图1 非椭球形超导腔耦合器结构示意图
Fig. 1 Structure diagram of non-ellipsoidal superconducting cavity coupler
北京大学学报(自然科学版) 第60卷 第5期 2024年9月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 60, No. 5 (Sept. 2024)
doi: 10.13209/j.0479-8023.2024.005
收稿日期: 2023–08–09;
修回日期: 2023–10–12
摘要 基于多物理场耦合分析方法, 建立耦合器的一维失超过程模型, 并解决材料物性和内热源中非线性因素对数值求解精度和稳定性的影响问题。结果表明, 耦合器铌管靠近常温端的漏热是影响失超的关键因素, 延长铌管与液氦接触部分的长度或采用更高 RRR 值的铌材, 均可以有效降低铌管温度。为了保证施加电磁场后耦合器整体不发生失超, 应控制铌管靠近常温端的漏热不高于 5.18W。当此部分漏热量随着时间的推移而失超时, 失超传播速度和失超区域的占比受漏热增长率和漏热量的共同影响。发生失超后, 控制漏热量的变化可以使耦合器重新恢复超导, 延迟时间约为 0.2s。
关键词 加速器; 超导耦合器; 耦合分析; 失超
为了获得更高能量的束流, 对束流进行加速的微波功率和加速梯度越来越高, 对超导加速技术也提出更高的要求[1]。输入耦合器将微波功率从功率源馈入超导腔的部件, 需要保证稳定可靠的功率传输, 确保超导加速器稳定运行[2–3]。输入耦合器(简称耦合器)是低温恒温器中连接室温端(温度为 300K)与低温端(温度为 4.2K 或 2K)的热桥部件, 处于电磁场、热场和流场等多物理场的影响之下, 是低温系统静态和动态热负荷的主要来源之一[4–5]。微波功率在耦合器内导体和外导体金属表面产生的欧姆损耗是导致动态热负荷及其引发的热不稳定的主要原因, 严重的热不稳定会导致超导腔失超和整个加速器停机。热不稳定性是限制耦合器功率提高的重要因素之一, 因此需要对耦合器结构以及冷却方式进行优化, 使其满足热稳定性要求[1]。
非椭球形超导腔的耦合器一般与超导腔直接相连[3,6–7], 末端的电磁波反射可能引起耦合器与超导腔交界部位的发热量增加, 进而影响超导腔的热稳定性, 因此需要格外注意此种耦合器的冷却方式。耦合器在低温区的冷却方式主要包括两种, 分别为热锚传导冷却和冷氦气对流冷却。冷氦气对流冷却的散热能力较强, 常用于动态发热量较大的耦合器结构, 例如欧洲核子研究组织(European Organiza-tion for Nuclear Research, CERN)的 LEP2 耦合器[6]、北京正负电子对撞机重大改造工程(Beijing Electron Positron Collider, BEPCII)的 500MHz 耦合器[8]和高能同步辐射光源(High Energy Photon Source, HEPS)的 166.6MHz 耦合器[9], 也是非椭球形超导腔耦合器的首选冷却方式。
耦合器末端的铌管是超导材料, 从理论上讲, 其产生的动态热量损失几乎可以忽略不计。然而, 随着其他物理场(如电磁场和冷却流场等)的变化, 其温度可能并不总能保持在超导温区内, 因此对铌管的热分析是研究超导耦合器失超过程的核心。超导铌管部分的传热是一个典型的电磁–流–热多物理场问题, 漏场会导致超导铌管的电磁场分布较为复杂, 加上铌的表面电阻随温度变化比较剧烈[10], 如果表面损耗产生的热量不能及时被带走, 会导致铌管的局部温度升高, 引起更大的功率损耗, 从而进一步加剧热量积聚。这些热量传递至超导腔, 会导致超导腔发生热失超。
超导加速器运行中的许多故障是由大功率或大电流操作引起的过热造成的[11]。因此, 在加速器超导射频组件(超导腔和输入耦合器)的设计过程中, 精确的热分析和电磁设计对于射频组件性能的优化和成本的降低至关重要。建立超导耦合器的失超过程模型, 系统地分析影响铌管失超的因素, 可以在热设计阶段对冷却结构、冷氦气流量等关键因素提供有效的理论指导。
本文建立铌管的失超过程模型。该模型考虑了电磁场、流场和热场的强耦合关系, 采用数值模拟方法分析铌管稳态工况下漏热、磁场强度、结构尺寸以及 RRR 值对其温度分布的影响。该模型也能够分析瞬态工况下发生失超时, 铌管温度随时间的变化、失超传播速度、失超区域以及失超恢复所需的条件和时间等。
图 1 为非椭球形超导腔和耦合器的结构示意图。超导腔及耦合器均被集成安装在低温恒温器中, 耦合器末端的铌管被液氦浸泡冷却。耦合器的内导体中间通有冷却水, 可以带走电磁损耗产生的热量, 维持内导体的温度在 300K 左右[12–13], 外导体一般采用表面镀铜的不锈钢制成[9]。铌管温度受上游漏热、液氦冷却、表面电磁损耗和辐射等因素的共同影响。在 HEPS 166.6MHz 超导腔的水平测试过程中, 出现过铌管过热引起的失超现象[9]。
如果铌管上游漏热超过一定的范围, 会使上游温度高于铌的超导转变温度 9.2K, 失超区域的电磁损耗是超导区域的 106 倍[1]。随着热量进一步向超导腔方向移动, 铌管的失超区域会进一步扩大, 情况严重时将导致超导腔失超, 进而威胁到超导加速器的稳定运行。
图1 非椭球形超导腔耦合器结构示意图
Fig. 1 Structure diagram of non-ellipsoidal superconducting cavity coupler
剩余电阻率(residual resistance ratio, RRR)对铌热导率的影响很大, 铌管的材料为高纯铌(RRR> 60)。图 2 给出实验测定的铌(不同的 RRR 值)的热导率随温度的变化曲线[14]。在稳定工况下, NbTi 法兰对铌管温度的分布有较大的影响, 所以在失超模型的稳态工况中, 使用等效热导率进行计算。图 3 给出高纯铌(RRR=300)的比热容和热扩散率。
铌管的传热过程涉及电磁场、流场和热场, 是一个典型的多物理场问题。图 4 给出影响铌管失超的物理参数之间的关系, 可见表面电阻、热导率、比热容与温度互相影响, 对流换热系数也受温度以及热流密度的影响。对这些物理参数的处理方法, 特别是与温度相关的物理参数的处理, 会影响失超过程模型的精度和稳定性。
图2 不同RRR值的铌热导率[14]
Fig. 2 Thermal conductivity of niobium with different RRR values[14]
为了分析铌管的失超特性, 研究上游漏热、电磁场强度对铌管温度的影响和失超传播特征, 本文根据铌管的传热过程建立失超过程模型。图 5 为铌管传热的一维简化模型及边界条件示意图。在失超过程模型中, 表面电磁损耗、对流换热和辐射换热过程均作为内热源进行处理。
液氦浸泡区域(Lc)的毕渥数(Biot 数)量级约为10–2, 当时间间隔 Δt 取 0.1s 时, 傅里叶数(Fo 数)的量级约为 102, 因此可以忽略铌管的径向温度分布, 只关注轴向温度变化。基于以上假设, 铌管的失超过程模型的控制方程如下:
图3 铌的比热容和热扩散率
Fig. 3 Specific heat capacity and thermal diffusivity of niobium
图4 影响铌管失超的物理参数之间的关系
Fig. 4 Relationship between the physical parameters affecting the quench of niobium tube
图5 简化模型及边界条件示意图
Fig. 5 Simplified model and boundary condition diagram
(1)
ρ为材料密度(kg/m3), c(T)为材料比热容(J/(kg·K)), T为温度(K), t为时间(s), k(T)为热导率(W/(m·K))。c(T)和k(T)以及内热源项(PEM+PHe+PR)均是温度的函数, 是影响数值求解稳定的非线性项。研究铌管处于稳态工况的温度分布时, 取
。 (2)
电磁损耗由材料表面电阻以及磁场强度决定:
, (3)
其中, PEM 为表面电磁损耗(W/m2), RS(T)为表面电阻, HRF 为金属表面的磁场强度(A/m)。常导体的表面电阻计算公式为
, (4)
其中, σ(T)为材料电导率(S/m), δ为趋肤深度(m)。
当铌管温度低于9.2K时, 超导体的表面电阻可以通过 BCS 电阻以及剩余电阻[15]描述:
, (5)
, (6)
其中,f 为电磁场频率(GHz); BCS 电阻 RBCS 与材料的特性关系很大; Rres 为剩余电阻, 一般为 10nΩ 的量级。本文将其他因素导致的电阻均包含在剩余电阻项中, 例如材料缺陷等[16–17]。
图 6 给出铌(RRR=300)的电导率和表面电阻随温度的变化。当材料处于超导态时, 表面电阻约在10–8Ω 量级, 电磁损耗近似发生在铌管内表面趋肤深度内, 所以将电磁损耗项作为内热源处理。
图6 铌(RRR=300)电导率和表面电阻随温度的变化
Fig. 6 Temperature dependence of niobium conductivity and surface resistance (RRR=300)
铌管外表面通过液氦沸腾传热带走的热量, 由表面换热系数以及与界面上的温差决定。4K 氦低温系统使用饱和液氦浸泡冷却, 换热模式一般为核态沸腾, 液氦的沸腾换热曲线如图 7 所示。影响换热稳定的主要因素是最大核态沸腾热流密度和核态沸腾最大壁面温差, 铌表面的核态沸腾临界热流密度一般取 10000W/m2。Kim[18]认为, 当超导材料表面情况不好时, 核态沸腾临界热流密度会下降至2000W/m2。本文设定 2000W/m2 为核态沸腾转变临界值[14]。
耦合器内导体与外导体之间为高真空状态, 可以忽略残余气体对流换热, 但存在由温差引起的辐射热。辐射热量使用 Stefan-Boltzmann 方程描述:
图7 液氦沸腾换热曲线
Fig. 7 Liquid helium boiling heat transfer curve
, (7)
其中, ε1 和 ε2 为导热物体表面的发射率, σs 为 Stefan- Boltzmann 常数, T1 和 T2为内、外导体温度(K), A1和A2 为内、外导体表面积(m2), X1,2 为形状因子。耦合器的内导体一般为表面经过处理的铜, 该处内导体温度一般高于 300K。图 8 给出不同发射率以及不同温度下的内导体辐射热流密度[18]。
在研究稳态工况时, 我们分析了上游漏热、电磁场强度以及铌管的材料(不同的 RRR 值)和长度对温度分布的影响, 并给出维持铌管超导允许的最大上游漏热以及电磁场强度。上游漏热由冷氦气流量以及电磁场强度决定[4,9], 设置为第二类边界条件。铌管下游直接与超导腔连接, 被饱和液氦完全浸泡, 将铌管的下游设为固定温度边界, 即 T=4.5K。
瞬态工况以稳态工况作为初始条件, 保持电磁场不变, 调节铌管上游漏热(QU)随时间的变化, 模拟冷氦气的流量或温度变化导致冷却能力降低时铌管的温度响应特性和失超传播特征。
使用有限差分法, 对控制方程和边界条件进行离散。编写 Matlab 程序, 对离散方程进行数值求解。采用内节点和隐式格式, 离散过程如图 9 所示。图 10给出数值求解流程, 在求解时进行网格和时间步的无关验证, 保证数值求解的准确性。
数值求解时, 每一个时间步均需要对受温度影响的材料参数和内热源项进行更新。在时间步的推进过程中, 采用 Newton-Raphson 方法处理材料参数以及热源的非线性。图 10 也给出与温度相关的材料参数和内热源项在时间步上的更新方法。更新时, 判断收敛的条件为
=0.00001。
图8 表面发射率和温度对 PR 的影响[18]
Fig. 8 Effect of surface emissivity and temperature on PR[18]
以 HEPS 166.6MHz输入耦合器的铌管尺寸和相关的实验数据为例, 研究铌的 RRR 值和铌管长度对铌管温度分布的影响。设置边界条件时, 参考冷氦气流量对应的上游漏热[9]。为了解决铌管的过热问题, 优化 166.6MHz耦合器的结构设计时, 铌管长度由 80mm 增至 120mm。
图 11 为不同长度铌管的温度分布情况, RRR 值为 300。可以发现, 不加电磁场时, 长度对最高温度的影响不大, 这是由于与液氦接触区域的换热能力足以充分地带走上游漏热, 即使在 L=80mm, Lc=30mm 时。铌管 50mm 位置处存在较大的温度梯度, 该位置之后温度梯度降低。与 120mm 铌管相比, 80mm 铌管与液氦接触区域面积较小, 导致整体的温度偏高, 失超区域的比例较多, 也会有更多的热量传递至超导腔, 给超导腔的热稳定带来威胁。所以, 增加铌管长度可以增加与液氦的接触面积, 有效地降低铌管的整体温度, 并减少通过铌管传向超导腔的热量。
图9 离散过程示意图
Fig. 9 Schematic diagram of discrete process
图10 数值求解流程
Fig. 10 Numerical solution process
图11 铌管长度对温度的影响(QU=6.6 W, RRR=300)
Fig. 11 Effect of length of niobium tube on temperature (QU=6.6W, RRR=300)
图 12 给出不同上游漏热时各部分热量的比例。可以发现, 辐射热量对铌管热稳定的影响不可忽略。特别是在上游漏热较小的情况下, 辐射热量是主要的输入热量。例如, 当上游漏热为 0.02W时, 辐射热量占输入热量的 98%。
根据计算, 当上游漏热量高于 5.18W 时, 铌管的最高温度将高于 9.2K。在这种情况下, 增加电磁场会导致铌管温度迅速上升。图 13 给出不采取氦气冷却(即上游漏热量为 6.6W)时, 不同磁场强度下的铌管温度和电磁损耗分布。可以看出, 当铌管的最高温度高于 9.2K 时施加电磁场, 随着磁场强度增大, 铌管的上游温度出现抬升。在高于转变温度区域, 电磁损耗会迅速升高。虽然随着磁场强度的增加, 只有铌管的部分区域处于失超, 大部分区域仍处于超导, 但也会给正常运行带来很大的不确定性, 极易发生整体的失超。因此, 需维持冷却流量的正常供应, 保持充分的冷却能力。当铌管的温度整体低于 9.2K 后再施加电磁场, 才能保证耦合器的稳定运行。
图12 不同上游漏热时各部分热量的比例
Fig. 12 Proportion of heat in each part at different upstream heat leakage
图13 铌管温度和电磁损耗分布(QU=6.6W, RRR=300)
Fig. 13 Temperature and electromagnetic loss distribution of niobium tube (QU=6.6W, RRR=300)
为了提高铌管的热稳定, 一方面可以增加冷氦气流量来降低上游漏热, 另一方面铌管的热导率也是重要因素。图 14 给出上游漏热为 0.02W 时, 材料的 RRR 值对温度的影响情况。可以发现, 当铌管的 RRR 值从 60 增至 300 时, 铌管的最高温度降低0.312K, 且平均温度显著降低。
图14 不同RRR值对应的温度分布(QU=0.02 W)
Fig. 14 Temperature distribution corresponding to different RRR values (QU=0.02W)
图15 上游漏热和磁场强度对铌管最高温度的影响
Fig. 15 Effect of heat leakage and magnetic field on the maximum temperature of niobium tube
在施加电磁场后, 上游漏热以及磁场强度均对铌管最高温度有显著的影响。图 15 给出上游漏热和磁场强度作为自变量时的铌管最高温度, 并标注9.2K 等温线。为了保证铌管的热稳定, 磁场和上游漏热应处于 9.2K 等温线左侧区域, 此时可以保证铌管的整体温度处于超导温区, 较小的热扰动不会带来大面积失超的风险。当工作点位于 9.2K 等温线右侧时, 铌管部分区域处于失超状态, 增加了铌管的热不稳定。
图 16 给出 166.6MHz 耦合器设计工况下的温度和电磁损耗分布情况。在设计工况下, 铌管处于超导温区, 总的电磁损耗约为 9.43×10–6W, 平均温度为 4.56K。铌管的主要热量来自上游漏热以及辐射热。这些热量均可传递至液氦中, 几乎没有热量传递至超导腔中。模型中, 假设超导腔的温度恒定, 但实际情况下, 铌管下游温度有一定程度的升高, 带来铌管整体的温度升高。所以, 此处得到的温度是设计工况下的理想温度, 实际工作温度一般高于计算值。
在不考虑缺陷等因素导致的热失超时, 铌管失超的原因主要为上游漏热增加导致。上游漏热突然增加(即冷氦气冷却能力下降)的原因可以分为流量减少或温度升高, 或电磁场增强, 两者的主要区别在于上游漏热增长随时间的变化幅度不同。
图 17 给出上游漏热随时间逐渐增加, 最后稳定为 6.6W 时, 铌管失超区域随时间的变化情况。图18 给出该漏热作用下, 铌管温度随时间的变化。当漏热随时间逐渐增加时, 开始阶段, 上游温度仍低于 9.2K。随着漏热进一步增大, 当 QU 约为 5.2W时, 铌管上游开始失超, 最高温度将高于 9.2K, 随后失超区域迅速增大。在 4s 时, 失超传播速度降低, 5s 时失超区域占比达到 22%。在整个失超过程中, 失超传播速度有逐渐减小的趋势, 传播速度最大值为 0.007m/s。5s 后, 铌管温度基本上处于稳定, 此时最高温度为 12.15K, 失超点距上游 26.36mm。该工况下, 铌管没有全部失超的原因是此时的失超点还没有到达液氦冷却区域, 该区域仍然处于核态沸腾换热模式, 所以该区域的温度没有明显升高。也得益于铌(RRR=300)的高导热率, 将上游漏热及电磁损耗迅速传递到液氦区域, 没有造成热量的局部积聚。图 19 给出该工况下, 电磁损耗随时间的变化情况。5s时, 总电磁损耗为 2.34W, 最大电磁损耗功率密度为 447.80W/m2。
上游漏热导致铌管部分区域失超后, 可以通过恢复冷氦气流量的方式逐步降低上游漏热, 使铌管重新恢复超导。因此, 可以通过改变上游漏热随时间减少的方式来模拟铌管失超后的恢复过程。图20 给出上游漏热变化时, 对应的失超位置的变化情况。整个过程中, 铌管的失超区域最大为 25.82%, 从上游漏热开始减少, 约 0.2s 后失超区域占比达到最大值, 失超位置开始向上游移动, 全部区域恢复超导的时间为 1.35s。
图16 166.6 MHz输入耦合器设计工况下的温度分布以及电磁损耗
Fig. 16 Temperature distribution and electromagnetic loss of 166.6 MHz coupler under design condition
图17 上游漏热和失超区域随时间的变化
Fig. 17 Variations of upstream heat leakage and quench region with time
图18 失超后铌管的温度随时间的变化
Fig. 18 Variations of temperature of niobium tube with time after quench
图19 电磁损耗随时间的变化
Fig. 19 Variations of electromagnetic loss with time
图20 上游漏热增大后恢复时的失超区域变化
Fig. 20 Variations of quench zone during recovery after upstream heat leakage increases
图 21(a)和(b)分别给出在图20所示的漏热作用下, 铌管温度随时间变化的 3D 图和等高线图。从图 21可知, 从铌管开始失超到失超区域占比达到最大, 经历的时间约为 3.8s。当上游漏热量开始逐渐减少, 失超点将向上游移动, 失超区域的占比也逐渐减少, 直至铌管完全恢复超导。所以, 如果在漏热增大的起始阶段及时调整冷却能力, 可以有效地减少失超区域的范围, 并缩短恢复超导的时间。在实际工程应用中, 通过监测测温点的温度变化, 对冷却流量进行调节, 是主动维持铌管热稳定的有效方式。
本文建立的基于多物理场耦合分析的非椭球形超导腔耦合器铌管失超过程模型是采用数值方法进行求解, 解决了材料参数和内热源项等非线性项对数值求解的精度和稳定性的影响问题, 可为超导耦合器的热设计和稳定运行提供理论依据。基于该模型, 本文系统地研究了上游漏热和磁场强度等因素对铌管温度分布的影响以及铌管的失超传播特征, 得到以下结论。
1)在不加电磁场时, 铌管温度主要受上游漏热影响, 当上游漏热量大于 5.18W 时, 铌管的部分区域将处于失超状态, 增加电磁场会带来进一步的温升, 更容易引起失超。
(b)图中红色实线为 9.2 K 等温线
图21 温度分布随时间变化的3D图(a)和等高线图(b)
Fig. 21 3D diagram (a) and contour (b) of temperature distribution with time
2)铌管与液氦接触区域的长度会显著地影响铌管的温度分布, 上游漏热增加可能导致液氦接触区域的换热模式发生变化, 加大该区域的长度可以有效地阻止热量传递至超导腔, 降低超导腔的失超风险。
3)上游漏热的变化是影响铌管失超传播的主要原因, 上游漏热增加引发的失超传播速度很快, 因此需要保证冷氦气的冷却能力, 确保铌管温度的稳定。
4)发生失超后, 控制上游漏热可以使铌管重新恢复超导, 延迟时间约为 0.2s。
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Study on Quench Process of Superconducting Coupler Based on Multi-physics Coupling Analysis
Abstract Based on the multi-physics field coupling analysis method, this paper establishes a one-dimensional quenching process model of the coupler. The model investigates the impact of nonlinear factors within material properties and internal heat sources on the accuracy and stability of numerical solutions. The results show that the heat leakage of the coupler niobium tube near the normal temperature end is the key factor affecting the quench. Extending the length of the niobium tube in contact with liquid helium or using materials with higher RRR values can effectively reduce the temperature of niobium tube. To ensure that the niobium tube remains in superconducting after the application of the electromagnetic field, the heat leakage near the normal temperature end should be controlled not to exceed 5.18 W. When heat leakage increases over time and leads to quench, the propagation speed and extent of the quench are influenced by both the rate at which heat leakage grows and the level of heat leakage. After a quench occurs, controlling the heat leakage can restore the coupler to superconductivity with a delay time of about 0.2 s.
Key words accelerator; superconducting coupler; coupling analysis; quench
国家自然科学基金(12005237)和高能同步辐射光源国家重大科技基础设施项目(发改高技〔2017〕2173号)资助