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北京大学学报(自然科学版) 第60卷 第5期 2024年9月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 60, No. 5 (Sept. 2024)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2024.064
收稿日期: 2023–09–18;
修回日期: 2023–11–13
摘要 提出一种利用大气背景西风设计最优航线的计算方法, 并给出判定所适用航线的标准, 量化最优航线相较于大圆航线所节省的时间。研究结果表明, 对于一些跨东西半球的航线, 去程和返程都顺着西风飞行比按照原路返回航线所需时间短。以北京与纽约之间的航线为例, 目前采用的去程(北京至纽约)向东顺风, 返程(纽约至北京)向西逆风, 计算结果表明, 如果返程也向东顺风飞行, 所需时间比原路向西逆风飞行短。进一步的分析结果表明, 这种设计对很多跨东西半球城市之间的航线都适用。研究结果可以帮助民航系统优化航线, 减少航空燃油消耗, 节约成本和减少碳排放。
关键词 航空气象; 航线优化; 西风带; 大圆航线
过去几十年, 全球航空业的碳排放量在碳排放总量中的占比约为 2.4%[1–3], 并且这一比例还在不断地增长[4–5]。不同于汽车和火车等交通工具可以用绿色能源替换化石燃料, 受当前技术水平限制, 燃油仍然是航空业可见未来的唯一选择。因此, 通过提高效率来减少燃油消耗是航空业实现碳中和的重要方向之一。
Zermelo[6]首先提出强风条件下最短飞行时间航线问题, 并用变分方法解决这个问题。Bryson Jr等[7]提出邻近最优解, Jardin 等[8]随后将其应用在球坐标系中。球面上两点间最短的距离为大圆轨道, 即经过两点和球心确定的平面与球面相交截出的曲线, 据此设计的大圆航线是两个机场间的最短距离。但是, 在实际飞行中, 由于大气背景风场的影响, 大圆航线却不是耗时最短的。
在民航飞机的巡航高度上, 中纬度西风带的中心风速可达 50～80m/s, 最强可达 100m/s 或以上, 而飞机的巡航速度约为 200m/s, 因此飞机顺风与逆风飞行的时长会有不小的差别。例如, 当前北京与纽约之间典型的向东跨北极航线, 去程(北京至纽约, 如航班 CA981)顺风飞行时长约为 14 小时 41 分钟, 返程(纽约至北京, 如航班 CA982)逆风飞行时长约为 15 小时 21 分钟, 两者相差 40 分钟。文献[9–11]中建议考虑大气背景风场的影响, 从而设计最优航线, 达到耗时最短的效果。例如, 在跨大西洋的纽约–伦敦航线上, 考虑背景风场的最优航线可以比当前实际航线节约 0.7%～17%的飞行时间, 每年可减排二氧化碳约 670 万 kg[12]。
现有的跨东西半球长程航线设计只考虑去程与返程方向相反这一因素, 忽视了飞行时长与大气西风带的关系。例如, 北京与纽约纬度相近, 且都处于西风带, 经度差别接近 180°, 如此长距离的飞行能否利用大气西风带设计航线, 缩短飞行时间? 本研究拟通过计算阐明这一问题。
假设民航飞机在 200hPa 的高度飞行, 在一天的时间尺度上, 高空风场变化不大[13], 本文据此假设用日平均风场进行分析。对于跨半球的长程航线, 飞机起飞后加速至巡航速度用时约 15 分钟, 在降落阶段耗时约 30 分钟。根据 Irvine 等[14]的研究, 在长程航线模拟计算中, 可以合理地忽略起飞和降落阶段带来的时间差异。
在有背景风场的情况下, 飞机相对于地面的飞行速度等于飞机的巡航速度与背景风场风速的矢量之和。大气的背景风场在空间上具有很强的非均匀性, 如何在有大气背景风场的情形下计算最优飞行航线, 前人已有相关研究[15–16]。本研究采用基于球面 Zermelo 方程的计算方法。该方法计算简单, 且计算量小, 已被多个研究者采用[11–12,17]。
球面坐标系下的 Zermelo 方程为
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式中, t 表示时间; λ(t)和 φ(t)分别表示飞机位置的经度和纬度; u(λ, φ)和 v(λ, φ)分别表示背景风场的经向风速(东西向风速, 东向为正)和纬向风速(南北向风速, 北向为正); R 表示地球半径, 为 6371km; V 表示飞机巡航速度, 本研究中设定 V=200m/s; θ(0)表示初始时刻的航向角(正东方向代表 0°, 沿逆时针方向旋转)。若给定初始航向角, 则由式(1)和(2)计算得到下一时刻的经度和纬度, 由式(3)和(4)计算得到下一时刻飞机飞行的最优航向角。因此, 时间向前积分, 即可得到固定风场条件下某初始航向角下的飞行航迹。以猜测的初始航向角 θy (如沿大圆航线飞行的航向角)作为参考, 计算初始航向角为 θ= θy ±40°的情况下此扇形区域内的所有航线, 此航线蔟中经过飞行目的地的航线即为此算法给出的最优航线。
在实际计算中, 如果航线离目的地的最短距离小于 1km, 则认为这条航线经过目的地, 计算扇形初始航向角内各航线的角分辨率为∆θ=0.1°; 若无经过目标地点的航线, 则分辨率增加为∆θ=0.01°, 直至有满足条件的航线出现。
作为对照, 本文也计算沿大圆航线飞行所需时间。飞机在有背景风场条件下沿大圆航线飞行所需时间的计算公式为
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式中, ua 和 va 分别表示飞机飞行的经向和纬向速度, uw 和 vw 分别表示背景风场的经向和纬向速度, dφ 和dλ 分别表示沿大圆航线的一小段距离内纬度和经度的变化。求解方程(5)和(6), 并沿着大圆航线从出发地积分至目的地, 即可得到飞机在背景风场影响下沿大圆航线飞行所需时间。
本研究采用的大气风场资料为 NCEP 再分析资料[18], 所用变量为 1979—2022 年的日平均风场, 水平分辨率为 2.5°×2.5°。为了便于差分方程的计算, 将水平风场线性插值到 0.1°×0.1°的网格点上。
首先, 以上海与纽约之间航线为例进行阐述。图 1(a)展示 2023 年 10 月 16 日的 200hPa 风场以及上海与纽约间实际航线、大圆航线与最优航线的对比, 可以看到北半球高层大气西风盛行; 上海与纽约之间的大圆航线经过北极圈, 跨过国际日期变更线; 当前的实际航线返程(纽约至上海)非常接近大圆航线, 而去程(上海至纽约)有一定程度的偏离。如果考虑背景西风的影响, 则去程的最优航线比大圆航线偏南, 可以更好地利用西风; 返程的最优航线则是继续利用西风, 从纽约出发继续向东, 跨越北大西洋, 绕地球一周回到上海。图 1(b)展示 2022年上海与纽约之间以日风场计算的最优航线, 可以看到类似的结果, 由于去程向东顺风, 最优航线往往偏向大圆航线南边, 从而可以更好地利用西风, 沿着大圆航线平均用时 16 小时 6 分, 而沿着最优航线平均用时 15 小时 49 分(表 1), 可以节约 1.7%的飞行时间。图 1(c)展示纽约至上海(返程)的大圆航线和最优航线, 计算结果表明, 根据当日风场情况, 很多时候向西逆风跨越北极并非最优航线; 相反, 继续向东, 顺风地跨越大西洋和欧亚大陆更省时。这是因为上海与纽约的经度差别接近 180°, 所以向东和向西的地面距离本来就相差不大, 此时顺风与逆风飞行的速度差就可能对飞行时长产生较大的影响。很多时候, 顺风飞行利用大气背景西风所节省的时间就可以弥补地面距离的差距, 从而获得更短的实际飞行时间。计算结果显示, 纽约至上海的最优航线中, 向东飞行的航线占 72%, 平均用时 16 小时 25 分; 向西飞行的航线占 28%, 平均用时 16 小时56 分(表 1)。尽管两者都优于大圆航线的 17 小时 18分, 但显然向东飞行节省的时间更多, 向东的航线能节省 5%的飞行时间, 向西的航线能节省 2%的飞行时间。
(a) 2023 年 10 月 16 日 200 hPa 纬向风速(箭头)以及上海与纽约之间实际航线、大圆航线与最优航线的对比; (b)和(c)分别为上海与纽约之间去程的最优航线(2022 年, 以 8 天为间隔的计算结果)和大圆航线
图1 上海–纽约往返最优航线与实际航线
Fig. 1 Optimal and actual round-trip routes between Shanghai and New York
上述上海与纽约之间最优航线的情形并非特例, 东亚东部的城市与纽约之间的航线都可以得到类似的结果。我们选取北京–纽约、上海–纽约、香港–纽约以及首尔–纽约这 4 条城市间航线进行计算, 与上述分析类似, 把飞机沿大圆航线飞行的情形作为参考, 讨论飞机沿不同航线飞行所节省的飞行时间或飞行距离。结果表明, 去程的最优航线都是向东, 而返程时一年中的很多天数, 最优航线是继续向东, 顺风跨越大西洋, 而非向西(图 2)。可以明显地看到, 沿最优飞行航线飞行总体上比沿大圆航线飞行节省更多的飞行时间, 东行航线比西行航线节省更多的飞行时间。
表1 5座代表性东亚城市与纽约之间最优航线及大圆航线的平均飞行时间
Table 1 Average flight duration of the optimal and the great circle routes between five East Asian cities and New York
出发地目的地最优航线大圆航线 东行西行 北京纽约14h53m (100%)−15h11m 纽约北京14h26m (76%)14h57m (24%)15h00m 上海纽约15h49m (100%)−16h6m 纽约上海16h25m (72%)16h55m (28%)17h18m 首尔纽约14h41m (100%)−14h52m 纽约首尔15h29m (52%)15h42m (48%)16h14m 香港纽约17h22m (100%)−17h52m 纽约香港17h40m (80%)18h28m (20%)18h32m 东京纽约14h00m (100%)−14h10m 纽约东京 16h6m(17%)15h48m (83%)16h30m
说明: 括号内百分数是一年内最优航线为东行航线或西行航线的占比。
最优航线依赖于大气的风场, 而不同季节的风场变化较大, 所以此长程航线的方向也可能存在季节性差异。利用 2013—2022 这 10 年的再分析资料, 每个季节按照 8 天的间隔选取 12 天, 共计 120 个样本来计算最优航线, 并统计东行航线和西行航线的季节性差异, 结果如图 3 所示。纽约至北京航线, 只有夏季东行航线和西行航线的比例持平, 其他季节都是东行航线的占比显著更高; 纽约至首尔航线, 夏季几乎都是西行航线, 其他季节东行航线和西航线的占比几乎持平。上述结果表明, 夏季更偏向西行航线, 冬季更偏向东行航线, 原因在于北半球夏季西风急流较弱, 冬季西风急流较强, 强的西风急流更有利于顺风的东行航线。
虽然能够明显地看到东行顺风航线比西行逆风航线节省更多的飞行时间, 但值得注意的是, 并不是所有风场条件下东行航线都是最优解。如果一年中东行航线占最优航线的的比例很小, 那么它对改进航班路径的意义就很小了。所以, 在表 1 中列出一些东亚主要城市到纽约往返航班的飞行时间及东行最优航线所占比例。
需要说明的是, 本研究模拟过程中设定的飞机巡航速度为 200m/s, 并忽略了起飞和降落阶段的耗时, 所以与实际的航班飞行时间有一些差距。从表1 可以看出, 在纽约飞抵北京、上海和香港的航线中, 东行航线占据很大的比例; 纽约–首尔航线, 东西各占一半; 纽约飞抵东京航线, 东行航线占比不到 20%。上述计算结果表明, 越是偏西的城市, 从纽约返程时最优航线为东行的占比越大。这是因为越是偏西的城市, 与纽约之间向东和向西的最短球面弧线的差距越小, 顺风飞行所节省的飞行时间越有可能超过球面距离的差距。
下面提供一种估算返程可以出现东行最优航线的城市间大概距离的方法。仍然以东亚城市至纽约为例, 与纽约经度相差 180°的经线以东大约 35°范围内(图 4(a)中红色区域)会出现纽约至这些城市最优航线为东行的情况, 且城市所在经线距离该对称经线越远, 其东行航线的占比越小。城市所在的纬度也有一定的影响, 如上海与马尼拉经度相近而纬度相差 15°, 纽约至上海最优航线中东行航线占72%, 纽约至马尼拉最优航线中东行航线占 39%。若经线间距超过 35°, 则纽约至该城市的最优航线几乎都为逆风的西行航线。该经线以西大约 35°范围内(图 4(a)中蓝色区域), 从纽约至这些城市的最优航线一直为东行航线(大圆航线也为东行), 但是从这些城市前往纽约的航线中, 则可能出现最优航线也为东行航线的情形。计算结果同样显示, 越靠近相差 180°的经线, 此情形越常出现, 而 35°范围是可能出现东行航线最优的区域。
纵坐标表示最优航线相对大圆航线所节省的飞行距离, 每个圆圈表示某一天的计算结果, 箱式图的外围范围、正方形范围和中线分别表示非离群值的极值、上下四分位数以及中位数
图2 纽约至东亚城市的最优航线相对于大圆航线所节省的飞行距离
Fig. 2 Optimal flight route savings in distance compared with the great circle route for travel from New York to cities in East Asia
图3 最优航线中东行和西行航线在各季节的占比
Fig. 3 Proportion of eastbound and westbound routes in the optimal flight routes in different seasons
为了验证上述估算结果, 我们做了另外一组东亚城市与芝加哥之间航线的测试, 计算结果(图 4(b))与东亚城市与纽约之间航线(图 4(a))类似, 表明本文结论对多个跨半球城市间的航线都有效。
黑色竖直粗虚线为与纽约(或芝加哥)相差 180°的经线, 粉红色和浅蓝色区域分别为其左右 35°范围, 图例中括号内数字为该城市与纽约(或芝加哥)之间一年中最优航线为东行航线的占比
图4 不同城市最优东行航线的占比
Fig. 4 Proportion of optimal eastbound flight routes to different cities
本研究运用 Zermelo 方程进行定量计算, 模拟跨东西半球航线的飞行时间和飞行距离, 得到如下结论。
1)相对于传统的沿大圆轨道航线, 利用大气背景风场设计的最优航线可以缩短飞行时间, 如上海至纽约的最优航线能节省约 1.7%的飞行时间。
2)对上海与纽约之间这种跨半球航线而言, 返航(纽约至上海)时逆风飞行不利于节省飞行时间, 而应继续向东, 经大西洋环球飞行抵达上海, 这样一直顺风飞行所节省的时间足以抵消球面距离的差异。返程向东的航线能节省 5%的飞行时间, 返程向西的航线能节省 2%的飞行时间。
3)上述结论适用于很多跨东西半球城市间的航线。适用城市的估算方法为, 以一个城市所在经度相差 180°的经度线为中心, 与其东、西两侧 35°经度差范围内的其他城市之间, 都会出现返航时继续向东顺风飞行可以更节省时间的情形, 且距此分界线越近, 最优航线为东行航线的占比越大。
当前已经可以对一周左右的中高层大尺度环流场和风场做出较为精准的预报, 因此可以采用一周左右的预报风场提前确定航线, 从而有足够的时间进行日尺度的最优航线实时调整; 也可以采用一定时段(如年或月)内的平均风场来筛选较优航线。虽然这样制定的航线对每天来说不是最优, 但优于大圆航线, 且方便航空公司的管理。
需要说明的是, 本文在模拟飞行的过程中只考虑风场的影响, 忽略了航线上的天气以及飞机起飞和降落的时间, 因此得出的飞行时间与实际航班的时刻表可能存在一定的差距。但是, 这些额外的因素不会对结论产生影响。航线优化对长程航线效果较好, 而城市间距离较近时收益较小。本研究提出不同于传统思路的跨东西半球最优航线, 提供了计算最优航线的方法, 量化了最优航线所节省的飞行时长。
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Optimal Routes for Cross-Hemispheric Flights under the Influence of Westerly Jet
Abstract This paper proposes a calculation method for designing optimal routes using the atmospheric background westerlies and provides criteria for determining the applicable routes, and quantifies the time saved by the optimal route compared to the great circle route. The results show that for some routes across the Eastern and Western hemispheres, flying time with the westerlies in both directions is shorter than that via the original route. Taking the route between Beijing and New York as an example, the current eastbound route (Beijing to New York) follows the tailwind, while the westbound return (New York to Beijing) flies against the headwind. The calculation results indicate that if the return flight also follows the eastbound tailwind, the required time is shorter than flying westbound against the headwind. Further analysis shows that this design is applicable to many routes between cities across the Eastern and Western hemispheres. The research results can help the civil aviation system optimize routes, reduce aviation fuel consumption, save costs, and reduce carbon emissions.
Key words aviation meteorology; route optimization; westerly jetstream; great circle route
国家自然科学基金(42075146)资助