赋值Banach代数的锥度量空间中 c -距离下的不动点定理

黄华平 邓冠铁 †

北京师范大学数学科学学院, 数学与复杂系统教育部重点实验室, 北京 100875

摘要 在不考虑映射的连续性和锥的正规性条件下, 得到赋值 Banach代数的锥度量空间中 -距离意义下压缩型映射不动点的存在性和唯一性定理, 在很大程度上改进和补充了前人的结果, 并举例验证了得到的结论。另外, 通过解决一个初等方程解的存在性和唯一性问题, 说明了所得结果的一个重要应用。

关键词 赋值Banach代数的锥度量空间; -距离; 连续性; 正规性; 不动点

度量空间在理论与应用上都有很大的价值。例如, 建立在度量空间上的不动点理论就是应用的典范。然而, 随着科技的进步, 仅有度量空间的理论, 已经远远不能满足人们应用数学去解决生产技术中疑难问题的需求。于是有研究者试图将度量空间进行各种推广, 例如拟度量空间 [1] 、 b -度量空间 [2] (或称度量型空间 [3] )、有序度量空间 [4] 、复值度量空间 [5] 、 G -度量空间 [6] 、偏度量空间 [7] 以及锥度量空间 [8] 等, 其中最有名的空间之一是Huang等 [8] 2007年提出的锥度量空间, 它是向量版本的度量空间, 一个显著特点是距离函数, 即锥距离的值域并非通常的实数域, 而是Banach空间。Cho等 [9] 在锥度量空间中嵌套一个距离函数, 即 -距离, 大大地推广了锥距离, 使其具有较大的应用价值。随后, 学者们得到大量与 -距离有关的不动点定理 [10 - 11] 。Liu 等 [12] 把锥距离的值域Banach空间扩展到 Banach代数上, 并引进赋值Banach代数的锥度量空间, 也得到该空间上的一些不动点定理。Huang等 [13] 介绍了赋值Banach代数的锥度量空间上的 -距离, 并得到与 -距离有关的几个不动点定理。

本文也得到赋值Banach代数的锥度量空间中 c -距离下的不动点定理。与前人结果不同的是, 本文的结果有多方面的改进。第一, 前人的结果通常离不开两个重要条件: 一是映射的连续性, 二是锥的正规性。由于这些条件的限制, 使所得结果的应用很不方便。本文的主要结果是去掉了这两个条件, 使得定理的应用变的容易。第二, 本文删除了前人结果中范数所满足的条件, 使得定理条件大大简化。第三, 本文不仅得到 -距离下不动点的存在性, 还得到不动点的唯一性。前人的研究大多只得到 -距离下不动点的存在性, 关于其不动点的唯一性几乎没有涉及。另外, 我们通过一个例子, 验证了所得到的结果, 并给出所得结果在方程解的存在性和唯一性方面的一个应用。

1 定义和引理

定义1 设 为Banach代数, 和 分别为 的零元和单位元, 为 的一个非空闭子集, 为非负实数集。若满足

1) ,

2) ,

3) ,

4)

则称 为 中的一个锥, 称满足条件 的锥为体锥。 表示 的全体内点所组成的集合。设 规定 , 此处 和 都称为 中的偏序。若存在常数 , 使得

,

则称 为 中的正规锥, 称满足上式最小的 为 的正规常数。

下文如无特殊说明, 记 为自然数集, 为Banach代数, 为 中的体锥, 分别为 的零元和单位元, 为 的谱半径, 和 都为 中的偏序。

定义2 设 为非空集, 若映射 满足

1) ,

2) ,

3)

则称 为 上的锥度量, 称 为赋值 Banach代数的锥度量空间。

注1 在定义2中, 若取 ( 为 Banach空间), 则称 为锥度量空间。

定义3 设 为赋值 Banach 代数 的锥度量空间, , x ∈ X 。

1)若 存在 使得当 时, 都有 则称 收敛到 记为 或 , 此时称 为 的极限。

2)若 存在 使得当 时, 都有 则称 为 中的Cauchy列。

3)若 中的每个Cauchy列都在 中收敛, 则称 是完备的。

定义4 设 为赋值 Banach 代数 的锥度量空间, 为 中的点列, 为映射, 若满足下列条件:

1)

2)

3)若 都存在 使得 且 则 ,

4)若 都存在 使得 和 则

则称 为 上的 -距离。

注 2 一般地, 。

例1 设 其范数定义为 则 为正规锥。令 为 则 为赋值 Banach 代数 的锥度量空间。令 为 则 为 -距离。

引理1 设 为赋值Banach代数 的锥度量空间, 为 上的 -距离, 。若存在 使得当 时, 有 则 是Cauchy列。

引理2 设 为赋值 Banach 代数 的锥度量空间, 为 上的 -距离, X 。若存在 使得 则 。

引理3 设 为带有单位元 的Banach代数, 则 为 的谱半径。如果 <1, 那么 可逆, 并且 还有

。

引理4 设 为锥, 且 , 则 。

证明 由引理3, 有 , 于是存在 适合 。取 足够大, 使得 , 故 从而 。

引理5 设 为带有单位元 的 Banach 代数, 且 可交换, 则

。

2 主要结果

定理 1 设 为完备的赋值 Banach 代数 的锥度量空间, 为 中的锥, 为 上的 -距离, 为映射。若满足

(1)

其中 使得 与 可交换, 且 , 则 在 中有唯一的不动点 , 且任意的迭代点列 都收敛到 , 并且还有 。

证明 分三步证明。

第 1 步: 先证明不动点的存在性。

做Picard迭代序列 。若存在 使得 则 从而 是 的一个不动点, 结论成立。

下面假设 。由式(1)有

从而

。 (2)

由 得到 。遂由引理3得到 可逆, 再由式(2)得到

。 (3)

令 则由式(3)可得

。 (4)

由于 与 可交换, 即 则由引理3有

从而 与 可交换。再由引理3和引理5可得

。 (5)

由式(4)和(5)以及引理3有

。 (6)

再由式(5)和引理4可得 从而 所以

。(7)

于是, 由式(6)和(7)可得

。 (8)

因此, 由引理1得到 是 Cauchy 列。由于 是完备的, 故存在 使得 。

现在式(8)中让 由定义4的条件3, 得到

。 (9)

由式(1)可得

导出

。(10)

注意到 是可逆的, 故由式(6), (9)和(10)可得

。 (11)

又 然后

。 (12)

联立式(11)和(12)得到

。 (13)

再结合式(9)和(13), 并利用引理2得到 , 即 是 的一个不动点。

第 2 步:证明 。

由式(1)可得

。 (14)

因为 , 得到 再由引理4可得 。再根据式(14), 得到 。

第 3 步: 证明唯一性。

假设 存在另外一个不动点 即 则由式(1)和 可得

。 (15)

与式(14)的处理过程类似, 由式(15)易得 。

在上述过程中, 已经得到 和 , 因此 存在 使得 和 。再由定义4的条件4, 得到 。由 的任意性, 取 使得 从而 。因为 而 为闭集, 故 。又 所以 即 。

推论1 设 为完备的赋值 Banach 代数 的锥度量空间, 为 中的锥, 为 上的 -距离, 为映射。若满足

其中 使得 , 则 在 中有唯一的不动点 , 且任意的迭代点列 都收敛到 , 并且还有 。

证明在定理1中令 即得结论。

推论2 设 为完备的锥度量空间, 为 上的 -距离, 为映射。若满足

,

其中 为实常数, 且 , 则 在 中有唯一的不动点 , 且任意的迭代点列 都收敛到 , 并且还有 。

证明 在定理1中取 为实常数即可。

推论3 设 为完备的锥度量空间, 为 上的 -距离, 为映射。若满足

其中 为实常数。则 在 中有唯一的不动点 , 且任意迭代点列 都收敛到 , 并且还有 。

证明 在推论 2 中取 即可。

注 3 设在定理1中压缩条件(式(1))已经带有普遍意义, 若把它变为更一般的压缩条件, 例如变为 由于 没有对称性, 故即使改变系数所满足的条件, 该定理证明起来也相当复杂, 因此它不在本文的考虑范围之内。

注 4 定理1和推论1~3改进了文献[9–11]的主要结果。事实上, 我们的结果不仅得到不动点的存在性, 而且得到不动点的唯一性。文献[9–11]的结果仅得到不动点的存在性, 没有得到不动点的唯一性。我们的结果没有涉及锥的正规性和映射的连续性, 而文献[9–11]的结果强烈依赖于这两个条件。另外, 我们的结果没有考虑与范数有关的条件, 而文献[9–11]的结果都离不开这个条件。这些说明我们的结果是前人结果的补充和改进。例2说明了这一点。

例 2 设 其范数为 并且规定乘法为通常的乘法, 则 为带有单位元 的 Banach 代数。令 P = A: x = x ( t )≥0, t ∈[0, 1]}, 则 P 为A中的非正规锥 [15] 。令 定义 则 为完备的赋值Banach代数 的锥度量空间。定义 q ( x , y )( t )= ye t ( x , y ∈X), 则 q 为 c -距离。事实上, 只需要证明定义4的条件 4。因为 再取 即可。做映射 满足 则 为不连续映射。做函数 和 使其满足 和 其中 , 则定理1的所有条件都满足。由定理1可得到 有唯一的不动点 且 。

最后, 利用我们的结果解决下列初等方程解的存在性和唯一性问题:

(16)

其中 是一个常数。

定理2 方程(16)在 内有唯一的解, 其中 都为常数, 。

证明 设 任取 定义范数为 定义乘法为

。

令 任取 定义两个映射 为 则 为完备的赋值 Banach 代数 的锥度量空间, 为 上的 -距离,且 有单位元 。定义映射

对任意的 由微分中值定理可得到, 存在介于 和 之间的数 并存在介于 和 之间的数 , 使得

。

取 则 于是定理1的所有条件都满足。故由定理1, 在 中有唯一的不动点, 亦即方程(16)在 内有唯一的解。

参考文献

[1]Bakhtin I A. The contraction mapping principle in almost metric space. Functional Analysis, 1989, 30: 26–37

[2]Czerwik S. Contraction mappings in b -metric spaces. Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostra- viensis, 1993, 1(1): 5–11

[3]Jovanović M, Kadelburg Z, Radenović S. Common fixed point results in metric-type spaces. Fixed Point Theory and Application, 2010: 978121

[4]Abbas M, Parvaneh V, Razani A. Periodic points of T - Ćirić generalized contraction mappings in ordered metric spaces. Georgian Mathematical Journal, 2012, 19(4): 597–610

[5]Azam A, Fisher B, Khan M. Common fixed point theorems in complex valued metric spaces. Numeri- calá Functional Analysis and Optimization, 2011, 32(3): 243–253

[6]Mustafa Z, Sims B. A new approach to generalized metric space. Journal of Nonlinear and Convex Ana- lysis, 2006, 7(2): 289–297

[7]Matthews S G. Partial metric topology. General to-pology and Applications, 1994, 728: 183–197

[8]Huang Longguang, Zhang Xian. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 332(2): 1468–1476

[9]Cho Y J, Saadati R, Wang Shenghua. Common fixed point theorems on generalized distance in ordered cone metric spaces. Computers and Mathematics with Applications, 2011, 61(4): 1254–1260

[10]Fadail Z M, Ahmad A B, Radenović S. Common fixed point and fixed point results under c -distance in cone metric spaces. Applied Mathematic and Information Sciences Letters, 2013, 1(2): 47–52

[11]Karapınar E, Kumam P, Sintunavarat W. Coupled fixed point theorems in cone metric spaces with a c -distance and applications. Fixed Point Theory and Applications, 2012: 194

[12]Liu Hao, Xu Shaoyuan. Cone metric spaces with Ba- nach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings. Fixed Point Theory and Appli- cations, 2013: 320

[13]Huang Huaping, Radenović S, Došenović T. Some common fixed point theorems on c -distance in cone metric spaces over Banach algebras. Applied and Computational Mathematics, 2015, 14(2): 180–193

[14]童裕孙. 泛函分析教程. 1 版. 上海: 复旦大学出版社, 2003: 49–80

[15]Huang Huaping. Conditions of non-normality in cone metric spaces. Mathematica Applicata, 2012, 25(4): 894–898

Fixed Point Theorems under c -Distance in Cone Metric Spaces over Banach Algebras

HUANG Huaping, DENG Guantie †

Laboratory of Mathematics and Complex Systems (MOE), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875

Abstract The authors obtain several theorems of the existence and uniqueness of fixed point for contractive mappings under c -distance in cone metric spaces over Banach algebras without the assumptions of normality of cones and the continuity of mappings. The results greatly improve and complement some previous results. Moreover, a supportive example to illustrate the main assertions is also given. Otherwise, by solving the problem of existence and uniqueness for an elementary equation, a significant application for the obtained results is presented.

Key words cone metric space over Banach algebra; -distance; continuity; normality; fixed point

doi: 10.13209/j.0479-8023.2017.184

中图分类号 O177

收稿日期: 2017-04-05;

修回日期: 2017-09-12;

网络出版日期: 2018-03-02

†通信作者 , E-mail: denggt@bnu.edu.cn

† Corresponding author , E-mail: denggt@bnu.edu.cn

国家自然科学基金(11271045)资助