多年来的技术进步使得移动机器人从实验室走向科学研究、工业、制造业、工程、运输和生活的方方面面[1]。轮式移动机器人(wheeled mobile robot,WMR)因其可以适用于多种环境, 且能耗相对较低,成为最受欢迎的移动机器人[2]。随着 WMR 的广泛应用, 其运动控制问题与机器人执行任务的性能和可靠性等因素密切相关, 因而成为学者的研究焦点[3]。根据控制目标不同, WMR 的运动控制主要分为三类: 点镇定、路径跟随和轨迹跟踪, 其中轨迹跟踪由于更加注重控制的实时性而成为重要且实际的控制问题[4]。
轨迹跟踪指控制机器人沿着定义在时间域上的目标轨迹行进。针对 WMR 轨迹跟踪控制的问题,很多学者基于机器人的运动学模型结合自适应[5]、滑模[6–7]和神经网络[8]等方法, 实现对目标轨迹的跟踪。然而 Martins 等[9]提出, 当考虑系统的外部扰动, 或需要高速运动时, 不可忽略系统的动力学模型。因此, 在考虑 WMR 动力学模型的基础上, 涌现大量控制方法, 如自适应滑模控制[10–11]、反演自适应控制[12]、反演模糊自适应控制[13]、预演最优控制[14]、反演神经网络控制[15]、保辛瞬时最优控制[16]和视觉伺服控制[17]等。上述研究的重点在于提高轨迹跟踪的鲁棒性和实时性。
在以提高 WMR 轨迹跟踪控制精度为目标的研究中, 王猛等[18]基于 WMR 运动学模型设计一种新型控制器, 但未考虑外部扰动对系统动力学模型的影响。Alipour 等[19]在动力学模型的基础上, 通过滑模控制方法, 在考虑系统外部扰动的同时, 提高了轨迹跟踪的精度, 但控制器的设计较为复杂, 且限制系统为严格的匹配性约束。针对此类控制器设计中存在的问题, Kanellakopoulos 等[20]提出反演控制方法, 使得控制器的设计结构化和系统化, 同时也放宽了匹配性约束的限制。赖欣等[21]将反演控制与积分滑模控制相结合, 提高了轨迹跟踪的精度,但在每一级反演控制的过程中没有考虑补偿外部扰动, 同时控制参数过多且收敛缓慢。Zinober 等[22]提出一种在每级反演的过程中都使用滑模控制来补偿外部扰动的方法, 该方法在机械臂[23]、导弹[24]和典型非线性系统[25]的轨迹跟踪控制方面都表现出良好的控制效果, 但尚未应用到 WMR 的跟踪控制中。另一方面, 控制参数的调整在很大程度上影响 WMR 轨迹跟踪的性能。针对控制参数过多且收敛缓慢的问题, Sun 等[26]提出粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)算法, 使得该问题得到充分的解决。自 PSO 算法提出以来, 因其概念便于理解且易于实现, 在求解最优化参数问题, 特别是WMR 轨迹跟踪控制这种强非线性的复杂优化问题时, 表现出不依赖初始值及较强的全局搜索能力等优点。现有的应用 PSO 算法进行 WMR 轨迹跟踪控制的研究中, Serbencu 等[27]和林旭梅[28]通过 PSO 算法优化控制器参数, 提高了轨迹跟踪的精度, 但没有考虑外部扰动对系统动力学模型的影响。Saleh等[29]和 Gökçe 等[30]基于 WMR 动力学模型考虑了外部扰动, 但使用的是线性控制方法, 无法消除WMR 这种非线性系统中参数变化以及输入饱和问题的影响。因执行器功率有限, 执行器饱和(输入饱和)问题是实际控制系统中常见且重要的非线性问题, 如不加以考虑, 控制器的稳定性和精度均会下降[31]。
为了提高 WMR 轨迹跟踪控制的精度, 本文利用反演二次滑模控制方法简化控制器设计, 并有效地补偿外部扰动, 结合 PSO 算法, 优化控制参数过多且收敛缓慢的问题, 设计一种反演二次滑模优化控制策略。首先, 针对 WMR 这种存在非完整约束的非线性系统, 根据滑模控制对系统参数变化和扰动不灵敏的特点, 建立其运动学控制器; 然后, 对于输入饱和现象, 选用反演积分滑模控制方法建立其动力学控制器; 再后, 以实际轨迹与目标轨迹之间的欧几里得距离为适应度函数, 通过 PSO 算法对控制器的参数进行寻优; 最后, 基于 Matlab/Simulink 平台, 与积分滑模控制方法和未经 PSO 优化的反演二次滑模控制方法进行对比, 通过仿真实验验证本文设计的控制策略的有效性, 并采取限制控制器最大输出功率的方式, 验证反演二次滑模优化控制在系统输入饱和情况下的可行性。
1 轮式机器人数学模型
1.1 轮式机器人运动学模型
本文研究的轮式移动机器人由两个同轴驱动轮和一个支撑底座构成, 两个直流驱动电机分别与两个驱动轮相连, 提供所需驱动力矩。轮式移动机器人的简化几何模型如图1 所示。
图1 轮式移动机器人几何示意图
Fig.1 Geometric diagram of WMR
假设驱动轮与地面之间无相对滑动, 且各结构的几何中心均与其质心重合。WMR 的质量为 m,相对质心的转动惯量为 I, 车轮半径为 R, 驱动轮轴距为 2L, 驱动电机控制输入力矩分别为 τ1 和 τ2。
选择质心 C 点坐标(x, y)以及前进方向相对于 x轴的夹角 θ 为广义坐标, v 和 ω 分别为 WMR 的线速度和角速度, 则 WMR 运动学方程如下:
由于驱动轮与地面之间无相对滑动, 故 WMR 的运动必须满足如下非完整约束条件:
定义qT=(xy θ)和qrT=(xryr θr)分别为描述 WMR 实际位姿与参考位姿的向量, V T=(v ω)和VrT=(vr ωr)分别为描述 WMR 实际速度与参考速度的向量, 则运动学方程可表示为
其中,
非完整约束条件可表示为
其中, B=(sinθ-cosθ0)。
1.2 轮式机器人动力学模型
Routh 方程是第二类拉格朗日方程的扩展[32],表示如下:
其中, T 为系统动能, q 为系统广义坐标, Q 为系统所受广义力, λB 为系统非完整约束项。在处理式(3)中具有一个非完整约束的 2 自由度 WMR 系统时, 可以通过消去 Routh 方程中的一个独立广义坐标变量和拉格朗日乘子项, 将广义坐标表示的系统方程简化成彼此独立的坐标方程, 从而简化非完整系统的动力学模型。
假设 WMR 在水平面上运动, 忽略车轮质量和转动惯量, 系统动能为
系统所受广义力为
根据系统所受的非完整约束(式(4)), 系统含拉格朗日乘子的附加项为
将式(6)～(8)带入式(5), 可得广义坐标表示下的动力学方程:
其中,
对式(3)求时间导数可得
将式(10)带入式(9), 同时左乘ST, 得到系统在无扰动情况下不含拉格朗日乘子的动力学方程:
其中,
当存在扰动时, 系统的动力学模型[11]可表示为
其中, 
=(τd1 d2)为系统所受外部动力学扰动,本文考虑到 WMR 行驶路况为黏性路段, 该扰动可近似等效为正常数, 即 τd1>0, τd2>0。
2 运动学控制器设计
对于目标轨迹, 系统基于运动学模型的位姿误差[33]可表示为
通过对上式求微分, 可得系统误差微分方程:
根据反演控制的思想设计运动学控制器, 使得位姿误差向量 Pe 在虚拟控制率的作用下满足等式
引理[16]: 对于∀x∈R且|x|→∞, 有 f (x)=x·sin (arctan x)≥0, 当且仅当 x=0 时, 等式成立。
结合上述引理与反演控制的思想, 设计滑模函数: 当 xe=0 时, 选取 Lyapunov 函数
, 则
假设θe=–arctan (vr ye), 将系统位姿误差带入 Lyapunov 函数, 由引理可得
≤0。故设计滑模函数为
当 s1→0, s2→0 时, xe→0, θe→–arctan (vr ye), 因此 ye→0, θe→0, 此时系统处于渐进稳定状态。
机器人由初始状态趋向滑模面 s=0 的过程即为s→0 的过程, 选取指数趋近律
=-ksgn(s)-k s来加快系统收敛速率。同时, 为了消除虚拟控制器的抖振现象, 采用继电特性进行连续化, 用连续函数
代替 sgn (s), δ 是很小的正常数。由此可得运动学控制器趋近律:
其中, kij >0, i=1, 2, j=1, 2。将式(14)和(16)带入式(17), 可得系统运动学控制律:
应用 Lyapunov 稳定性理论对运动学控制器进行稳定性验证, 设 Lyapunov 函数
显然Lv≥0。对 Lv 求时间的导数:
可以看出, 所设计的运动学控制器是渐近稳定的。
3 动力学控制器设计
3.1 动力学控制律
结合反演控制的思想, 在考虑外部干扰的 WMR动力学模型中, 系统速度误差定义为
选用积分滑模函数
其中, β=(β1 β2), β1>0, β2>0。当 S=0 时, 
=-βVe ,Ve→0, 系统渐近稳定。
选取指数趋近律
=-Ksgn(S)-KS , 并用连续函数
代替 sgn(S)以消除抖振现象, ε 是很小的正常数。由此可得动力学控制器趋近律:
其中, Kij >0, i=1, 2, j=1, 2。对式(21)求导, 可得
将式(22)带入式(23), 可得动力学控制律:
其中,
β1, β2, K11, K12, K21, K22, ε1和 ε2 均为大于零的可调参数。通过调整以上参数, 可以达到降低稳态误差、提高收敛速度以及改善控制器的输出信号等控制效果[33]。
应用 Lyapunov 稳定性理论, 对设计的动力学控制律进行稳定性验证, 选择 Lyapunov 函数
显然, Ld≥0。对 Ld 求时间的导数:
可以看出, 所设计的动力学控制器是渐近稳定的。
3.2 粒子群优化算法(PSO)
在运动学和动力学控制器的设计过程中, 出现许多可调参数(如 K11 和 K12 等), 会影响系统的稳定性和性能[33]。一般采用人工试错的方法确定这些参数, 通过不断改变参数值来观察控制效果, 最终选取一组控制效果较好的参数。但是, 事实上这种试错的方法无法找到一组最优的参数[34]。PSO 的主要目的是优化参数搜索空间, 最大限度地提高找到全局最优参数的概率, 其搜索效率比遗传算法更加高效[30]。因此, 本文采用 PSO算法对系统的控制参数进行优化, 以此获取最优的控制参数。
PSO 是一种迭代优化技术, 其灵感来自一群试图寻找目标的动物。例如, 一群蜜蜂可能试图在某个区域周围搜索以便找到一片花田。为便于数学上的表达, 设二维位置参数空间为[(Xmin, Xmax) (Ymin,Ymax)], 表示粒子第一维度的位置限定在 (Xmin,Xmax)之间, 第二维度的位置限定在(Ymin, Ymax)之间。二维速度参数空间为[(Vxmin, Vxmax) (Vymin,Vymax)], 表示粒子第一维度的速度限定在(Vxmin,Vxmax)之间, 第二维度的速度被限定在(Vymin, Vymax)之间。f (x, y)表示粒子的适应度函数, (X, Y)∈RN×2 表示 N 个粒子的位置, (Vx, Vy)∈RN×2 表示 N 个粒子的速度。第 i 个粒子所有维度的速度和位置通过以下公式更新:
在同一维度的搜索空间中, vi(t+1)表示下一时刻的速度; xi(t+1)表示下一时刻的位置; vi(t)表示当前时刻的速度; xi(t)表示当前时刻的位置; pi(t)表示历史最优位置; g(t)表示粒子群体的历史最优位置; ω 为惯性权重, 决定粒子当前搜索时刻的速度对下一搜索时刻速度的影响程度; cp 和 cg 分别为自我学习因子和群体学习因子, 这两个大于零的常数代表粒子自我学习和向最优粒子学习的能力; r1 和 r2 为两个(0, 1)之间的随机数。
WMR 轨迹跟踪的目的是使机器人能稳定、准确、快速地与目标轨迹保持一致, 同时尽可能降低控制器的输出功率, 达到节能的目的。与轮式机器人的点镇定控制不同的是, 轨迹跟踪更侧重轨迹的贴合而非机器人姿态。综合上述因素, 考虑设置适应度函数:
相比于传统的经验试凑法, PSO 算法能够在所设置的可调参数范围内, 快速而精确地找到符合适应度函数值的最佳参数, 满足轨迹跟踪的要求。
3.3 系统控制框图
优化控制系统框图如图2 所示。控制系统的参考轨迹和 WMR 的初始条件由目标轨迹模块提供,动力学控制器的部分参数由 PSO 算法优化得到, 外部有界扰动信号由初始条件给定。系统目标位置变量 qr 通过与系统运动学模型产生的实际位置变量 q做差, 经由运动学控制器产生一个虚拟控制量 Vd,Vd 作为虚拟被控量与 WMR 动力学模型产生的系统速度变量 V 做差, 经由动力学控制器产生实际控制量 τ, 实际控制量 τ 与动力学扰动 τd 求和, 作为系统的输出控制信号输入 WMR 动力学模型和运动学模型, 产生系统实际状态变量 V 和 q, 最终构成一个双闭环反馈控制系统。
图2 控制系统框图
Fig.2 Control system block diagram
4 仿真结果与分析
为了验证本文设计的控制策略对 WMR 轨迹跟踪控制精度改善的有效性以及在系统输入饱和情况下的可行性, 我们基于 MatlabR2021a 平台, 分别在理想系统输入和系统输入饱和情况下, 对机器人轨迹跟踪进行仿真对比研究。
WMR 的参数设置如下: m=1 kg, I=1 kg·m², R=1 m, L=2 m。外部扰动为 τd1=0.1 N·m, τd2=0.1 N·m。控制器的部分参数如下: β1=2, β2=1, δ1=0.2, δ2=0.1,ε1=0.1, ε2=0.1, k11=0.2, k12=0.45, k21=0.075, k22=0.6,K11=0.2, K21=0.05。
PSO 的部分参数如下: ω=0.5, cp=0.5, cg=0.5,初始化粒子种群规模为 30, 迭代次数 50 次。对参数 K12和 K22 进行优化, 优化范围为(0, 10)。
4.1 理想系统输入情况下的仿真
理想系统输入情况下, 目标轨迹设为一条匀速运动的圆形轨迹, 目标轨迹方程为 xr=cos t, yr=sin t,
圆心为(0, 0), 半径为 1 m, 参考线速度 vr=1 m/s, 参考角速度 ωr=1 rad/s, 初始位姿为(0.5, 0,0)。通过 PSO 算法优化得到的参数为 K12=0.1, K22=1.752。带入以上参数, 在 0～8 s 的时间内, 以传统积分滑模方法和未经PSO优化参数的反演二次滑模方法为参照进行仿真对比分析, 结果如图3 所示。
图3 理想系统输入下的仿真结果
Fig.3 Simulation results under ideal system input
从图3 可以看到, 相比于未经 PSO 优化参数的反演二次滑模控制方法, 本文设计的反演二次滑模优化控制策略在跟踪精度与实时性方面都有明显的改善, 比反演积分滑模控制方法对目标轨迹跟踪的贴合程度更高。在 2.5 s 左右, 系统对轨迹跟踪的位姿误差收敛到 0 附近。在初始位姿误差扰动阶段,控制器输出一个高幅值类脉冲激励信号之后, 系统趋于稳定, 控制器输出为零, 整个控制过程中无抖振现象发生。
4.2 系统输入饱和情况下的仿真
系统输入饱和指控制系统的输入信号达到极限, 无法继续增大或减小, 严重影响控制系统的精度和稳定性[35]。在实际应用中, 控制系统经常出现输入饱和的情况[36]。为验证本文设计的控制策略在系统输入饱和条件下的有效性, 我们选取未考虑系统输入饱和情况的积分滑模控制方法作为对照,限制控制器输出力矩 τ 的范围为–2～2 N·m, 运动学控制器的部分参数调整为 k11=0.02, k12=0.5, k21=0.001, k22=0.4, 通过 PSO 算法优化得到的参数为 K12=4.66, K22=2.25。带入以上参数, 在 0～8 s 的时间内进行仿真, 结果如图4 所示。
图4 系统输入饱和情况下的仿真结果
Fig.4 Simulation result curves under input saturation
从图4 可以看出, 在系统输入饱和的情况下,与未考虑系统输入饱和情况的积分滑模控制方法相比, 轮式机器人实际运行轨迹与设定的圆形目标轨迹的贴合程度更高, 稳态误差较低, 系统在 3.7 s 左右误差收敛到 0 附近, 控制器输出力矩较为平缓,整个过程中无抖振现象发生。
4.3 仿真结果分析
理想系统输入情况下, 相比于未经 PSO 优化的反演二次滑模控制方法, 本文设计的反演二次滑模优化控制策略在 WMR 轨迹跟踪控制精度和实时性方面都有所改善。相比于传统的 WMR 积分滑模控制方法, 在同样的外部扰动情况下, 对目标轨迹的贴合程度更高, 误差更小, 有更可靠的控制精度。在克服传统滑模控制抖振问题的同时, 系统的收敛速度比传统积分滑模控制方法更快, 可以满足控制过程的鲁棒性和实时性需求。系统输入饱和情况下, 与未考虑系统输入饱和情况的积分滑模控制方法相比, 跟踪精度更高, 收敛速度更快, 在输入饱和情况下也表现出更好的控制效果, 能够实现对目标轨迹的跟踪, 是一种更贴合实际的控制策略。
5 结语
为了提高 WMR 轨迹跟踪控制的精度, 本研究采用将反演二次滑模控制方法与PSO算法相结合的方式设计一种新型控制策略。针对原有的反演控制方法不能充分补偿每级反演过程中的外部扰动问题, 选用的反演二次滑模控制方法在每级反演过程中都使用滑模控制, 对外部扰动进行充分的补偿。针对传统的人工试错调参方法精度低且收敛缓慢的问题, 选用智能优化算法PSO对控制器参数进行多目标快速寻优。
本文工作主要基于非完整轮式差速移动机器人的运动学和动力学模型, 结合反演、滑模和积分滑模控制方法, 使用 PSO 算法对控制器参数进行迭代优化, 设计运动学反演滑模控制器和动力学反演积分滑模控制器, 通过 Lyapunov 稳定性理论证明控制器的稳定性。本文设计两组仿真对比实验, 第一组通过与未经 PSO 优化的反演二次滑模控制方法和传统积分滑模控制方法对比, 验证 PSO 算法优化参数的有效性以及反演二次滑模优化控制策略相较于传统控制方法在保证鲁棒性和实时性的同时, 还能保证更高的跟踪精度。第二组仿真通过与未考虑系统输入饱和情况的积分滑模控制方法进行对比,验证本文设计的控制策略在系统输入饱和情况下相较于传统控制方法也有更高的控制精度, 确保该控制策略在控制器输入饱和状态下的可行性。
本文设计的控制策略是针对轮式差速移动机器人在符合非完整约束运动情况下的轨迹跟踪控制,当 WMR 在非结构化环境(如沙土和冰面)运行时,由轮子打滑和侧滑造成建模中的不确定性是 WMR控制中不可忽视的影响因素, PSO 算法在处理非结构化环境多参数问题时也有更突出的优越性。虽然滑模控制方法抗扰能力强, 且对系统建模不确定性造成的参数扰动不灵敏, 但控制器的输出容易产生抖振现象。因此, 未来的研究可能致力于将本文设计的控制策略有效地应用于复杂环境下 WMR 的轨迹跟踪控制中。
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