布局的优化设计。因此, 在紧固件强度校核过程中, 螺纹应力的精确解析成为迫切的需求。然而, 由于螺纹间接触和摩擦的复杂性, 很难得到精确的解析结果。因此, 本研究在小变形的假设条件下, 对问题进行简化处理。
很多学者对螺栓螺纹接触问题做了较全面的研究。Sopwith[1]提出一种被广泛接受的载荷分布模型。在该模型中, 螺纹之间的载荷被视为作用在螺纹横截面中间的集中力。螺栓和螺母螺纹中的变形分为 3 个部分: 1)螺栓和螺母螺纹的弯曲挠度; 2)螺栓和螺母螺纹径向压缩引起的轴向变形; 3)螺栓径向收缩引起的轴向变形, 以及螺栓与螺母之间的径向压力引起的螺母变形。Yamamoto[2]进一步扩展对螺纹截面变形的分析, 将弹性变形分为 5 种类型: 弯曲变形(δ1)、剪切变形(δ2)、螺纹根部倾斜变形(δ3)、螺纹根部剪切变形(δ4)以及径向膨胀变形(螺母)和径向收缩变形(螺栓)(δ5)。Nassar 等[3]提出内螺纹和外螺纹的 5 种压力分布模型。Stoeckly 等[4]研究了锥形螺纹对载荷分布的影响。
在螺栓应力分布的实验研究方面, Goodier[5]使用引伸计测量螺母的径向和轴向变形, 结果表明螺栓自由端或中间的载荷很小, 但集中在载荷端附近。Goodier 的实验以及早期的光弹性研究都有一定的局限性, 因为他们的实验模型无法准确地表示螺母和螺栓的 3D 几何形状。Hetenyi[6]使用一系列坚果进行 3D 光弹性实验, 发现加载面附近的应力趋于减小, 该现象与 Sopwith[1]的模型和 Goodier[5]的实验形成鲜明的对比, 这些实验显示了抛物线增加的胎面。Brown 等[7]使用一种名为 Fosterite 的新型光弹性材料重复 Hetenyi 的实验, 结果表明螺母加载面的载荷降低, 与 Hetenyi[6]和 Kenny 等[8]的实验结果一致。这种降低可能归因于螺母和螺栓上的螺纹在受载荷面上没有完全成型, 因此导致螺纹的刚度和负载能力降低。
Brutti[9]使用有限元(FE)软件研究螺栓应力。Maruyama[10]采用 FE 分析和镀铜方法研究螺母螺栓接头中的应力。Xu 等[11]采用 Yamamoto[2]的方法研究套管螺纹接头的应力分布, 建立二维有限元模型, 理论结果与 FE 模拟结果基本上一致。Lu 等[12]将由 Yamamoto 模型[2]和 3D 有限元模型获得的应力分布进行比较, 结果表明两种方法的载荷和应力分布基本上相同。
以往的研究建立了螺栓轴向应力分布理论模型, 但未考虑实际装配过程中拧紧扭矩的增加对应力分布的影响。之前的实验和仿真中, 添加轴向力来模拟预紧力, 但没有考虑装配过程的复杂性。为了解决这些问题, 本文结合 Yamamoto 螺纹变形模型[2], 考虑装配拧紧过程中的扭转和拉伸变形, 研究螺栓紧固件在装配过程中的应力分布。此外, 针对正向设计中需要解析模型的需求, 基于合理的假设, 推导螺栓载荷和变形分布的解析解, 以期为紧固件正向设计提供理论基础。
在螺栓装配过程中, 拧紧扭矩 T等于螺栓头接触扭矩 Tt与螺纹接触扭矩 Tb之和, 拧紧力矩的分析原理如图 1 所示, 其中 lm1为连接件长度, lm2为螺母长度, lm3为螺栓自由段长度。
为了求解螺栓头接触扭矩, 针对螺栓头接触表面做如下假设: 1)忽略被连接件刚度; 2)螺栓头接触应力均匀分布。接触表面摩擦力矩[13]的计算公 式为
(1)
其中, μt表示螺栓头接触面摩擦系数, rt表示等效接触半径。由于接触应力均匀分布, rt可表示为
, (2)
其中, 
表示螺栓头半径, ri 表示螺杆半径。
为求解螺纹接触扭矩, 需要建立描述螺纹接触力的坐标系。用直径为螺纹中径 d2的螺旋线表示螺纹形状。如图 2 所示, e(x, y, z)为整体坐标系, 其坐标原点位于螺栓底部中心, z轴沿螺栓轴向, x轴指向螺旋线的起点。螺旋线上点的局部坐标 e1 (x1, y1, z1)的方向由 e绕 z轴逆时针旋转 θ(螺旋线对应的物质点)得到。局部坐标 e2 (x2, y2, z2)由 e1绕 x1轴逆时针旋转 α(螺纹升角)得到。局部坐标 e3 (x3, y3, z3)由 e2绕 y2轴逆时针旋转 β(牙型半角)得到。
各坐标系之间的转换关系为
,
,
, (3)
(4)
图1 拧紧力矩分析原理
Fig. 1 Tightening torque analysis
图2 螺纹接触坐标
Fig. 2 Coordinate systems on the thread
根据 Yamamoto 模型[2], 假设作用在螺牙表面的接触力为法向力 f以及摩擦力 μf, 则螺纹接触力在e3坐标下可表示为(0, μf, – f), 其中 μ为螺纹摩擦 系数。根据坐标变换, 螺纹接触力在 e1坐标下的轴向分力 fz1和切向分力 fy1可表示为
。 (5)
计算可得
(6)
由于螺纹接触扭矩与轴向力可由 fy1和 fz1积分可得, 因此
, (7)
其中,
,
=d2/2为等效螺纹半径。
因此, 拧紧扭矩 T满足
, (8)
其中,
。
在 Lu 等[12]的研究中, 与螺栓应力相比, 螺母应力非常小。因此, 当仅考虑沿螺栓的应力分布时, 可以忽略螺母的整体压缩变形。
根据 Yamamoto 模型[2], 螺纹接触变形分为 5 种类型: 弯曲变形(δ1)、剪切变形(δ2)、螺纹根部倾斜变形(δ3)、螺纹根部剪切变形(δ4)以及径向膨胀变形(螺母)和径向收缩变形(螺栓)(δ5)[5], 计算公式为
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其中, E为杨氏模量, υ为泊松比, h为螺距线高度, d为螺纹根部宽度, dm为螺距线处的螺纹宽度, dp为螺纹的有效直径, d0为螺母的外径, p为螺距。下角标m 和 s 分别表示螺母和螺栓。因此, 螺栓和螺母的螺纹接触刚度可表示为
, (10)
其中,
,下标 i代表 m(螺母)和 s(螺栓)。
假设被连接件长度为 lm1, 螺母长度为 lm2, 螺栓自由段长度为 lm3。螺栓的整体长度 l = lm1+lm2+ lm3。连接件刚度为 kc, 压缩变形 δc= P/kc, 其中 P为螺栓预紧力。整体坐标系的原点位于螺母底部中心处(图 1)。螺栓与螺母接触点的轴向坐标分别用 zs和 zm表示。在螺栓拧紧过程中, 需满足下述微分 方程。
拉伸平衡方程:
, (11)
其中, 
。结合式(6)可得
, (12)
其中, u为螺栓轴向位移, E为螺栓材料弹性模量, A为螺栓横截面积。
扭转微分方程:
, (13)
其中, 
。结合式(6)可得
, (14)
其中, φ为螺栓转角, G为螺栓材料剪切模量, J为螺栓截面极惯性矩。
在螺栓拧紧过程中, 螺栓和螺母上的接触点满足如下变形条件。
1)接触点占据相同的空间位置。由于螺旋线是一维的, 螺栓和螺母上的物质点分别用轴向坐标(zs, zm)表示。假定连接件刚度为 kc, 连接件压缩变形为 δc, 则
, (15)
其中, δs为螺栓螺纹变形轴向分量, δm为螺母螺纹变形轴向分量。
2)假设参考螺旋线没有变形, 则接触点的对应角坐标相同。螺栓微单元 zs的转角 θs与螺母 zm对应的 θm相等, 即
, (16)
其中, 
。
在边界 zm=0 处, 螺栓的轴向拉力和扭矩均 为0:
。 (17)
在边界 zm=lm2处, 螺栓的位移和扭矩满足式(18):
。 (18)
将变形协调条件与边界条件相结合, 可以得到螺栓在螺纹接触段中的位移和角度。根据螺纹接触扭矩, 可以求解连接段处螺栓的变形信息, 进而推导出整个螺栓的变形。
由于式(12)和(14)是关于自变量为螺栓螺纹接触点坐标 zs的微分方程组, 而边界条件(式(17)和(18))是关于螺栓螺纹接触点坐标 zm, 因此需要进行数值求解。由于 zm与 zs的差距很小, 为了进一步简化模型, 求得解析解, 将边界条件中的边界 zm替换为边界 zs。即在 zs = 0 处, 拉力和扭矩均为 0, 在 zs = lm2处, 扭矩为 Tb, 位移为–Flm1/(EA)。通过变量代换, 可以得到螺栓的轴向位移 u、周向转角 φ、轴力 F以及扭矩 T分布的解析解形式:
(19)
(20)
其中, ks与 km分别为螺栓和螺母的螺纹刚度, α为螺纹升角, β为牙型半角, r为螺栓有效半径, p为螺纹螺距。Tb可通过预紧力和拧紧扭矩计算得到(式(7)和(8)), 轴向位移 u、周向转角 φ、轴力 F以及扭矩T的分布可通过拧紧扭矩得到。
结合式(10), (15)和(19), 可得到螺纹法向接触应力的分布:
, (21)
其中, ap为螺牙的牙型宽度。
根据本文提出的模型, 当螺栓承受的拧紧扭矩和规格已知时, 即可得到整根螺栓全部的载荷和变形分布。本文算例使用 M10 规格的螺栓, 将螺栓头截面视为直径为 16mm 的圆, 拧紧扭矩为 10N·m, 螺纹摩擦系数 μ和螺栓头接触面摩擦系数 μt均为0.1。不同区域螺栓尺寸 lm1, lm2和 lm3 分别为 0.2, 0.3和 0.2mm。在此情况下, 预紧力为 7.12kN。螺栓的具体参数见表 1。
图 3 为螺纹法向接触应力分布的数值解和解析解的对比, 可见解析解与数值解一致, 证明了解析结果的精确性。因此, 后续计算中采用简化模型进行求解。载荷和变形分布如图 4 和 5 所示。可以看出, 整根螺栓上的轴力和扭矩分布呈非线性变化。在自由段, 螺栓不承担任何轴力和扭矩。在螺纹接触段, 轴力和扭矩沿螺杆呈非线性上升。在连接段, 螺杆承受恒定的轴力和扭矩。与此对应, 整根螺栓的变形分布也呈非线性增加的趋势, 其中螺杆在接触段的位移和转角的变化远小于连接段。
因此, 根据螺栓的拧紧扭矩, 可以获得有关螺栓头转角和螺栓自由截面总位移, 为在工程设计中使用角度控制添加螺栓预紧力提供理论支持。
表1 M10螺栓规格
Table 1 Parameters of bolt M10
螺距/mm螺纹有效直径/mm螺纹升角/rad牙型半角/rad杨氏模量/GPa泊松比 1.59π/60π/62060.3
图3 数值解与解析解结果对比
Fig. 3 Comparison of results between numerical and analytical solutions
螺纹接触段的载荷分布与 Yamamoto 模型[2]的对比如图 6 所示。本文使用与 Yamamoto 研究中同样规格的螺栓, 螺栓预紧力为 5000N, 螺纹啮合长度为 50mm。从图 6 可以看出, 本文提出的理论解析结果与 Yamamoto 模型的螺纹载荷分布几乎完全一致, 由此验证了本文模型的正确性。
本文针对螺栓装配过程, 开展轴向力与扭矩分布的理论建模及数值模拟研究, 构建螺栓装配扭矩计算模型, 并确立拧紧扭矩与预紧力之间的线性关联。通过对装配阶段螺栓应力分布特征的建模分析, 得到螺杆的拉伸和扭转微分方程。结合变形协调条件与边界条件, 进一步求解得到螺栓轴向力与位移的分布。面向紧固件正向设计中对解析模型的应用需求, 基于合理的假设, 对应力分布模型进行简化, 最终得到螺栓载荷和变形分布的解析解, 并且与数值解保持较好的一致性, 验证了解析解的精确性, 可为紧固件正向设计提供理论支撑。同时, 通过开展螺栓载荷与位移分布的数值模拟, 将载荷和位移曲线与 Yamamoto 模型[2]结果进行对比, 验证了本文所建模型的正确性。本研究关于螺栓载荷及变形分布的相关结论, 可为实际工程中的螺栓装配工艺提供理论指导, 并为后续螺栓结构的振动特性研究提供初始边界条件。
图4 螺栓轴力与扭矩分布
Fig. 4 Axial force and torque distribution of bolt
图5 螺栓轴向位移分布与转角分布
Fig. 5 Axial displacement and rotation angle distribution of bolt
图6 螺栓轴力分布对比
Fig. 6 Comparison of bolt axial force distribution
参考文献
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Stress Distribution along the Bolt during Tightening Process
Abstract In order to solve the problem of difficult theoretical modeling caused by complex threaded contact in the assembly and tightening process of bolted joint structure, a refined modeling method is proposed. Through the assembly torque model, the relationship between tightening torque and preload is obtained. According to the tensile and torsional equilibrium analysis of the bolt during the tightening process, the differential equations of tension and torsion of the bolt are acquired. Combined with the small deformation conditions and boundary conditions of the bolt and nut thread contact points during the tightening process, a complete stress distribution model is obtained. For the analytical model requirement in forward design, the analytical solution for bolt load and deformation distribution is obtained under the small deformation assumption and unchanged initial configuration, and a simplified analytical solution is further deduced. By simulating the stress distribution during tightening process, the screw load and displacement distribution curves under the specified torque are obtained. Comparison reveals that the numerical solution results are highly consistent with the analytical solution, providing a solid theoretical foundation for the forward design of fasteners.
Key words bolt tightening; assembly torque model; load distribution; screw deformation