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北京大学学报(自然科学版) 第59卷 第2期 2023年3月
Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 59, No. 2 (Mar. 2023)
国家自然科学基金(42171192)资助
收稿日期: 2022-02-25;
修回日期: 2022-10-20
研究简报
摘要 从已被验证的城市化水平和交通网络的经验模型出发, 提出交通网络 β 指数的数学模型。基于城市化水平的一次 logistic 函数, 借助数学演绎法, 推导出交通网络 β 指数增长曲线的 Boltzmann 方程; 基于城市化水平的二次 logistic 函数, 推导出交通网络 β 指数增长曲线的二次 Boltzmann 方程。前者适用于欧美国家和中国东南沿海地区, 后者则适用于中国大陆地区, 特别是中国北方地区。该模型具有两个主要功能: 1)解释和预测交通网络的发展; 2)有助于交通网络增长过程的分段研究。
关键词 交通网络; 城市化; Boltzmann方程; logistic函数; 异速标度; 人均收入
交通网络的发育程度是社会经济发展水平的反映。社会经济越发达, 交通网络越发育。衡量交通网络的测度方法有多种, 包括道路密度、人均道路长度、α 指数、β 指数、γ 指数、通达指数和分散指数[1–2], 后来还有分形维数[3–5]。其中,β 指数也成为复杂网络的基本测度之一[6]。经验表明, 一个区域的交通网络的β指数与人均收入的对数构成线性关系[7]; 另一方面, 区域城市化水平与人均收入的对数也可以构成线性关系[8]。由此可以导出交通网络的 β指数与城市化水平之间的线性关系[9]。区域城市化水平在时间方向上表现为 S 形曲线, 可以采用logistic 函数或者广义的 logistic 函数来描述[10–11]。西方城市化过程表现为一次 logistic 曲线, 中国的城市化水平表现为二次 logistic 曲线[12–13]。根据上述已知规律和模型, 能否推导出区域交通网络 β 指数的增长方程? 如果能够推导出交通网络发育的增长模型, 它的功能又是什么? 本文将从已知模型出发, 逐步演绎出交通网络 β 指数增长模型的数学表达, 并说明其理论意义和应用功能。
首先给出数学模型推导的基础表达式。基础之一是城市化水平与人均收入的函数关系。周一星[8]发现, 一个国家的城市化水平与其经济发展水平有明确的对数关系。城市化水平用城市人口比重度量, 经济发展水平采用人均收入测度, 关系式为
L(x)=alnx−b, (1)
式中, L 为城市化水平, x 为人均产值或收入, a 和 b为参数。基础之二是区域交通网络可达性指数与人均收入的函数关系。Taylor[7]在《地理学的计量方法》一书中论证, 交通网络连接度与人均收入之间也满足对数关系, 可以表示为如下函数形式:
β(x)=κlnx+φ, (2)
式中, β 为反映交通连接度的 β 指数, x 为人均收入, κ和 φ 为参数。假定 G 为总收入, P 为区域总人口, 则 x 可以表示为 x =G/P。β 指数定义为 β = c/ν, 这里 ν为交通节点数(点数), c 为结点间直接连通的交通线路数目(边数)。对区域交通网络而言, 点数其实就是城镇数目, 边数则是道路数目。
基础之三是城市化曲线的 logistic 模型和广义logistic 模型。假定某区域总人口为 P, 其中城市人口为 u, 乡村人口为 r, 则城市化水平 L 可以表示为L =u/P=u/(r+u), 式中 P=r+u。城市化水平存在明确的上限和下限, 故城市化水平增长理论上具有挤压效应, 可以采用 S 形函数描述。最基本的 S 形函数是 logistic 函数。城市化水平的三参数 logis-tic 模型可以表示为
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式中, t 为时序(t=n−n0 =0, 1, 2, …, 这里 n 为年份, n0 为初始年份), L(t)为时序为 t 的城市化水平, L0 为初始年份的城市化水平(参数之一), Lmax 为城市化水平最大值, 即容量值或者承载量参数(参数之二), k为城市化水平的初始增长率(或称内秉增长率)(参数之三), C=Lmax/L0 −1。上述模型适用于西方城市化曲线, 也可能适用于中国南方城市化曲线[14]。中国城市化曲线可以采用如下模型[12]描述
(4)
该模型为二次 logistic 函数, 用来描述二次 logistic增长过程。
利用前述基础模型, 可以推导出一系列有关交通网络增长预测的新模型。将式(1)代入式(2), 得到式(5)[9]:
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式中, ω=κ/a, ϑ=aκb/a+φ。这便是城市化水平与交通网络连接度的线性关系。线性关系是最简单的函数关系。由此可以判断, 城市化与交通运输能力正相关: 城市化水平越高, 区域交通网络越发育, 反之亦然。
进一步地, 可以证明, 即便不同模型采用的人均收入测度不同(如有的采用人均收入, 有的采用人均 GDP), 式(5)给出的理论关系仍然不变。原因在于, 不同的产出指标(如人均 GDP、人均 GNP 和人均收入)之间服从异速标度关系[15]。
首先推导出交通网络指数的 logistic 模型。实际上, 将式(5)化为反函数形式, 然后代入式(3), 经整理可得
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式中, β0 代表区域交通网络 β 指数的初始值, βmax 代表其最大值, βmin 代表其最小值(βmin =ϑ)。这是Boltzmann 方程形式。这意味着, 如果城市化水平满足 logistic 增长, 且区域交通网络的 β 指数与城市化水平构成线性关系, 则区域交通网络的 β 指数增长曲线可以采用 Boltzmann 方程来描述。换言之, Boltzmann 方程可以作为交通网络 β 指数增长曲线的备选模型之一, 而 Boltzmann 方程可以近似为logistic 函数。将 β 指数正规化, 得到如下二参数logistic 函数:
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式中, β0*=(β0−βmin)/(βmax−βmin)。
将式(5)化为反函数形式, 然后代入式(4), 经整理可得
。 (8)
将 β 指数正规化, 可以得到交通网络指数的二次logistic 函数。类比于城市生长和城市化曲线模型, 可以判断, 这个模型适用于中国, 尤其适用于中国北方地区。
城市生长、城市化和交通网络是 3 个相互关联的地理过程。城市形态与生长是城市化的重要内容之一[16]。城市化曲线与城市生长曲线具有对应性: 如果一个地区的城市化曲线服从一次 logistic 函数, 则城市生长曲线也服从一次 logistic 函数; 一个地区的城市化曲线服从二次 logistic 函数, 则城市生长曲线也服从二次 logistic 函数。一次 logistic 生长的基础是市场经济, 二次 logistic 生长背后隐含着较强的政府干预。研究发现, 上海、广东和深圳的城市增长曲线服从一次 logistic 过程, 绝大部分内地城市生长表现为二次 logistic 曲线不同[17]。上海、广州和深圳的城市生长曲线与欧美城市生长曲线和城市化曲线一致; 内地城市生长曲线和城市化曲线不同于西方城市[12–13]。考虑到城市化与交通网络的线性关系[9], 可以判断, 式(7)主要适用于欧美国家, 也可能适用于中国东南沿海一些地区(如上海和广东); 式(8)主要适用于中国大陆众多地区, 尤其适用于上海和广东之外的中国广大内陆地区。
数学模型的基本功能是解释和预言, 预言包括预测。对于以时间为变量的数学模型, 预测功能是不言而喻的: 只要获得一个区域的交通网络 β 指数的一个时间序列的样本路径, 就可以估计模型参数, 从而开展预测分析, 判断未来交通可达性的增长速度和水平。问题在于, 借助 Boltzmann 模型, 如何解释交通网络的发展? 实际上, 时间不是真正的解释变量, 而是一种虚拟变量, 称为时间虚拟(time dummy)[18]——虚拟变量不限于 0 和 1 表示的分类变量。假定时间变量背后隐含的真正解释变量为 xj(j=1, 2, …, m), 则可以对时间进行线性“分解”, 表示如下:
, (9)
这里 m为影响因素数目。将式(9)代入式(7), 得到
, (10)
这里b0和bj为logistic回归系数, 其中
。 (11)
由式(10)可得logit变换如下:
。 (12)
只要找到可能的交通网络发展的影响因素, 如人均收入(或人均 GDP)、成人识字率、工业总产值和货物周转量等, 通过回归分析, 就可以判断哪些因素有显著影响, 哪些因素没有显著影响(或者影响方向与其他因素相同, 即共线), 以及在有影响的因素中, 轻重主次情况如何。上述解释模型可以推广到二次 logistic 曲线。
如果一个地理系统的增长曲线表现为 S 形, 则根据增长速度和加速度对其进行分段。对式(7)求导数, 得到正规化交通网络β指数的增长速度方程:
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式中, S(t)表示时刻 t的增长速度。式(13)给出交通网络可达性指数增长速度的单峰曲线(图 1)。对式(13)求导数, 或对式(7)求二次导数, 得到正规化交通网络β指数的增长加速度方程:
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式中, a(t)表示时刻 t 的增长加速度。式(14)给出交通网络可达性指数增长加速度的反 S 形曲线(图 1)。增长速度的高峰值、加速度的高峰值和低谷值代表3 个分界点, 可以将 S 形曲线分为 4 段: 加速慢增长阶段、加速快增长阶段、减速快增长阶段和减速慢增长阶段。采用类似的方法, 可以对二次 logistic模型求导, 得到增长速度公式和加速度公式, 然后据此开展分段分析。
图中为基于纯粹理论模型得到的曲线。将增长速度值放大 100 倍, 加速度放大 10000 倍, 以便在同一坐标图内展示
图1 交通网络 β 指数曲线、增长速度和加速度曲线示意图
Fig. 1 A diagram of β index, β index growth rate, and β index acceleration curves of traffic network
从数学结构来看, Boltzmann 方程背后隐含着动态相互作用模型。这一判断的根据在于, 基于正规化变量, Boltzmann 方程可转换为二参数的 logistic函数, 而二参数的 logistic 函数可以从一组非线性动力学动力学方程推导出来[19]。类比可知, 交通网络的 Boltzmann 方程背后也理当存在一组非线性动力学方程, 该方程描述交通网络中节点与道路的交互作用。通过相互作用模型, 可以解释交通网络演化的动力学机制。
交通网络 β 指数的 Boltzmann 方程是从得到经验观测数据证实的 3 个地理学模型推导出来的。这种研究方法属于所谓的隐藏知识挖掘法[20]。有两个途径可以将 Boltzmann 模型转换为 logistic 模型: 其一是变量正规化, 其二是近似处理。也就是说, 即使变量没有正规化, 也可以近似地采用 logistic 函数代替 Boltzmann 方程。交通网络的 β 指数与人均收入的对数模型以及区域城市化水平与人均收入的对数模型, 都是基于截面数据发现的经验模型。根据地理系统的时空对应性, 截面数据反映的规律, 通常也可以通过时间序列反映出来[21–23]。但是, 对 Boltzmann 方程和 logistic函数而言, 主要是采用时间序列来验证。本文工作的一个显著缺陷是缺乏案例分析, 因为作者目前无法获得一个区域的交通网络 β 指数的时间序列。但是, 新模型是从具有实证基础的 3 个模型推导出来的。一方面, 这暗示着演绎法对地理研究而言非常重要; 另一方面, 也表明本文的新模型具有间接的实证根据。拥有观测数据的读者可以检验本文模型的实际效果。
本文的结论可概括为如下两点。1)交通网络β 指数的时间序列可以采用 Boltzmann 方程描述。Boltzmann 方程可以转换或者近似为 logistic 函数。2)交通网络 β 指数增长的数学模型可以用于预测、解释和演化分段。基于 Boltzmann 方程或 logistic函数, 可以预测一个区域的交通网络发展的趋势, 并且对发展过程进行阶段性分析。不仅如此, 通过交通网 β 指数的 logistic 方程, 可以反推交通网络发育的非线性动力学。从该动力学方程出发, 可以揭示交通网络演化的机理(交通网络演化的非线性动力学将另文探讨)。
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Boltzmann Model of Growth Curve of the β Index for Traffic Networks
Abstract Based on the verified empirical models of urbanization level and traffic network, a set of mathematical models of traffic network development are proposed. With the help of mathematical deduction, a Boltzmann equation is derived for the β index of traffic networks from the common logistic function of urbanization level growth, and a quadratic Boltzmann equation is derived for the β index from the quadratic logistic function of urbanization curve. The former is applicable to European and American countries and China’s southeast coastal areas, while the latter is applicable to mainland China, especially northern China. The main functions of the models are as follows: the first is to explain and predict the development of traffic networks, and the second is to research the stage division of a growth process or even the spatial dynamics of a traffic network.
Key words traffic network; urbanization; Boltzmann equation; logistic function; allometric scaling; per capita income
doi: 10.13209/j.0479-8023.2022.118